在數值線性代數中，QR因子分解的思想比其他所有算法的思想更為重要[1]。
--Lloyd N. Trefethen & David Bau, lll
在給出QR因子分解定理之前，先回顧兩個知識點，一是正交矩陣（它的重要性在數值線性代數中似乎怎麼強調都不過分），二是線性代數中的 Gram-Schmidt 正交化算法，這個算法是把一組線性無關的向量組alpha_1, ... ,alpha_n 轉化為互相正交的向量組 q_1, ... ,q_n的方法，且有下清單達形式
q_k = a1*alpha_1+...+ak*alpha_k, k=1,...n
令A=[alpha_1, ... ,alpha_n], Q=[q_1, ... ,q_n], 則上式可以寫成 Q = A*T， 其中T是一個上三角形矩陣。假設 A 是滿秩的，則 T 具有逆矩陣，不妨記成R，在等式兩邊分别右乘矩陣R， 則可以得到A=QR。
針對一般矩陣，則有下列的 QR 因子分解定理：對于任意m*n維的實矩陣 A（不妨假設m>=n）,有相應的QR因子分解，即A=QR, 其中 Q 是具有正交列的m*m矩陣，R 是m*n的上三角矩陣，如圖1.(a) 所示[1]。
圖1.(a) 完全 QR 因子分解 圖1.(b) 約化 QR 因子分解
如果将矩陣R的零行以及矩陣Q中不起作用的列去掉的話，則A=Q1R1，這裡 Q1 具有列正交的m*n維矩陣，R1 是n*n的上三角矩陣，這種形式稱為約化QR因子分解，如圖1.(b) 所示，相應地，圖1.(a)的分解形式稱為完全QR因子分解。
既然矩陣有QR分解，那麼一個自然的問題是給定一個具體的矩陣，如何求它的QR因子分解呢？實際上，從理論的角度來看，Gram-Schmidt正交化給出了一種數值實作的方法。不過，由于舍入誤差的影響，該方法會在計算過程中損失正交性，即理論上求得的向量之間是互相正交的，但是數值求得的向量的正交性很差。是以，在求解QR因子分解中，傳統的Gram-Schmidt正交化方法基本不用，而改用修正的Gram-Schmidt正交化方法。後者和前者相比，得到的向量的正交性更好，後者可以看成是一系列正交投影算子的作用，所謂 P 是一個正交投影算子，即它滿足P*P=P（投影算子）以及P\'=P。做個不恰當的類比，把向量之間的正交性看成是總體誤差的話，前者隻在最後一步進行了誤差校正，而後者在每一步都進行誤差校正，自然地，經過這樣的處理，後者的誤差顯然比前者小。
觀察 QR 因子分解，不管是傳統還是修正的Gram-Schmidt正交化過程，它們通過對矩陣施行三角化（右乘上三角陣），來依次求出 Q 的每一列，在[2]中稱作三角形對角化。另一種實作的方式是，通過構造一系列的正交矩陣（正交矩陣的乘積依舊是正交矩陣），來依次求出 R 的每一列（由于正交矩陣的轉置即為它的逆，是以相應的Q也很容易求得），這種方法稱為對角三角形化，如圖2所示：
圖2. 對角三角形化QR因子分解
下面的問題就是 Q 如何構造呢？點解，通過Householder變換或者Givens變換。先說Householder變換，參見圖3，它将一個向量變換到隻有前面數個坐标值非零，而後面的坐标值均為零的向量（參見圖2，将A通過Q1變換後，A的第一列向量發生了改變）v，那麼此時 Householder 變換為 Q1= I-2(vv\')/(v\'v)，其中v=-sign(x1)||x||e1，x是A的第一列，x1是向量x的第一個元素值，e1是第一個元素為1的機關向量(注1)。由于矩陣(vv\')/(v\'v)的秩為1，是以該變換也被稱為機關陣的秩1修正。至于 Q2 以及 Q3 的構造，以 Q2 為例，考慮下列分塊矩陣Q2=diag(I1, I2-2(v1v1\')/(v1\'v1))，其中v1是 Q1A 的第二列向量去掉第一個元素剩下的向量經過轉換得到的，容易驗證 Q2Q1A 就是圖2中的結果。Givens 變換是一個旋轉變換，每次将矩陣中的一個元素修改為0，與 Householder 變換相對應，它是機關矩陣的秩2修正。
圖3. Householder變化示意圖
總結一下，實作矩陣QR分解的方法有三角形對角化（修正的Gram-Schmidt算法，簡稱MGS）以及對角三角形化（Householder三角形化）。從數值結果的精度來看，尤其是正交矩陣之間的正交性來分析，後者比前者更好一些（注2），而Givens三角形化和Householder三角形化的結果相似[2]。但是，MGS可以根據需要在中間的某一步進行終止，而Householder三角形化卻不具備這一特點。
拉拉雜雜說了這麼多，有一個問題卻沒有提及，那就是 QR 方法有什麼用途呢？點解。矩陣的特征值問題（除了使用QR算法外，還使用了逆疊代以及位移技術，是以QR算法被稱為最複雜的算法），最小二乘法[3]以及多項式求根問題[4]中都有它的身影，而高斯消去法中涉及到的變換矩陣的某些性質在 MGS 中也出現過。
相應的Matlab指令： qr
注1. 從數學推導的角度來看，v的符号可以取為sign(x1)，之是以取成負數的形式，原因是為了避免兩個相近的數字相減的情形，而這種情形很容易造成數值結果精度的很大損失。
注2. 簡略地說，Householder三角化得到的正交矩陣的正交性和機器精度成正比，而MGS的正交矩陣的正交性和機器精度與矩陣A的條件數的乘積成正比。
注3. 文中涉及到的圖檔均取自參考資料[1]。
參考文獻：
[1] 數值線性代數 Chap7-11，L N. Trefethen，David Bau, lll 著，陸金甫，關治譯，人民郵電出版社，2006年
[2] 應用數值線性代數，J W. Demmel 著，王國榮譯，人民郵電出版社，2007年
[3] 矩陣計算（第三版），Gene H.Golub，Charles F.Van Loan 著，袁亞湘等譯，人民郵電出版社，2011年
[4]矩陣計算六講 Chap2，徐樹方，錢江著，高等教育出版社，2011年