第20卷第10期大 學 物 理Vol.20No.10
2001年10月COLL EGE PHYSICS Oct.2001
基礎實體教學現代化問題
理論力學中非線性問題的MAT LAB 數值解
收稿日期:2001-05-08
作者簡介:胡靜(1942—
),女,廣東順德人,北京師範大學實體系副教授,主要從事力學和理論力學的教學和研究工作.胡 靜,彭芳麟,管 靖,盧聖治
(北京師範大學實體系,北京 100875)
摘要:在21世紀,理論力學必須讨論非線性問題,并培養學生解決非線性問題的能力;數學軟體MA TLAB 的強大功能和簡單易學,為實作這一目标提供了可能性.本文介紹“理論力學計算機模拟實驗”課程中用數值計算處理非線性問題的執行個體.
關鍵詞:MA TLAB 軟體;數值計算;非線性問題
中圖分類号:O 31;G 434 文獻辨別碼:B 文章編号:100020712(2001)1020039203 計算機和資訊技術促使自然科學迅猛發展,尤其是使非線性科學的研究如虎添翼,取得突破,成為目前和未來科學研究的前沿之一;計算機和資訊技術的高度發展,也對人才的培養提出了新的要求,教育、教學現代化的改革面臨嚴峻的挑戰.在新的21世紀,理論力學課程中原來就廣泛存在的非線性問題,不能再因數學困難而采取回避的态度了;非線性科學的基礎知識———非線性振動的基礎理論應作為新的理論基礎引入教材,應把學生的目光引向非線性問題;同時一些新的科技成果在教材中也應有所反映.理論力學課程的任務不能再局限于以前教學大綱的要求,我們必須把計算機技術引入教學,進行教學方法的改革,把培養學
生運用計算機進行學習、研究理論力學問題(特别是非線性問題)的能力作為課程的任務,這種能力的培養不是單純計算機課程能夠完成的.
非線性微分方程求解析解的問題至今未能解決,目前這個問題有3個解決途徑:1)進行變量變換使之變為線性方程.但如何尋找這種變量變換,還沒有一般方法;2)用解析方法進行近似求解,這種方法适用于弱非線性情況;3)用計算機進行數值求解.前兩種方法是重要的,解的解析表達有利于進行理論分析,應繼續進行研究.目前兩種方法無能為力時,隻能依靠第三種方法,這種方法是快速和普遍有效的,還有利于新的規律的發現,有利于創新能力的培養.非線性科學研究中的許多突破,如孤立子、混沌等的研究就是依靠計算機進行數值研究取得的,有些竟是在無意中發現的.從
目前數理方面學術刊物發表的論文看,許多成果都是研究某一非線性問題,利用計算機進行數值求解取得的.
自然界的現象本來就是複雜的,本質上屬于非線性現象,用線性方程描述往往隻是某種程度上的近似.在理論力學課程中本來非線性問題就有很多.如在質點力學中,隻要力與坐标和速度的關系是非線性的,動力學方程就是非線性的;單體問題、二體問題和三體問題中一般情況的微分方程組也是非線性的;更不用說剛體定點運動動力學中,歐拉動力學方程和歐拉運動學方程本身就是高度非線性的.以前這些問題因為在教學中缺少處理手段,和缺少對非線性問題所包含的豐富内容的認識,是以一直都把它們回避了.理論力學是研究宏觀機械運動的普遍規律的,其内容不能再停留在牛頓時代和哈密頓時代的理論,不能再局限于隻研究線性問題這個小範圍内,資訊技術的發展已使我們擁有處理非線性問題的手段和能力,簡單易學且功能強大的MA TLAB 數學軟體提供了處理非線性問題的非常好的工具.
現選取我們在“理論力學計算機模拟實驗”課程中解決非線性問題的幾個執行個體作一簡要介紹.
1 有阻力的抛體問題
通常空氣阻力與速度的關系R =f (v )不是線性的,導緻動力學方程的非線性,這是課程中首先遇到的一個非線性問題.通常采用自然坐标法,求得一個v 依賴于θ的一階非線性微分方程[1],這個方程隻有當阻