目前為止，我們通過逼近和的極限，得到了一個相當複雜的連續函數定積分的定義，
∫baf(x)dx=limmax Δxk→∞∑k=1nf(x∗k)Δxk(1)
之前我們已經用這個定義計算了一些簡單的積分，例如
∫b0xdx=b22,∫b0x2dx=b33,and∫b0x3dx=b44(2)
這些計算有兩個目的：通過提供一些逼近和的直覺經驗來強調積分的基本性質，并且這種方法得到的極限值可以作為計算其他積分的實用工具。那麼，我們可以利用極限和的方方求解下面更複雜的積分嗎？
∫10x47+x5−−−−−√3dxand∫21(1+1x)4dxx2(3)
這顯然是不可能的，是以我們該何去何從呢？顯然我們需要的是一種更高效、更強大的計算積分方法，而這種方法就是牛頓和萊布尼茲的想法。
牛頓-萊布尼茲解決(1)那樣積分問題的計算方法乍一看似乎是自相沖突的。為了解決這個問題，我們用更難的問題來替換它。我們不求解圖1左那樣固定的面積，而是圖1右邊變化的面積，圖像右邊的邊界是可以移動的，這樣的話面積就是x
的函數。面積函數用A(x)表示，那麼顯然左邊圖中A(a)=0,A(b)表示固定的面積。我們的目标是找到一個A(x)的顯示公式，然後通過設定x=b
來确定所需的面積。在這個過程中有幾個步驟，為了清楚起見，我們單獨考慮。
圖1
步驟1：我們通過建立重要的事實
dAdx=f(x)(4)
開始。這是說面積A
關于x
的變化率等于區域右邊界的長度。為了證明這個命題，我們必須考慮導數的定義
dAdx=limΔx→0A(x+Δx)−A(x)Δx
現在A(x)
是圖像下邊a,x之間的面積，A(x+Δx) 是a,x+Δx之間的面積。是以，分子A(x+Δx)−A(x)是a,x+Δx之間的面積(看圖2中陰影部分的面積)。很容易看出面積等于有着相同底，高為f(x¯)的矩形面積，其中x¯是x,x+Δx
之間的某個點。由它我們繼續(4)的證明：
dAdx=limΔx→0A(x+Δx)−A(x)Δx=limΔx→0f(x¯)ΔxΔx=limΔx→0f(x¯)=f(x)
利用到f(x)
是連續函數。為了更加詳細的解釋最後一步，我們指出Δx→0等價于x+Δx→x；因為x¯位于x,x+Δx之間，是以x¯→x，現在利用函數的連續性得f(x¯)→f(x)
圖2
步驟2：方程(4)告訴我們，找到面積函數A(x)
就能實作我們的目标。根據(4)，A(x)是函數f(x)的反導之一。但是，如果F(x)是任何一個f(x)
的反導，根據前面不定積分的知識我們有
A(x)=F(x)+c(5)
c
是常數值。為了确定c，我們令x=a，進而得到A(a)=F(a)+c；但是因為A(a)=0，進而得出c=−F(a)
。是以
A(x)=F(x)−F(a)(6)
就是需要的公式。
步驟3：根據(6)和A(x)
的意義，其餘的工作就是觀察
∫baf(x)dx=A(b)=F(b)−F(a)
我們用正式地微積分基本定理總結我們得到的結論：
如果f(x)
是閉區間[a,b]上的連續函數，并且F(x)是f(x)的任何一個原函數，即(d/dx)F(x)=f(x)
或等價地
∫f(x)dx=F(x)(7)
那麼
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)(8)
這個定理将計算極限和的問題轉變成更容易的找原函數的問題，進而減小了評估定積分問題。是以，為了找出∫baf(x)dx
的值，我們沒必要考慮求和；我們隻是找到原函數即可，可以用任何方式如猜測、正常計算、巧妙計算或查書，然後計算F(b)−F(a)
的值。
例如，在上篇文章中，我們利用許多代數技巧得到了公式(2)。現在，借助基本定理，下面簡單的公式就像明顯的事實：
∫b0xdx=b22,∫b0x2dx=b33,and∫b0x3dx=b44
更一般地，對任何指數n>0
，明顯可以得出
∫baxndx=bn+1n+1−an+1n+1,because∫xndx=xn+1n+1
注解1： 在計算問題的過程中，使用括号是很友善的
F(x)∣∣ba=F(b)−F(a)(9)
符号的意思就是說：x
上限為b時的F(x)值減去x下限為a時的F(x)就是我們要找的數。例如x2∣∣43=42−32=16−9=7
。利用這個符号，(8)可以寫成
∫baf(x)dx=F(x)∣∣ba
注解2：從這次讨論中可以看出，任何f(x)
的原函數都用(8)解決。如果對此還有疑問，那麼回顧一下，如果F(x)是一個原函數，那麼其他任何一個都可以通過添加一個常數c得到即F(x)+c
；因為
F(x)+c∣∣ba=[F(b)+c]−[F(a)+c]=F(b)−F(a)
常數c
對結果沒有影響。是以當計算定積分要找原函數時，我們可以忽略常數。(然而，當我們要解決微分方程時，這些常量是不可或缺。)
例1：計算下面的定積分：
(a)∫2−1x4dx(b)∫161dxx−−√(c)∫278x−−√3dx(d)∫1413(x−13)10dx
解：通過觀察每個原函數都比較容易得到：
(a)∫2−1x4dx=15x5∣∣2−1=15[32−(−1)]=335(b)∫161dxx−−√=2x−−√∣∣161=2(4−1)=6(c)∫278x−−√3dx=34x4/3∣∣278=34(81−16)=1954(d)∫1413(x−13)10dx=111(x−13)11∣∣1413=111(1−0)=111
基本定理在定積分和原函數之間建立了連接配接。該連接配接習慣使用積分符号表示原函數，就像(7)那樣，并用不定積分替換了原函數。讀者應該熟悉這些用法。從這個角度上，我們經常會放棄形容詞(不定，定)，單獨用積分一次表示函數(7)或數(8)，這需要上下文以及讀者對所陳述事情的了解進而避免混淆。為了正确區分，我們強調定積分積分符号上有上下限，而不定積分從來沒有這種。
我們對使用這種相似符号∫f(x)dx,∫baf(x)dx
進而對大家引起困惑感到很抱歉，雖然他們表示非常不同的概念。然而，這些符号經曆了300多年，現在試圖改變他們沒有多大用處。幾年前，一位作者試圖引進符号A[f(x)]取代∫f(x)dx。他的書比昨天報紙消失的都快。相反，學生有責任讀懂符号∫f(x)dx,∫baf(x)dx
。就像我們認真閱讀所有單詞，進而可以區分類似于”peak”和”peek”，”venal”和”venal”，”manor”和“manner”，數學必須我們更加認真的閱讀。
根據前面學習到的經驗，我們知道(或許可以計算)許多不定積分和定積分我們都能求解。尤其是，定積分(3)也不是那麼難計算了。
例2：計算
∫10x47+x5−−−−−√3dx
解：為了清楚起見，我們分别考慮不定積分。換元
u=7+x5du=5x4dx
進而
∫x47+x5−−−−−√3dx=∫(7+x5)−1/3x4dx=∫u−1/3(15du)=15∫u−1/3du=15⋅32u2/3=310(7+x5)2/3
利用基本定理得
∫10x47+x5−−−−−√3dx=310(7+x5)2/3∣∣10=310(4−72/3)=310(4−49−−√3)
例3：計算
∫21(1+1x)4dxx2
解：換元
u=1+1x,du=−dxx2
是以
∫(1+1x)4dxx2=∫u4(−du)=−15u5=−15(1+1x)5
根據基本定理
∫21(1+1x)4dxx2=−15(1+1x)5∣∣21=−15(24332−32)=781160
例4：求曲線y=cosx
下面，從x=0到x=b所圍成的面積，其中0<b≤π/2
解：面積(看圖1)可以用定積分給出
∫b0cosxdx
但是我們熟悉不定積分
∫cosxdx=sinx
是以我們立刻得出
∫b0cosxdx=sinx∣∣b0=sinb−sin0=sinb
與求極限和相比，可以清晰的看出基本定理的強大。之前極限和的計算很難，還要知道晦澀的三角恒等式，而知道了基本定理後，這裡的計算依然很容易。
注解3：牛頓和萊布尼茲大約在同一時間互相獨立的發現了微積分。然而，導數是切線的斜率和定積分是曲線下面積這些概念是在他們之前許多思想家都知道。在這種情況下，為什麼是給予牛頓和萊布尼茲建立這個新數學分支的榮譽呢(該分支在西方文明的主要特征中，可以說是支柱)？主要是因為他們是微積分基本定理的主要發現者。他們了解到它的重要性，并開始建構所需的支撐材料，将其成功應用到科學和幾何的問題上。
然而，科學曆史學家将基本定理的根源追溯到早些時候Barrow 和Pascal的幾何工作上，他們的著作影響了牛頓和萊布尼茲。正如牛頓(他不是一個謙虛的人)說過的：如果我看得更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。這是他難得一次的自我貶低。這些巨人之一還有費馬，他第一個證明圖3所述的面積公式。這表明，他必須知道基本定理(這似乎是最便捷的方法)。但不幸的是他沒有注意到它。
微積分基本定理無疑是人類思想最偉大的成就之一。當我們考慮數學和實體的後續發展在多大程度的取決于它時，它也是最有影響力的成就之一。在它被發現之前，從公元前三世紀的阿基米德到十七世紀中葉的費馬，找出曲線面積、體積和長度問題非常困難，隻有天才可能想着去解決他們，并且任何一代都隻有少數人。但現在，牛頓、萊布尼茲以及他們的追随者在基本定理的基礎上提出了大量的系統方法，之後我們會對這些問題進行探讨。