算法進階--動态規劃

動态規劃算法實作最長公共子序列問題

從斐波那契數列看動态規劃

斐波那契數列：

def fibnacci(n):
    if n == 1 or n==2:
        return 1
    else:
        return fibnacci(n-1)+fibnacci(n-2)
# print(fibnacci(100))

#---------------------------------------------------------
# 遞歸會出現子問題的重複計算
# f(6) = f(5)+f(4)
# f(5) = f(4)+f(3)
# f(4) = f(3)+f(2)
# f(3) = f(2)+f(1)

# 動态規劃(DP)的思想=最優子結構==>遞推式子(需要自己總結) + 重複子問題
def fibnacci_no_recurision(n):
    f = [0,1,1]
    if n>2:
        for i in range(n-2):
            num = f[-1]+f[-2]
            f.append(num)
            print(f)
    return f[n]
# n==3 i==0 num=2 f=[0,1,1,2]
# 子問題重複
# n==4 i==0 num=2 f=[0,1,1,2];i==1 num=3 f=[0,1,1,2,3]
print(fibnacci_no_recurision(4))      

鋼條切割問題（遞推式需要自己總結出來）

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鋼條切割問題：自頂向下實作 

 時間複雜度O(2^n)---不采取

遞歸算法由于重複求解相同子問題，效率低

動态規劃的思想：

　　每一次子問題隻求解一次，儲存求解結果

　　之後需要此問題時，隻需要查找儲存的結果

鋼條切割問題：自底向上實作 

 最長公共子序列

一個序列的字序列式在該序列中删去若幹元素後得到的序列

例：“ABCD”和“BDF”都是“ABCDEFG”的子序列

最長公共子序列(LCS)問題：給定兩個序列X和Y，求X和Y長度最大的公共子序列

例：X="ABBCBDE"         Y="DBBCDB"        LCS(X,Y)="BBCD"

應用場景：字元串相似度比對

def lcs(x,y):
    m = len(x)
    n = len(y)
    c = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
    # 1 左上方 2 上方  3 左方
    b = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1,m + 1):
        for j in range(1,n + 1):
            # i,j位置上的字元比對的時候，來自于左上方+1
            if x[i-1] == y[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
                b[i][j] = 1
            # 來自于上方
            elif c[i-1][j] > c[i][j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j]
                b[i][j] = 2
            else:
                c[i][j] = c[i][j-1]
                b[i][j] = 3
    print(c[m][n])
    print(b)
    return c[m][n],b


def lcs_trackback(x,y):
    c,b = lcs(x,y)
    i = len(x)
    j = len(y)
    res = []
    while i > 0 and j > 0:
        # 來自左上方=>比對
        if b[i][j] == 1:
            res.append(x[i-1])
            i -= 1
            j -= 1
        # 來自上方
        elif b[i][j] == 2:
            i -= 1
        # 來自于左方=>不比對
        else:
            j -= 1
    return "".join(reversed(res))


print(lcs_trackback("ABCBDAB","BDCABA"))      

lcs