3.1 開普勒軌道根數 軌道根數描述 軌道大小 半長軸a 常數 軌道形狀 偏心率e 常數 軌道面方位 軌道傾角i和升交點赤經Ω 常數 軌道方位 近地點角距ω 常數 航天器在軌道中的位置 真近點角f 非均勻變化 平近點角M 均勻變化 緯度幅角ω+f 非均勻變化 3.2 開普勒軌道根數與星下點軌迹 星下點軌迹：航天器質心與地心連線與地球表面的交點 航天器軌道周期 3.2 開普勒軌道根數與星下點軌迹 星下點軌迹與軌道半長軸 地球同步軌道 3.2 開普勒軌道根數與星下點軌迹 星下點軌迹與軌道傾角 星下點軌迹的最高緯度就是航天器軌道傾角 3.2 開普勒軌道根數與星下點軌迹 星下點軌迹與軌道偏心率 3.3 開普勒軌道根數的計算 已知位置矢量和速度矢量，求6個軌道根數 3.3 開普勒軌道根數的計算 已知6個軌道根數，求衛星位置矢量和速度矢量 ie ip 3.3 開普勒軌道根數的計算 3.3 開普勒軌道根數的計算 第一章作業 function robit_computer mu = 3.986004418e+14; %地球引力常數 tspan = [0:60:86400]; options = odeset('AbsTol',1e-15,'RelTol',1e-12','NormControl','on'); x0 = [-5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008]; [T,Y] = ode45('orbit',tspan,x0,options,mu); 課後作業：将第一章作業中計算的每一個時刻的位置速度轉換6個軌道根數，然後再轉換為位置速度，并于原來結果進行比較，畫出二者的誤差圖。 本章小結 航天器軌道的預報 本章小結 開普勒方程 本章小結 開普勒軌道根數(6個) 請批評指正！ * 第二章 開普勒方程 主講教師：杏建軍 * 授課内容 衛星軌迹的預測 開普勒方程的求解 開普勒軌道根數 1.1 軌道預報 已知t0時刻衛星的位置r0，速度v0，預報時刻t,衛星的位置r和速度v 在極坐标下 ie ip 如何計算的? 1.1 軌道預報 1.1 軌道預報 帶入位置r和速度v的表達式中 回到原始問題，已知t0,r0,v0，求時刻t的r和速度v 1.1 軌道預報 需要 開普勒第二定律 主要求解出上述方程，就可以得到真近點角f與時間t之間的關系，進而預報衛星在軌道的位置和速度。 授課内容 衛星軌迹的預測 開普勒方程的求解 開普勒軌道根數 2.1 開普勒方程 當0≦e<1時，引入一個新的角度E(偏近點角) 在以C點(橢圓中心)為原點的坐标系中 2.1 開普勒方程 在以F點(橢圓一個焦點)為原點的坐标系時，橢圓參數方程為 坐标系原點平移到C點後，橢圓參數方程為 得到r與E 的數學關系 2.1 開普勒方程 進一步，可以得到 2.1 開普勒方程 上述兩式相除，再開平方，得到 上式兩邊同時對時間求導數 2.1 開普勒方程 由開普勒第二定理 積分，得到 著名的開普勒方程，表示了時間與真近點角的函數關系，其中 τ 是一個新的積分常數 2.1 開普勒方程 定義平近點角M： 通過開普勒方程，可以得到運動時間 t 與偏近點角E，根據E與真近點角 f 的關系，得到 f ，進而進行衛星軌道的預報。 現在的問題是如何求解開普勒方程？ 2.2 開普勒方程的求解 第一種方法：序列疊代法 疊代停止條件 2.2 開普勒方程的求解 疊代格式是否收斂？ 課堂練習：編制開普勒疊代求解matlab程式 2.2 開普勒方程的求解 M = pi/2; E0 = 0; E1 = 1; tem =0; e = 0.2; n = 0; while(abs(E1-E0)>1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); tem = E1; n = n+1; end n 當n=6時，E收斂 2.2 開普勒方程的求解 第二種方法：拉格朗日方法(1770年) 考慮函數 α為一個小參數，如橢圓偏心率 2.2 開普勒方程的求解 2.2 開普勒方程的求解 開普勒方程的拉格朗日級數解 E = M +e*sin(M)+e^2/2*2*cos(M)*sin(M) + e^3/6*(6*cos(M)^2*sin(M)- 3*sin(M)^3) + e^4/24*(24*cos(M)^3*sin(M) - 40*cos(M)*sin(M)^3)+ e^5/120*(65*sin(M)^5 + 120*cos(M)^4*sin(M