一、VRP簡介
1 VRP基本原理
車輛路徑規劃問題(Vehicle Routing Problem，VRP)是運籌學裡重要的研究問題之一。VRP關注有一個供貨商與K個銷售點的路徑規劃的情況，可以簡述為：對一系列發貨點和收貨點，組織調用一定的車輛，安排适當的行車路線，使車輛有序地通過它們，在滿足指定的限制條件下（例如：貨物的需求量與發貨量，交發貨時間，車輛容量限制，行駛裡程限制，行駛時間限制等），力争實作一定的目标（如車輛空駛總裡程最短，運輸總費用最低，車輛按一定時間到達，使用的車輛數最小等）。
VRP的圖例如下所示：
2 問題屬性與常見問題
車輛路徑問題的特性比較複雜，總的來說包含四個方面的屬性：
（1）位址特性包括：車場數目、需求類型、作業要求。
（2）車輛特性包括：車輛數量、載重量限制、可運載品種限制、運作路線限制、工作時間限制。
（3）問題的其他特性。
（4）目标函數可能是總成本極小化，或者極小化最大作業成本，或者最大化準時作業。
3 常見問題有以下幾類：
（1）旅行商問題
（2）帶容量限制的車輛路線問題(CVRP)
該模型很難拓展到VRP的其他場景,并且不知道具體車輛的執行路徑，是以對其模型繼續改進。
（3）帶時間窗的車輛路線問題
由于VRP問題的持續發展，考慮需求點對于車輛到達的時間有所要求之下，在車輛途程問題之中加入時窗的限制，便成為帶時間窗車輛路徑問題（VRP with Time Windows, VRPTW）。帶時間窗車輛路徑問題（VRPTW）是在VRP上加上了客戶的被通路的時間窗限制。在VRPTW問題中，除了行駛成本之外, 成本函數還要包括由于早到某個客戶而引起的等待時間和客戶需要的服務時間。在VRPTW中，車輛除了要滿足VRP問題的限制之外，還必須要滿足需求點的時窗限制，而需求點的時窗限制可以分為兩種，一種是硬時窗（Hard Time Window），硬時窗要求車輛必須要在時窗内到達，早到必須等待，而遲到則拒收；另一種是軟時窗（Soft Time Window），不一定要在時窗内到達，但是在時窗之外到達必須要處罰，以處罰替代等待與拒收是軟時窗與硬時窗最大的不同。
模型2(參考2017 A generalized formulation for vehicle routing problems)：
該模型為2維決策變量
（4）收集和分發問題
（5）多車場車輛路線問題
參考(2005 lim，多車場車輛路徑問題的遺傳算法_鄒彤, 1996 renaud)
由于車輛是同質的，這裡的模組化在變量中沒有加入車輛的次元。
（6）優先限制車輛路線問題
（7）相容性限制車輛路線問題
（8）随機需求車輛路線問題
4 解決方案
（1）數學解析法
（2）人機互動法
（3）先分組再排路線法
（4）先排路線再分組法
（5）節省或插入法
（6）改善或交換法
（7）數學規劃近似法
（8）啟發式算法
5 VRP與VRPTW對比
二、蟻群算法簡介
1 蟻群算法(ant colony algorithm,ACA)起源和發展曆程
Marco Dorigo等人在研究新型算法的過程中，發現蟻群在尋找食物時，通過分泌一種稱為資訊素的生物激素交流覓食資訊進而能快速的找到目标，于是在1991年在其博士論文中首次系統地提出一種基于螞蟻種群的新型智能優化算法“螞蟻系統（Ant system,簡稱AS）”，後來，提出者及許多研究者對該算法作了各種改進，将其應用于更為廣泛的領域，如圖着色問題、二次配置設定問題、工件排序問題、車輛路徑問題、工廠中的房間作業排程問題、網絡路由問題、大規模內建電路設計等。近些年來，M.Dorigo等人把螞蟻算法進一步發展成一種通用的優化技術“蟻群優化（Ant Colony Optimization,簡稱ACO）”，并将所有符合ACO架構的算法稱為“蟻群優化算法（ACO algorithm）”。
具體來說，各個螞蟻在沒有事先告知食物在什麼地方的前提下開始尋找食物。當一隻找到食物以後，它會向環境釋放一種揮發性分泌物pheromone (稱為資訊素,該物質随着時間的推移會逐漸揮發消失，資訊素濃度的大小表征路徑的遠近)資訊素能夠讓其他螞蟻感覺進而起到一個引導的作用。通常多個路徑上均有資訊素時，螞蟻會優先選擇資訊素濃度高的路徑，進而使濃度高的路徑資訊素濃度更高，形成一個正回報。有些螞蟻并沒有像其它螞蟻一樣總重複同樣的路，他們會另辟蹊徑，如果另開辟的道路比原來的其他道路更短，那麼，漸漸地，更多的螞蟻被吸引到這條較短的路上來。最後，經過一段時間運作，可能會出現一條最短的路徑被大多數螞蟻重複着。最終，資訊素濃度最高的路徑即是最終被螞蟻選中的最優路徑。
與其他算法相比，蟻群算法是一種比較年輕的算法，具有分布式計算、無中心控制、個體之間異步間接通信等特點，并且易于與其他優化算法相結合，經過不少仁人志士的不斷探索，到今天已經發展出了各式各樣的改進蟻群算法，不過蟻群算法的原理仍是主幹。
2 蟻群算法的求解原理
基于上述對蟻群覓食行為的描述，該算法主要對覓食行為進行以下幾個方面模拟：
（1）模拟的圖場景中包含了兩種資訊素，一種表示家，一種表示食物的地點，并且這兩種資訊素都在以一定的速率進行揮發。
（2）每個螞蟻隻能感覺它周圍的小部分地方的資訊。螞蟻在尋找食物的時候，如果在感覺範圍内，就可以直接過去，如果不在感覺範圍内，就要朝着資訊素多的地方走，螞蟻可以有一個小機率不往資訊素多的地方走，而另辟蹊徑，這個小機率事件很重要，代表了一種找路的創新，對于找到更優的解很重要。
（3）螞蟻回窩的規則與找食物的規則相同。
（4）螞蟻在移動時候首先會根據資訊素的指引，如果沒有資訊素的指引，會按照自己的移動方向慣性走下去，但也有一定的機率改變方向，螞蟻還可以記住已經走過的路，避免重複走一個地方。
（5）螞蟻在找到食物時留下的資訊素最多，然後距離食物越遠的地方留下的資訊素越少。找到窩的資訊素留下的量的規則跟食物相同。蟻群算法有以下幾個特點:正回報算法、并發性算法、較強的魯棒性、機率型全局搜尋、不依賴嚴格的數學性質、搜尋時間長，易出現停止現象。
螞蟻轉移機率公式：
公式中：是螞蟻k從城市i轉移到j的機率；α，β分别為資訊素和啟發式因子的相對重要程度；為邊（i，j）上的資訊素量；為啟發式因子；為螞蟻k下步允許選擇的城市。上述公式即為螞蟻系統中的資訊素更新公式，是邊（i,j)上的資訊素量；ρ是資訊素蒸發系數，0<ρ<1;為第k隻螞蟻在本次疊代中留在邊（i,j）上的資訊素量；Q為一正常系數；為第k隻螞蟻在本次周遊中的路徑長度。
在螞蟻系統中，資訊素更新公式為：
3 蟻群算法的求解步驟：
（1）初始化參數在計算之初，需要對相關參數進行初始化，如蟻群規模（螞蟻數量）m、資訊素重要程度因子α、啟發函數重要程度因子β、資訊素會發銀子ρ、資訊素釋放總量Q、最大疊代次數iter_max、疊代次數初值iter=1。
（2）建構解空間将各個螞蟻随機地置于不同的出發點，對每個螞蟻k（k=1,2,3…m），按照（2-1）計算其下一個待通路城市，直到所有螞蟻通路完所有城市。
（3）更新資訊蘇計算每個螞蟻經過路徑長度Lk(k=1,2,…，m），記錄目前疊代次數中的最優解（最短路徑）。同時，根據式（2-2）和（2-3）對各個城市連接配接路徑上資訊素濃度進行更新。
（4） 判斷是否終止若iter<iter_max，則令iter=iter+1,清空螞蟻經過路徑的記錄表，并傳回步驟2；否則，終止計算，輸出最優解。
（5）判斷是否終止若iter<iter_max，則令iter=iter+1,清空螞蟻經過路徑的記錄表，并傳回步驟2；否則，終止計算，輸出最優解。3. 判斷是否終止若iter<iter_max，則令iter=iter+1,清空螞蟻經過路徑的記錄表，并傳回步驟2；否則，終止計算，輸出最優解。
三、部分源代碼
clc;
clear;
%% 多配送中心的車輛排程問題
%加載資料
load data.mat
%計算位置矩陣
m=size(X,1);
D=zeros(m,m);
for i=1:m
for j=1:m
D(i,j)=norm(X(i,:)-X(j,:));
D(j,i)=D(i,j);
D(i,i)=eps;
end
end
%計算配送中心的位置
nume=zeros(20,20);
for i=1:20
for j=1:20
temp=[D(:,i) D(:,j)];
[num,pp]=min(temp,[],2);
nume(i,j)=sum(num);
end
end
[mum1,index1]=min(nume);
[mun2,index2]=min(mum1,[],2);
w1=index1(index2);
w2=index2;
%給各個配送中心配置設定顧客集
H=[];
S=[];
for i=1:20
if D(i,w1)<D(i,w2)
H=[H i];
else
S=[S i];
end
end
n1=size(H,2);
n2=size(S,2);
%蟻群算法求最小的車輛總行程
%設定參數
Pop=60;%蟻群數目
Alpha=1;%重要度系數
Beta=1;%Beta：能見度系數
gama=2;
Rho=0.15;%揮發度系數
MAXGEN=50;%疊代次數
Q=15;%資訊更新參數
W=9;%W:車輛載重量
T=10;
w=[2.5,1.5,1.8,2.0,0.8,1.5,1.0,2.5,3.0,1.7,0.6,0.2,2.4,1.9,2.0,0.7,0.5,2.2,3.1,0.1];%每個客戶所需的貨物重量
t=[1.5,3.8,0.5,3,2.6,3.6,1.4,2.4,2,3.4,2,1.2,0.5,0.8,1.3,1.6,1.7,0.5,0.8,1.4];%每個客戶所需的貨物的容積
load_w_H=0;
load_t_H=0;
load_w_S=0;
load_t_S=0;
Eta=1./D;%啟發因子，設為距離的倒數
Tau_H=ones(m,m);%資訊素矩陣
Tau_S=ones(m,m);
Tabu_H=zeros(Pop,n1+10);%存儲并記錄路徑的生成
iter=1;
G_best_route_H=[MAXGEN,n1+10];%各代最佳路線
G_best_route_S=[MAXGEN,n2+10];
G_best_length_H=zeros(MAXGEN,1);
G_best_length_S=zeros(MAXGEN,1);
length_ave_H=zeros(MAXGEN,1);%各代路線的平均長度
length_ave_S=zeros(MAXGEN,1);
G_best_length=zeros(MAXGEN,1);
%開始進行疊代
while iter<=MAXGEN
Tabu_H(:,1)=w1*ones(Pop,1);
Tabu_S(:,1)=w2*ones(Pop,1);
for i=1:Pop
visited_H=Tabu_H(i,:);
visited_H=visited_H(visited_H>0);
to_visit_H=setdiff(H,visited_H);
visited_S=Tabu_S(i,:);
visited_S=visited_S(visited_S>0);
to_visit_S=setdiff(S,visited_S);
j=1;d=1;
while j<=n1
if ~isempty(to_visit_H)
%按照規則選下一個工廠或者是回到倉庫
x=to_visit_H;
for k=1:length(to_visit_H)
x(k)=(Tau_H(visited_H(end),to_visit_H(k))^Alpha)*(Eta(visited_H(end),to_visit_H(k))^Beta);
end
x=x/(sum(x));
%按機率原則選取下一個城市
XC=cumsum(x);
Select=find(XC>=rand);
if isempty(Select)
Select=w1;
load_w_H=load_w_H+w(Select);
load_t_H=load_w_H+t(Select);
else
load_w_H=load_w_H+w(to_visit_H(Select(1)));
load_t_H=load_t_H+t(to_visit_H(Select(1)));
end
c1=min((load_w_H)-9,0);c2=min((load_t_H)-10,0);
if c1<0&&c2<0
Tabu_H(i,length(visited_H)+1)=to_visit_H(Select(1));
else
Select=w1;
j=j-1;
load_w_H=0;
load_t_H=0;
Tabu_H(i,length(visited_H)+1)=Select;
end
end
visited_H=Tabu_H(i,:);
visited_H=visited_H(visited_H>0);
to_visit_H=setdiff(H,visited_H);
if visited_H(end)~=w1
Tabu_H(i,1:(length(visited_H)+1))=[visited_H,w1];
end
j=j+1;
end
%第二個配送中心
while d<=n2
if ~isempty(to_visit_S)
%按照規則選下一個工廠或者是回到倉庫
x=to_visit_S;
for k=1:length(to_visit_S)
x(k)=(Tau_S(visited_S(end),to_visit_S(k))^Alpha)*(Eta(visited_S(end),to_visit_S(k))^Beta);
end
x=x/(sum(x));
%按機率原則選取下一個城市
XC=cumsum(x);
Select=find(XC>=rand);
if isempty(Select)
Select=w2;
load_w_S=load_w_S+w(Select);
load_t_S=load_w_S+t(Select);
else
load_w_S=load_w_S+w(to_visit_S(Select(1)));
load_t_S=load_t_S+t(to_visit_S(Select(1)));
end
c1=min((load_w_S)-9,0);c2=min((load_t_S)-10,0);
if c1<0&&c2<0
Tabu_S(i,length(visited_S)+1)=to_visit_S(Select(1));
else
Select=w2;
j=j-1;
load_w_S=0;
load_t_S=0;
Tabu_S(i,length(visited_S)+1)=Select;
end
end
visited_S=Tabu_S(i,:);
visited_S=visited_S(visited_S>0);
to_visit_S=setdiff(S,visited_S);
if visited_S(end)~=w2
Tabu_S(i,1:(length(visited_S)+1))=[visited_S,w2];
end
d=d+1;
end
load_w_H=0;
load_t_H=0;
load_w_S=0;
load_t_S=0;
x=[];
end
%% 第四步記錄本代各種參數，計算各隻螞蟻的路程
L_H=zeros(Pop,1);
L_S=zeros(Pop,1);
for i=1:Pop
MM_H=Tabu_H(i,:);
MM_S=Tabu_S(i,:);
R_H=MM_H(MM_H>0);
R_S=MM_S(MM_S>0);
for j=1:(length(R_H)-1)
L_H(i)=L_H(i)+D(R_H(j),R_H(j+1));
end
for k=1:(length(R_S)-1)
L_S(i)=L_S(i)+D(R_S(k),R_S(k+1));
end
end
%計算最短距離和最短路徑
[min_Length_H,index_H]=min(L_H);
[min_Length_S,index_S]=min(L_S);
G_best_length_H(iter)=min_Length_H;
G_best_length_S(iter)=min_Length_S;
G_best_route_H(iter,1:length(Tabu_H(index_H(1),:)))=Tabu_H(index_H(1),:);
G_best_route_S(iter,1:length(Tabu_S(index_S(1),:)))=Tabu_S(index_S(1),:);
%% 應用2-opt方法對最優解進行更新
%對第一個配送中心的最優解進行優化
select=find(G_best_route_H(iter,:)==w1);
FF_H=[];
LM_H=0;
for a=1:(length(select)-1)
y_G_best_route_H=G_best_route_H(iter,select(a):select(a+1));%%每一個解中每一個車輛路徑
al=length(y_G_best_route_H);
T=zeros((length(select)-1),1);
for d=1:(al-1)
T(a)=T(a)+D(y_G_best_route_H(d),y_G_best_route_H(d+1));%%每一個解中每一個車輛路程
end
%交換車輛順序
for b=2:(al-1)
for c=(b+1):(al-1)
DD=y_G_best_route_H;
temp1=DD(b);
temp2=DD(c);
DD(b)=temp2;
DD(c)=temp1;
TT=zeros(1);
for d=1:(al-1)
TT=TT+D(DD(d),DD(d+1));% 得到的新解的路程
end
if TT<T(a)
T(a)=TT;
y_G_best_route_H=DD;
end
end
end
if a>=2
y_G_best_route_H=y_G_best_route_H(2:al);
end
FF_H=[FF_H y_G_best_route_H];
LM_H=LM_H+T(a);
end
G_best_length_H(iter)=LM_H;
G_best_route_H(iter,1:length(FF_H))=FF_H;
G_best_length(iter)=G_best_length_H(iter)+G_best_length_S(iter);
FF_H=[];
LM_H=0;
%第一個配送中心的2-opt優化完畢
length_ave(iter)=mean(L_H+L_S);
disp(['第',num2str(iter),'代']);
iter=iter+1;
%% 第五步更新資訊素
Delta_Tau_H=zeros(m,m);
Delta_Tau_S=zeros(m,m);
for i=1:Pop
MM_H=Tabu_H(i,:);
MM_S=Tabu_S(i,:);
R_H=MM_H(MM_H>0);
R_S=MM_S(MM_S>0);
for j=1:(length(R_H)-1)
Delta_Tau_H(R_H(j),R_H(j+1))=Delta_Tau_H(R_H(j),R_H(j+1))+Q/L_H(i);
end
for k=1:(length(R_S)-1)
Delta_Tau_S(R_S(k),R_S(k+1))=Delta_Tau_S(R_S(k),R_S(k+1))+Q/L_S(i);
end
end
Tau_H=(1-Rho).*Tau_H+Delta_Tau_H;
Tau_S=(1-Rho).*Tau_S+Delta_Tau_S;
%% 第六步：禁忌表清零
Tabu_H=zeros(Pop,n1);
load_w_H=0;
Tabu_S=zeros(Pop,n2);
load_w_S=0;
end
%% 第七步：輸出結果
[best_length_H,index_H]=min(G_best_length_H);
[best_length_S,index_S]=min(G_best_length_S);
best_length=best_length_H+best_length_S;
best_route_H=G_best_route_H(index_H(1),:);
best_route_H=best_route_H(best_route_H>0);
best_route_S=G_best_route_S(index_S(1),:);
best_route_S=best_route_S(best_route_S>0);
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~');
disp(['最短路徑為：',num2str(best_route_H)]);
disp([' ',num2str(best_route_S)]);
disp(['最短路程為：',num2str(best_length)]);
%% 第八步：繪制散點圖和巡遊過程圖
%畫出散點圖，并标注配送中心的位置
figure(1)
plot(X(:,1),X(:,2),'o');
hold on
plot(X(best_route_H,1),X(best_route_H,2),'o-');
plot(X(best_route_S,1),X(best_route_S,2),'o-');
%plot([X(w1,1),X(w2,1)],[X(w1,2),X(w2,2)],'rs','MarkerSize',9);
text([X(w1,1),X(w2,1)],[X(w1,2),X(w2,2)],'\leftarrow 配送中心');
for i=1:m
text(X(i,1),X(i,2),[' ' num2str(i)]);
end
figure(2)
plot(1:MAXGEN,G_best_length) ;
hold on
plot(1:MAXGEN,length_ave);
xlabel('疊代次數/次');
ylabel('路徑長度/km');
legend('最優路徑長度的變化 ',' 路徑長度均值變化 ');