二分圖算法

​​二分圖基礎知識​​

首先什麼是二分圖

顧名思義就是能分成兩個部分的圖

要注意的是，‘分’的是點并且這兩個集合（這裡我們稱作X集合和Y集合）内部所有的點之間沒有邊相連，也就是說X集合中任何兩點之間都不會有邊相連， Y亦然

定理1：無向圖G為二分圖的一個充要條件是 1、G中至少包含兩個頂點  2、G中所有的回路長度都必須是偶數

接下來是一些概念：

比對：設G=<V, E>為二分圖，如果 M⊆E，并且 M 中兩點沒有任何兩點有公共端點（被其他比對的邊共用），則成M為G的一個比對。【也就是說比對的實質是一些邊的集合。】

最大比對：邊數最多的比對

完備比對與完全比對：若 X 中所有的頂點都是比對 M 中的端點。則稱 M 為X的完備比對。 若M既是 X-完備比對又是 Y-完備比對，則稱M 為 G 的完全比對。

最小點覆寫：用盡可能少的點去覆寫所有的邊【最小點覆寫集是點的集合，其個數為最小點覆寫數】

最大點獨立：跟網絡流中的最大點權獨立集有點類似，這裡指的是最大獨立的個數

接下來是二分圖的一些性質：

設無向圖G有n個頂點，并且沒有孤立頂點，那麼，

1、點覆寫數 + 點獨立數 = n

2、最小點覆寫數 = 二分圖的最大比對

3、最大點獨立數 = n - 最小點覆寫數 = n - 最大比對

二分圖的判定：

判斷一個圖是不是二分圖有兩條1、n>= 2   2、不存在奇圈

我們可以用黑白染色的方法進行判斷

（

交叉染色法

　　　　下面着重介紹下交叉染色法的定義與原理

　　　　首先任意取出一個頂點進行染色,和該節點相鄰的點有三種情況:

　　　　　　　　　　1.未染色    那麼繼續染色此節點(染色為另一種顔色)

　　　　　　　　　　2.已染色但和目前節點顔色不同      跳過該點

　　　　　　　　　　3.已染色并且和目前節點顔色相同       傳回失敗(該圖不是二分圖)

　　　　下面在拓展兩個概念:

　　　　　（1） 如果一個雙連通分量内的某些頂點在一個奇圈中（即雙連通分量含有奇圈），那麼這個雙連通分量的其他頂點也在某個奇圈中；

　　　　　第一個條件的證明:我們假設有一個奇圈，因為是點雙，沒有割點，必然有緊挨着的圈，假設這個是偶數圈，則，這個偶數圈必然能和原來的奇圈組成新的奇圈(因為：新的圈=（奇數圈-k）+（偶數圈-k）=奇數+偶數-偶數=奇數，k是共同邊上的點數

　　　　　（2） 如果一個雙連通分量含有奇圈，則他必定不是一個二分圖。反過來也成立，這是一個充要條件。

）

const int maxn = 105;

int col[maxn];

bool is_bi(int u) {
    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if(col[v] == col[u]) return false;
        if(!col[v]) {
            col[v] = 3 - col[u];
            if(!is_bi(v)) return false;
        }
    }
    return true;
}      

二分圖的最大比對、完美比對和匈牙利算法

​二分圖​：簡單來說，如果圖中點可以被分為兩組，并且使得所有邊都跨越組的邊界，則這就是一個二分圖。準确地說：把一個圖的頂點劃分為兩個不相交集 UU 和VV ，使得每一條邊都分别連接配接UU、VV中的頂點。如果存在這樣的劃分，則此圖為一個二分圖。二分圖的一個等價定義是：不含有「含奇數條邊的環」的圖。圖 1 是一個二分圖。為了清晰，我們以後都把它畫成圖 2 的形式。

​比對​：在圖論中，一個「比對」（matching）是一個邊的集合，其中任意兩條邊都沒有公共頂點。例如，圖 3、圖 4 中紅色的邊就是圖 2 的比對。

我們定義​比對點​、​比對邊​、​未比對點​、​非比對邊​，它們的含義非常顯然。例如圖 3 中 1、4、5、7 為比對點，其他頂點為未比對點；1-5、4-7為比對邊，其他邊為非比對邊。

​最大比對​：一個圖所有比對中，所含比對邊數最多的比對，稱為這個圖的最大比對。圖 4 是一個最大比對，它包含 4 條比對邊。

​完美比對​：如果一個圖的某個比對中，所有的頂點都是比對點，那麼它就是一個完美比對。圖 4 是一個完美比對。顯然，完美比對一定是最大比對（完美比對的任何一個點都已經比對，添加一條新的比對邊一定會與已有的比對邊沖突）。但并非每個圖都存在完美比對。

舉例來說：如下圖所示，如果在某一對男孩和女孩之間存在相連的邊，就意味着他們彼此喜歡。是否可能讓所有男孩和女孩兩兩配對，使得每對兒都互相喜歡呢？圖論中，這就是​完美比對​問題。如果換一個說法：最多有多少互相喜歡的男孩/女孩可以配對兒？這就是​最大比對​問題。

基本概念講完了。求解最大比對問題的一個算法是​匈牙利算法​，下面講的概念都為這個算法服務。

​交替路​：從一個未比對點出發，依次經過非比對邊、比對邊、非比對邊…形成的路徑叫交替路。

​增廣路​：從一個未比對點出發，走交替路，如果途徑另一個未比對點（出發的點不算），則這條交替路稱為增廣路（agumenting path）。例如，圖 5 中的一條增廣路如圖 6 所示（圖中的比對點均用紅色标出）：

增廣路有一個重要特點：非比對邊比比對邊多一條。是以，研究增廣路的意義是​改進比對​。隻要把增廣路中的比對邊和非比對邊的身份交換即可。由于中間的比對節點不存在其他相連的比對邊，是以這樣做不會破壞比對的性質。交換後，圖中的比對邊數目比原來多了 1 條。

我們可以通過不停地找增廣路來增加比對中的比對邊和比對點。找不到增廣路時，達到最大比對（這是增廣路定理）。匈牙利算法正是這麼做的。在給出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代碼之前，先講一下匈牙利樹。

​匈牙利樹​一般由 BFS 構造（類似于 BFS 樹）。從一個未比對點出發運作 BFS（唯一的限制是，必須走交替路），直到不能再擴充為止。例如，由圖 7，可以得到如圖 8 的一棵 BFS 樹：

這棵樹存在一個葉子節點為非比對點（7 号），但是匈牙利樹要求所有葉子節點均為比對點，是以這不是一棵匈牙利樹。如果原圖中根本不含 7 号節點，那麼從 2 号節點出發就會得到一棵匈牙利樹。這種情況如圖 9 所示（順便說一句，圖 8 中根節點 2 到非比對葉子節點 7 顯然是一條增廣路，沿這條增廣路擴充後将得到一個完美比對）。

下面給出​匈牙利算法​的 DFS 和 BFS 版本的代碼：

// 頂點、邊的編号均從 0 開始
// 鄰接表儲存

struct Edge
{
    int from;
    int to;
    int weight;

    Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};

vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存儲頂點 i 出發的邊的編号 */
vector<Edge> edges;
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;      

int matching[__maxNodes]; /* 存儲求解結果 */
int check[__maxNodes];

bool dfs(int u)
{
    for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 對 u 的每個鄰接點
        int v = edges[*i].to;
        if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
            check[v] = true; // 放入交替路
            if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
                // 如果是未蓋點，說明交替路為增廣路，則交換路徑，并傳回成功
                matching[v] = u;
                matching[u] = v;
                return true;
            }
        }
    }
    return false; // 不存在增廣路，傳回失敗
}

int hungarian()
{
    int ans = 0;
    memset(matching, -1, sizeof(matching));
    for (int u=0; u < num_left; ++u) {
        if (matching[u] == -1) {
            memset(check, 0, sizeof(check));
            if (dfs(u))
                ++ans;
        }
    }
    return ans;
}      

queue<int> Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian()
{
    int ans = 0;
    memset(matching, -1, sizeof(matching));
    memset(check, -1, sizeof(check));
    for (int i=0; i<num_left; ++i) {
        if (matching[i] == -1) {
            while (!Q.empty()) Q.pop();
            Q.push(i);
            prev[i] = -1; // 設 i 為路徑起點
            bool flag = false; // 尚未找到增廣路
            while (!Q.empty() && !flag) {
                int u = Q.front();
                for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
                    int v = edges[*ix].to;
                    if (check[v] != i) {
                        check[v] = i;
                        Q.push(matching[v]);
                        if (matching[v] >= 0) { // 此點為比對點
                            prev[matching[v]] = u;
                        } else { // 找到未比對點，交替路變為增廣路
                            flag = true;
                            int d=u, e=v;
                            while (d != -1) {
                                int t = matching[d];
                                matching[d] = e;
                                matching[e] = d;
                                d = prev[d];
                                e = t;
                            }
                        }
                    }
                }
                Q.pop();
            }
            if (matching[i] != -1) ++ans;
        }
    }
    return ans;
}      

​匈牙利算法的要點如下​

2. 從左邊第 1 個頂點開始，挑選未比對點進行搜尋，尋找增廣路。

2. 如果經過一個未比對點，說明尋找成功。更新路徑資訊，比對邊數 +1，停止搜尋。
3. 如果一直沒有找到增廣路，則不再從這個點開始搜尋。事實上，此時搜尋後會形成一棵匈牙利樹。我們可以永久性地把它從圖中删去，而不影響結果。

1. 由于找到增廣路之後需要沿着路徑更新比對，是以我們需要一個結構來記錄路徑上的點。DFS 版本通過函數調用隐式地使用一個棧，而 BFS 版本使用 ​

   ​prev​

   ​ 數組。

​性能比較​

兩個版本的時間複雜度均為O(V⋅E)O(V⋅E)。DFS 的優點是思路清晰、代碼量少，但是性能不如 BFS。我測試了兩種算法的性能。對于稀疏圖，BFS 版本明顯快于 DFS 版本；而對于稠密圖兩者則不相上下。在完全随機資料 9000 個頂點 4,0000 條邊時前者領先後者大約 97.6%，9000 個頂點 100,0000 條邊時前者領先後者 8.6%, 而達到 500,0000 條邊時 BFS 僅領先 0.85%。

補充定義和定理：

​最大比對數​：最大比對的比對邊的數目

​最小點覆寫數​：選取最少的點，使任意一條邊至少有一個端點被選擇

​最大獨立數​：選取最多的點，使任意所選兩點均不相連

​最小路徑覆寫數​：對于一個 DAG（有向無環圖），選取最少條路徑，使得每個頂點屬于且僅屬于一條路徑。路徑長可以為 0（即單個點）。

定理1：最大比對數 = 最小點覆寫數（這是 Konig 定理）

定理2：最大比對數 = 最大獨立數