【課程回顧】
1.子集與真子集的差別
(1)從定義上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A與B相等兩
種情況,真子集是子集的特殊形式.
(2)從性質上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集;
空集是任何非空集合的真子集.
(3)從符号上:A⊆B指A
B或A=B都有可能.A=A,A⊆A,∅⊆A都是正确的符号表示,A
A,∅
A是不正确的符号表示.
2.對空集的兩點說明
(1)空集首先是集合,隻不過空集中不含任何元素.
(2)規定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.是以遇到諸如A⊆B,A
B的問題時,務必優先考慮A=∅是否滿足題意.
刷題：
一.集合關系的判斷
1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},則M與T的關系是 ( )
A.M
T B.M
T C.M=T D.M⊈T
2.指出下列各對集合之間的關系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.
(2)A={x|-1
(3)A={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形}.
(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
二.關于子集、真子集的個數問題
3.(2015·福州高一檢測)集合{a,b}的子集個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若集合{1,2}⊆M
{1,2,3,4},試寫出滿足條件的所有的集合M.
5.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4個子集,則實數m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知集合A
{x∈N|-1奇數,則集合A共有多少個?并用恰當的方法表示這些集合.
三、由集合間的包含關系求參數
7.由集合間的包含關系求參數已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|11),且B⊆A,則實數m的取值範圍是 .
8.(變換條件)本例若将集合“B={x|11)”改為“B={x|1
【解析與答案】
1.選A.M={-1,1},T={-1,0,1},是以M
T.
2.(1)集合A的代表元素是數,集合B的代表元素是有序實數對,故A與B之間無包含關系.
(2)集合B={x|x<5},用數軸表示集合A,B如圖所示,由圖可知A
B.
(3)等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角
形,故A
B.
(4)方法一:兩個集合都表示正奇數組成的集合,但由于n∈N*,是以集
合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N
M.
方法二:由列舉法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},是以N
M.
3.選D.當子集不含元素時,即為∅;當子集中含有一個元素時,其子集為{a},{b};當子集中有兩個元素時,其子集為{a,b},故子集個數為4.
4.由于{1,2}⊆M,故1,2∈M,又M
{1,2,3,4},是以符合條件的集合M
有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.
5.【解題指南】根據題意,由集合的子集與其元素數目的關系,可得M中有2個元素,結合題意,由M中元素的特點,可得m的值,即可得答案.
【解析】選B.根據題意,集合M有4個子集,則M中有2個元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數,則m=2.
6.這樣的集合A共有11個.因為{x∈N|-1
又A
{0,1,2,3}且A中至少含有一個奇數.
故A中隻含有一個元素時,A可以為{1},{3},A中含兩個元素時,A可以為{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},A中含三個元素時,A可以為{1,0,2},{3,0,2},
{1,3,0},{1,3,2},
是以綜上可知,滿足條件的集合A為:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3},
{3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.
7.提示:對于兩個連續數集可用數軸分析法通過畫數軸來分析它們之間的包含關系.
【解析】由于B⊆A,結合數軸分析可知,m≤4,
又m>1,是以1
答案:1
8.【解析】若m≤1,則B=∅,滿足B⊆A.若m>1,則由例題解析可知1綜上可知m≤4.
【方法技巧】
兩集合間關系的判斷步驟
(1)判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B,若是,則A⊆B,否則A⊈B.
(2)判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A,若是,則B⊆A,否則B⊈A.
(3)若既有A⊆B,又有B⊆A,則A=B.
集合子集個數的規律及一個注意點
(1)規律:集合子集、真子集個數的規律是:含有n(n≥1且n∈N)個元素的集合的子集有2n個,非空子集有2n-1個,真子集有2n-1個,非空真子集有2n-2個.
(2)注意點:解決此類問題時應注意兩個比較特殊的集合,即∅和集合本身.
由集合間的關系求參數問題的注意點及常用方法
(1)注意點:不能忽視集合為∅的情形.當集合中含有字母參數時,一般需要分類讨論.
(2)常用方法:對于用不等式給出的集合,已知集合的包含關系求相關參數的範圍(值)時,常采用數形結合的思想,借助數軸解答.
【防範措施】
空集的特殊性
根據“A⊆B”條件,在求相關參數值時,不可忽視集合A可以為空集這個特殊情況,同時還要進行檢驗,看是否滿足元素的互異性.如本例錯解,忽視B=∅的情況而漏解.
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