QR分解為矩陣分解的一種，在解決矩陣特征值計算和最小二乘問題中有很大的作用。
QR分解定理: 任意的一個滿秩實(複)矩陣A，都可唯一的分解為\(A=QR\),其中\(Q\)為正交矩陣，\(R\)為正對角元的上三角矩陣
\[ \begin{cases}
QQ^T=I \\
\\
R=\left\{\begin{matrix} a_1 & * & * & \cdots & * \\
0 & a_2 & * & \cdots & * \\
0 & 0 & a_3 & \cdots & *\\
\vdots & \vdots & &\ddots \\
0 & 0 & 0 & \cdots &a_n
\end{matrix} \right\}
\end{cases}
\]
這裡介紹一下基于HouseHolder變換的QR分解方法
1. HouseHolder變換介紹
HouseHolder變換可用于QR分解中，又稱為反射變換或者為鏡像變換，有明确的幾何意義。
在\(R^3\)實數三維空間中，給定一個向量\(\alpha\), 向量\(\beta\)為\(\alpha\)關于以\(\omega\)為法向量的平面\(\pi\)的反射變換所得。
有如下公式
\[\omega=\frac{\alpha-\beta}{||\alpha-\beta||_2}\in R^3
\]
\[H(\omega)=I-2\omega\omega^T
\]
則有 \(H(\omega)\alpha=\beta\)
即：該變換将向量\(\alpha\)變成了以\(\omega\)為法向量的平面\(\pi\)的對稱向量\(\beta\)
\(H\)矩陣有如下性質
- Hermite矩陣:\(H^T=H\)
- 酉矩陣:\(H^T*H=I\)，\(H=(H^T)^{-1}\)
- 對合矩陣:\(H*H=I\)
- 自逆矩陣：\(H=H^{-1}\)
- \(diag(I,H)\)也是HouseHolder矩陣
- \(det(H)=-1\)
證明：略 _
推論：
- 對于任意的在複數空間的向量 \(x\in C^n\)，存在HouseHolder矩陣\(H\)，使得\(Hx=ae_1\),其中\(|a|=\left\|x\right\|_2\),\(ax^Te\)為實數。
- 對于任意的在實數空間的向量 \(x\in R^n\)，存在HouseHolder矩陣\(H(\omega)=I-2uu^T,(u\in R^n,u^Tu=1)\)，使得\(Hx=ae_1\),其中\(|a|=\left\|x\right\|_2\)
是以表明，HouseHolder變換可以将任意的向量\(x\in R^n\)轉換為與基向量\(e\)平行的共線向量
2. 利用HouseHolder變換的QR分解
此處介紹基于HouseHolder變換将矩陣進行QR分解，即\(A=QR\)
第1步
設有按列分塊的矩陣\(A=(\alpha_1, \alpha_2...\alpha_n)\)
取
\(\omega_1=\frac{\alpha_1-a_1*e_1}{||\alpha_1-a_1*e_1||_2}，a_1=||\alpha_1||_2\)
\(H_1=I-2*\omega_1*\omega_1^T\)
得到
\[H_1A=(H_1\alpha_1,H_1\alpha_2，...，H_1\alpha_n)
=\left\{\begin{matrix} a_1 & * & \cdots & * \\
0 & \\
\vdots & &B_1 \\
0\end{matrix}\right\}\]
第2步
從第一部得到矩陣\(B_1=(\beta_2,\beta_2,\cdots,\beta_n)\in R^{n-1}\)
取
\(\omega_2=\frac{\beta_2-b_2*e_1}{||\beta_2-b_2*e_1||_2}，b_1=||\beta_2||_2\)
則 \(\widehat{H_2}=I-2*\omega_2*\omega_2^T,H_2=\left\{\begin{matrix} 1 & 0^T \\
0 & \widehat{H_2}，
\end{matrix} \right\}\)
得到
\[H_2(H_1*A) = \left\{\begin{matrix} a_1 & * & * & \cdots &* \\
0 & a_2 & * & \cdots &* \\
0 & 0 & &\\
\vdots & \vdots & &C_2& \\
0 & 0
\end{matrix} \right\}, C_2\in R^{n-2}\]
依次類推，進行第n步時，得到第n-1個\(H_{n-1}\)陣,使得
\[H_{n-1} \cdots H_2H_1*A = \left\{\begin{matrix} a_1 & * & * & \cdots & * \\
0 & a_2 & * & \cdots & * \\
0 & 0 & a_3 & \cdots & *\\
\vdots & \vdots & &\ddots \\
0 & 0 & 0 & \cdots &a_n
\end{matrix} \right\}=R\]
其中 \(H_{n-1} \cdots H_2H_1*A=H\)也為HouseHolder矩陣，也為自逆矩陣 \(H=H^{-1}\)
\[H_{n-1} \cdots H_2H_1*A=R
\]
\[\Rightarrow (H_{n-1} \cdots H_2*H_1)^{-1}*H_{n-1} \cdots H_2H_1*A=(H_{n-1} \cdots H_2*H_1)^{-1}*R
\]
\[\Rightarrow A=H_1^{-1} \cdots H_{n-1}^{-1}*R
\]
\[\Rightarrow A=H_1\cdots H_{n-1}*R
\]
得到 \(A=QR\),其中\(Q\)為正交矩陣，\(R\)為上三角矩陣
\[ \begin{cases}
Q = H_1\cdots H_{n-1}\\
R = Q^{-1}A=QA
\end{cases}
\]
3. 最小二乘問題
最小二乘問題為最優化問題的一種，一般形式為
\[\min\limits_{x}{||f(x)||^2}
\]
其中\(f(x)\)為殘差函數，表示預測值和測量值之差，\(||f(x)||^2\)為損失函數
3.1線性最小二乘問題
當\(f(x)=Ax-b\)為線性方程時，線性最小二乘問題為
\[\min\limits_{x}{||Ax-b||^2}
\]
展開有
\[h(x)=||Ax-b||^2=(Ax-b)^T*(Ax-b)
\]
\[h(x)=(Ax)^T(Ax)-b^TAx-(Ax)^Tb+b^Tb
\]
求導有
\[\frac{\partial h(x)}{\partial x}=A^TAx-A^Tb
\]
當導數為0時，得到損失函數值為最小值，是以
\[A^TAx=A^Tb \Rightarrow x=(A^TA)^{-1}A^Tb
\]
3.2采用QR分解求解線性最小二乘問題
上述說明得到線性最小二乘問題\(\min\limits_{x}{||Ax-b||^2}\)的解為\(x=(A^TA)^{-1}A^Tb\)
但是這裡由于要求矩陣倒數，計算上存在一定困難，這裡如果采用QR分解可以使得問題簡單很多。
首先對A進行QR分解，即\(A=QR\),其中\(QQ^T=I\),\(R\)為上三角矩陣
\[x=(A^TA)^{-1}A^Tb
\]
\[(QR)^T(QR)x=(QR)^Tb
\]
\[R^TQ^TQRx=R^TQ^Tb
\]
\[Rx=Q^Tb
\]
\[x=R^{-1}Qb
\]
其中 \(R\)為上三角矩陣,求逆相對容易很多，規避了直接對\((A^TA)^{-1}\)求逆複雜度高的問題。
3.3非線性最小二乘問題
當\(f(x)\)為非線性方程時，最小二乘問題為\(\min\limits_{x}{||f(x)||^2}\)。
一般來說求解非線性最小二乘問題有高斯牛頓法，Levenberg-Marquardt法,高斯牛頓法存在\(H\)不是正定矩陣時，疊代結果不收斂或者不準确的情況，是以LM算法表現較好。但這個先介紹下高斯牛頓法
設狀态向量\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\)
\[f(x)=\begin{cases}
f_1(x)\\
f_2(x)\\
\vdots\\
f_n(x)
\end{cases}\]
一階Tayor展開
\[f(x+\Delta x)=f(x)+J(x)\Delta x
\]
其中 \(J(x)\)為Jacobian矩陣，表示為
\[J(x)_{n*m}=\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial f_1(x_1)}{\partial x} & \frac{\partial f_1(x_2)}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial f_1(x_m)}{\partial x} \\
\frac{\partial f_2(x_1)}{\partial x} & \frac{\partial f_2(x_2)}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial f_2(x_m)}{\partial x} \\
\vdots\\
\frac{\partial f_n(x_1)}{\partial x} & \frac{\partial f_n(x_2)}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial f_n(x_m)}{\partial x} \\
\end{matrix} \right\}
\]
求解
\(\min\limits_{x}{||f(x)||^2}\Rightarrow\min\limits_{x}{||f(x)+J(x)\Delta x||^2}\),
類比線性最小二乘的方法
\[\Delta x=(J(x)^TJ(x))^{-1}*J(x)^T*f(x)
\]
疊代 \(x_{k+1}=x_k+\Delta x\)，直到收斂為止，即可求出最優解\(x\)
這裡同樣可以采用QR分解來求解\(\Delta x\)
設QR分解得到 \(J(x_k)=Q(x_k)R(x_k)\),類比線性最小二乘方法，\(\Delta x=R(x_k)^{-1}Q(x_k)f(x_k)\)
是以非線性最小二乘問題疊代求解
\[\begin{cases}
x_{k+1}=x_k+\Delta x \\
\Delta x=R(x_k)^{-1}Q(x_k)f(x_k)
\end{cases}\]