【公式小記】自相關、卷積、能量信号、功率信号

整理思路主要參考了B站UP主AI破壁者二進制論的視訊，同時加了一些自己的了解。

1 自相關、卷積與功率譜

自相關（Auto-correlation）又叫序列相關，是一個信号與其自身在不同時間點的互相關。有一組連續時間信号： x ( t ) x(t) x(t)，其自相關函數為：

R ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) x ( t + τ ) d t R(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)x(t+\tau)dt R(τ)=∫−∞+∞​x(t)x(t+τ)dt

将信号 x ( t ) x(t) x(t)的自相關寫成卷積（Convolution）公式：

[ x ( t ) ∗ x ( t ) ] ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) x ( τ − t ) d t [x(t)*x(t)](\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(\tau-t)dt [x(t)∗x(t)](τ)=∫−∞+∞​x(t)x(τ−t)dt

卷積比自相關多一個“卷”(flip)操作。将信号先做翻轉，再做卷積，卷過去再卷回來正好抵消，與自相關等價：

R ( τ ) = [ x ( t ) ∗ x ( − t ) ] ( τ ) R(\tau)=[x(t)*x(-t)](\tau) R(τ)=[x(t)∗x(−t)](τ)

将信号進行傅裡葉變換，根據卷積定理，函數卷積的傅立葉變換是函數傅立葉變換的乘積，即時間域的卷積等價于頻率域的乘積，反之亦然。對 x ( t ) x(t) x(t)和 x ( − t ) x(-t) x(−t)分别進行傅裡葉變換，頻譜函數的實部是偶函數：

R ( τ ) = F ( ω ) = f x ( ω ) f x ( − ω ) = f x ( ω ) f ( ω ) = f x 2 ( ω ) R(\tau)=F(\omega)=f_x(\omega)f_x(-\omega)=f_x(\omega)f_(\omega)=f_x^2(\omega) R(τ)=F(ω)=fx​(ω)fx​(−ω)=fx​(ω)f(​ω)=fx2​(ω)

以上得到功率譜密度（power spectral density, PSD），信号的功率譜就是這段信号自相關函數的傅裡葉變換。

2 信号的能量與功率

帕塞瓦爾定理（Parseval’s theorem）證明了信号在時間域的累積能量和在頻率域的累積能量是相等的，即無論在時域還是頻域，能量總是守恒的。

∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( f ) ∣ 2 d f \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|x(f)|^2df ∫−∞∞​∣x(t)∣2dt=∫−∞∞​∣x(f)∣2df

其中 x ( f ) = F [ x ( t ) ] x(f)=F[x(t)] x(f)=F[x(t)]，即 x ( t ) x(t) x(t)的連續傅裡葉變換， f f f為連續信号 x x x的頻率分量。

對上面的PSD中的頻率 ω \omega ω做積分，就得出信号的能量（Energy）。能量就是信号的平方在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上的積分。

E = ∫ − ∞ ∞ f x 2 ( ω ) d ω E=\int_{-\infty}^{\infty}f_x^2(\omega)d\omega E=∫−∞∞​fx2​(ω)dω

因為帕塞瓦爾定理，這個式子和信号能量的一般表達式是等價的：

E = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T x 2 ( t ) d t E=\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt E=T→∞lim​∫−TT​x2(t)dt

能量除以時間 2 T 2T 2T就得到了信号的功率（Power）：

P = 1 2 T lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T x 2 ( t ) d t P=\frac{1}{2T}\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt P=2T1​T→∞lim​∫−TT​x2(t)dt

能量有限、功率為零的信号為能量信号，比如脈沖信号；能量無限、功率有限的信号為功率信号，周期信号都是功率信号。(下圖黑色為波形，藍色為脈沖)