文章目錄
- #基本公式
- #幾個高斯的公式(其實都是留數法)
- #留數法
- #一些公式
- #一些積分
歡迎糾錯
#基本公式
f ( z ) = u + v i f ( z ) 是 一 個 向 量 場 , 記 為 H , 取 其 共 轭 H ‾ 若 該 共 轭 向 量 場 滿 足 C − R 方 程 ( 無 散 無 旋 ) : ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , 即 ∇ ⋅ H ‾ = ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y = 0 ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y , 即 ∇ × H ‾ = − ( ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ) = 0 ∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ θ , ∂ v ∂ r = − 1 r ∂ u ∂ θ 則 f 為 解 析 函 數 若 ∇ 2 u = 0 , ∇ 2 v = 0 , 且 滿 足 C R 方 程 , 則 f 為 解 析 函 數 對 于 u , − v 分 量 , 其 梯 度 的 散 度 為 零 , 也 就 是 無 極 值 , 就 是 調 和 f(z)=u+vi\\\ \\ f(z)是一個向量場,記為H,取其共轭\overline{H}\\\ \\ 若該共轭向量場滿足C-R方程(無散無旋):\\\ \\ \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y} ,即\nabla\cdot\overline{H}=\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0 \\\ \\ \frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y},即\nabla\times\overline{H}=-(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})=0 \\\ \\ \frac{\partial u}{\partial r}= \frac 1 r \frac{\partial v}{\partial \theta}\space, \space\frac{\partial v}{\partial r}= -\frac 1 r \frac{\partial u}{\partial \theta}\\\ \\ 則f為解析函數\\\ \\ 若\nabla^2u=0,\nabla^2v=0,且滿足CR方程,則f為解析函數\\\ \\ 對于u,-v分量,其梯度的散度為零,也就是無極值,就是調和 f(z)=u+vi f(z)是一個向量場,記為H,取其共轭H 若該共轭向量場滿足C−R方程(無散無旋): ∂x∂u=∂y∂v,即∇⋅H=∂x∂u−∂y∂v=0 ∂x∂v=−∂y∂u,即∇×H=−(∂y∂u+∂x∂v)=0 ∂r∂u=r1∂θ∂v , ∂r∂v=−r1∂θ∂u 則f為解析函數 若∇2u=0,∇2v=0,且滿足CR方程,則f為解析函數 對于u,−v分量,其梯度的散度為零,也就是無極值,就是調和
常 數 , P n ( z ) , P n ( z ) P m ( z ) 解 析 常數,P_n(z),\frac{P_n(z)}{P_m(z)} 解析 常數,Pn(z),Pm(z)Pn(z)解析
指 數 函 數 : e z = e x ( cos y + i sin y ) , 單 葉 , 有 反 函 數 對 數 函 數 : L n ( z ) = l n ∣ z ∣ + i A r g z , L n k ( z ) = l n ∣ z ∣ + i ( a r g z + 2 k π ) l n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z , l n k z = l n z + i ⋅ 2 k π 三 角 函 數 : sin z = e i z − e − i z 2 i , cos z = e i z + e − i z 2 雙 曲 函 數 : sinh z = e z − e − z 2 , cosh z = e z + e − z 2 cosh 2 z − sinh 2 z = 1 , ( sinh z ) ′ = cosh z , ( cosh z ) ′ = sinh z sinh ( z 1 + z 2 ) = sinh z 1 cosh z 2 + cosh z 1 sinh z 2 sinh ( z 1 + z 2 ) = cosh z 1 cosh z 2 + sinh z 1 sinh z 2 幂 函 數 : w = e a L n ( z ) 反 三 角 函 數 : arctan z = 1 2 i L n ( 1 + i z 1 − i z ) arcsin z = − i L n ( i z + 1 − z 2 ) arccos z = − i L n ( i z + i 1 − z 2 ) 指數函數:e^z=e^x(\cos y+i\sin y),單葉,有反函數\\\ \\ 對數函數:Ln(z)=ln|z|+i Argz,Ln_k(z)=ln|z|+i(argz+2k\pi)\\\ \\ lnz=ln|z|+iargz,ln_kz=lnz+i\cdot 2k\pi\\\ \\ 三角函數:\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\\ \\ 雙曲函數:\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\\\ \\ \cosh^2z-\sinh^2z=1,(\sinh z)'=\cosh z,(\cosh z)'=\sinh z\\\ \\ \sinh(z_1+z_2)=\sinh z_1\cosh z_2+\cosh z_1 \sinh z_2\\\ \\ \sinh(z_1+z_2)=\cosh z_1\cosh z_2+\sinh z_1 \sinh z_2\\\ \\ 幂函數:w=e^{aLn(z)}\\\ \\ 反三角函數:\\\ \\ \arctan z=\frac{1}{2i}Ln(\frac{1+iz}{1-iz})\\\ \\ \arcsin z=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2})\\\ \\ \arccos z=-iLn(iz+i\sqrt{1-z^2})\\\ \\ 指數函數:ez=ex(cosy+isiny),單葉,有反函數 對數函數:Ln(z)=ln∣z∣+iArgz,Lnk(z)=ln∣z∣+i(argz+2kπ) lnz=ln∣z∣+iargz,lnkz=lnz+i⋅2kπ 三角函數:sinz=2ieiz−e−iz,cosz=2eiz+e−iz 雙曲函數:sinhz=2ez−e−z,coshz=2ez+e−z cosh2z−sinh2z=1,(sinhz)′=coshz,(coshz)′=sinhz sinh(z1+z2)=sinhz1coshz2+coshz1sinhz2 sinh(z1+z2)=coshz1coshz2+sinhz1sinhz2 幂函數:w=eaLn(z) 反三角函數: arctanz=2i1Ln(1−iz1+iz) arcsinz=−iLn(iz+1−z2
) arccosz=−iLn(iz+i1−z2
)
∫ c f ( z ) d z = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t \int_cf(z)dz=\int_c udx-vdy+i\int_cvdx+udy=\int_\alpha^\beta f[z(t)]z'(t)dt ∫cf(z)dz=∫cudx−vdy+i∫cvdx+udy=∫αβf[z(t)]z′(t)dt
∫ ∣ z − z 0 ∣ = ρ d z ( z − z 0 ) n = { 2 π i , n = 1 0 , o t h e r w i s e \int_{|z-z_0|=\rho} \frac{dz}{(z-z_0)^n}=\begin{cases} 2\pi i, & n=1\\ 0, & otherwise \end{cases} ∫∣z−z0∣=ρ(z−z0)ndz={2πi,0,n=1otherwise
f ( z ) 在 D 内 連 續 { ∫ c f ( z ) d z 在 D 内 與 路 徑 無 關 ( 無 旋 、 保 守 ) ∮ c f ( z ) d z = 0 有 F ( z ) , 使 得 f ( z ) = F ′ ( z ) ∫ c f ( z ) d z = F ( z 2 ) − F ( z 1 ) , F 為 矢 量 場 f 的 勢 場 f(z)在D内連續\left \{ \begin{array}{c} \int_cf(z)dz在D内與路徑無關(無旋、保守) \\ \oint_cf(z)dz=0 \\ 有F(z),使得f(z)=F'(z) \end{array} \right. \\\ \\ \int_cf(z)dz=F(z_2)-F(z_1),F為矢量場f的勢場 f(z)在D内連續⎩⎨⎧∫cf(z)dz在D内與路徑無關(無旋、保守)∮cf(z)dz=0有F(z),使得f(z)=F′(z) ∫cf(z)dz=F(z2)−F(z1),F為矢量場f的勢場
#幾個高斯的公式(其實都是留數法)
G a u s s 積 分 定 理 : { ∫ ∂ D f ( z ) d z = 0 ∂ D 為 D 的 正 向 邊 界 ∮ c f ( z ) d z = 0 c ∈ D G a u s s 積 分 公 式 : f ( z 0 ) = 1 2 π i ∫ ∂ D f ( z ) z − z 0 d z f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ G a u s s 高 階 導 數 公 式 : f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∫ ∂ D f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z Gauss積分定理:\\\ \\ \left \{ \begin{array}{c} \int_{\partial D}f(z)dz=0 & \partial D 為D的正向邊界 \\ \oint_cf(z)dz=0 & c \in D \end{array} \right.\\\ \\ Gauss積分公式:\\\ \\ f(z_0)=\frac 1 {2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\\ \\ f(z_0)=\frac 1 {2 \pi} \int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta\\\ \\ Gauss高階導數公式:\\\ \\ f^{(n)}(z_0)=\frac {n!} {2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\\\ \\ Gauss積分定理: {∫∂Df(z)dz=0∮cf(z)dz=0∂D為D的正向邊界c∈D Gauss積分公式: f(z0)=2πi1∫∂Dz−z0f(z)dz f(z0)=2π1∫02πf(z0+Reiθ)dθ Gauss高階導數公式: f(n)(z0)=2πin!∫∂D(z−z0)n+1f(z)dz
#留數法
f ( z ) 在 D 内 除 了 有 限 個 奇 點 外 處 處 解 析 , c 是 D 内 包 圍 若 幹 奇 點 的 無 交 叉 正 向 閉 曲 線 , 則 有 ∫ c f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n R e s [ f ( z ) , z k ] 計 算 規 則 : 1. 如 果 z 0 為 f ( z ) 的 一 級 極 點 , 那 麼 R e s [ f ( z ) , z 0 ] = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) 2. 如 果 z 0 為 f ( z ) 的 m 級 極 點 , 那 麼 R e s [ f ( z ) , z 0 ] = 1 ( m − 1 ) ! lim z → z 0 d m − 1 d z m − 1 ( ( z − z 0 ) m f ( z ) ) 3. 設 f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) , P ( z ) 、 Q ( z ) 在 z 0 都 解 析 , 如 果 P ( z 0 ) ≠ 0 , Q ( z 0 ) = 0 , Q ′ ( z 0 ) ≠ 0 , z 0 為 f ( z ) 的 一 級 極 點 R e s [ f ( z ) , z 0 ] = P ( z 0 ) Q ′ ( z 0 ) 4. 如 果 f ( z ) 在 擴 充 複 平 面 内 有 有 限 個 孤 立 奇 點 , 那 麼 f ( z ) 在 所 有 奇 點 ( 包 括 無 窮 遠 點 ) 的 留 數 和 為 0 f(z)在D内除了有限個奇點外處處解析,c是D内包圍若幹奇點的無交叉正向閉曲線,則有\\\ \\ \int_cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n Res[f(z), z_k]\\\ \\ 計算規則:\\\ \\ 1.如果z_0為f(z)的一級極點,那麼Res[f(z), z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\\\ \\ 2.如果z_0為f(z)的m級極點,那麼\\\ \\ Res[f(z), z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}((z-z_0)^mf(z))\\\ \\ 3.設f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},P(z)、Q(z)在z_0都解析,\\\ \\如果P(z_0)\ne 0,Q(z_0)=0,Q'(z_0)\ne0,z_0為f(z) 的一級極點\\\ \\ Res[f(z), z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}\\\ \\ 4.如果f(z)在擴充複平面内有有限個孤立奇點,\\\ \\那麼f(z)在所有奇點(包括無窮遠點)的留數和為0 f(z)在D内除了有限個奇點外處處解析,c是D内包圍若幹奇點的無交叉正向閉曲線,則有 ∫cf(z)dz=2πik=1∑nRes[f(z),zk] 計算規則: 1.如果z0為f(z)的一級極點,那麼Res[f(z),z0]=z→z0lim(z−z0)f(z) 2.如果z0為f(z)的m級極點,那麼 Res[f(z),z0]=(m−1)!1z→z0limdzm−1dm−1((z−z0)mf(z)) 3.設f(z)=Q(z)P(z),P(z)、Q(z)在z0都解析, 如果P(z0)=0,Q(z0)=0,Q′(z0)=0,z0為f(z)的一級極點 Res[f(z),z0]=Q′(z0)P(z0) 4.如果f(z)在擴充複平面内有有限個孤立奇點, 那麼f(z)在所有奇點(包括無窮遠點)的留數和為0
#一些公式
1 z 2 + 1 = 1 2 i ( 1 z − i − 1 z + i ) ( z 2 + 1 ) 2 = ( z + i ) 2 ( z − i ) 2 a + b i = i ( b − a i ) cos , sin 都 隻 有 單 零 點 cosh z = cos i z ; sinh z = 1 i sin i z cos 2 θ = 1 2 ( z 2 + 1 z 2 ) cos ( n π ) = ( − 1 ) n ; sin ( n π + π 2 ) = ( − 1 ) n cos ( n ) x = cos ( x + n π 2 ) ; sin ( n ) x = sin ( x + n π 2 ) cos ( π 2 + x ) = − sin x 唯 一 負 号 \frac{1}{z^2+1}=\frac 1 {2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})\\\ \\ (z^2+1)^2=(z+i)^2(z-i)^2\\\ \\ a+bi=i(b-ai)\\\ \\ \cos, \sin都隻有單零點\\\ \\ \cosh z=\cos iz;\sinh z=\frac 1 i \sin iz\\\ \\ \cos 2\theta=\frac 1 2 (z^2+\frac 1 {z^2})\\\ \\ \cos (n\pi)=(-1)^n;\sin (n\pi+\frac \pi 2)=(-1)^n\\\ \\ \cos^{(n)} x=\cos(x+\frac{n\pi}{2});\sin^{(n)} x=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\\\ \\ \cos(\frac \pi 2+x)=-\sin x唯一負号 z2+11=2i1(z−i1−z+i1) (z2+1)2=(z+i)2(z−i)2 a+bi=i(b−ai) cos,sin都隻有單零點 coshz=cosiz;sinhz=i1siniz cos2θ=21(z2+z21) cos(nπ)=(−1)n;sin(nπ+2π)=(−1)n cos(n)x=cos(x+2nπ);sin(n)x=sin(x+2nπ) cos(2π+x)=−sinx唯一負号
#一些積分
1. 對 于 : ∫ 0 2 π R ( cos θ , sin θ ) d θ , cos θ = z 2 + 1 2 z , sin θ = z 2 − 1 2 i z , d z = i z d θ 1.對于:\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta,\\\cos\theta=\frac{z^2+1}{2z},\sin\theta=\frac{z^2-1}{2iz},dz=izd\theta\\\ \\ 1.對于:∫02πR(cosθ,sinθ)dθ,cosθ=2zz2+1,sinθ=2izz2−1,dz=izdθ
2. 對 于 : ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) d x , Q 無 實 零 點 , Q 比 P 高 至 少 兩 次 , 則 ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) d x = 2 π i ∑ 上 半 平 面 内 奇 點 R e s [ f ( z ) , z k ] 2.對于:\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}dx,\\Q無實零點,Q比P高至少兩次,則\\\ \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}dx=2\pi i\sum_{上半平面内奇點} Res[f(z), z_k]\\\ \\ 2.對于:∫−∞+∞Q(z)P(z)dx,Q無實零點,Q比P高至少兩次,則 ∫−∞+∞Q(z)P(z)dx=2πi上半平面内奇點∑Res[f(z),zk]
3. 對 于 : ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) e i a x d x , a 非 0 , Q 無 實 零 點 , Q 比 P 至 少 高 一 次 ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) e i a x d x = { 2 π i ∑ 上 半 平 面 内 奇 點 R e s [ f ( z ) , z k ] a > 0 ( ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) e i ∣ a ∣ x d x ) ‾ a < 0 3.對于:\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{iax}dx,\\ a非0,Q無實零點,Q比P至少高一次\\\ \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{iax}dx= \begin{cases} 2\pi i\sum_{上半平面内奇點} Res[f(z), z_k] & a>0\\\ \\ \overline{(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{i|a|x}dx)}&a<0 \end{cases} 3.對于:∫−∞+∞Q(z)P(z)eiaxdx,a非0,Q無實零點,Q比P至少高一次 ∫−∞+∞Q(z)P(z)eiaxdx=⎩⎪⎨⎪⎧2πi∑上半平面内奇點Res[f(z),zk] (∫−∞+∞Q(z)P(z)ei∣a∣xdx)a>0a<0
E u l e r − P o i s s o n 積 分 : ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π 2 L a p l a c e 積 分 : ∫ 0 + ∞ cos a x 1 + x 2 d x ( a > 0 ) = π 2 e − a D i r i c h l e t 積 分 : ∫ 0 + ∞ sin x x d x = π 2 P o i s s o n 積 分 : ∫ 0 + ∞ e − x 2 cos ( 2 b x ) d x = π 2 e − b 2 F r e s n e l 積 分 : ∫ 0 + ∞ cos ( x 2 ) d x = ∫ 0 + ∞ sin ( x 2 ) d x = 2 π 4 Euler-Poisson積分: \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}} 2\\\ \\ Laplace積分:\int_0^{+\infty}\frac{\cos ax}{1+x^2}dx(a>0)=\frac \pi 2 e^{-a}\\\ \\ Dirichlet積分:\int_0^{+\infty}\frac{\sin x} xdx=\frac \pi 2\\\ \\ Poisson積分:\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos( 2bx) dx=\frac{\sqrt{\pi}} 2e^{-b^2}\\\ \\ Fresnel積分:\int_0^{+\infty}\cos(x^2)dx=\int_0^{+\infty}\sin(x^2)dx=\frac{\sqrt{2\pi}} 4 Euler−Poisson積分:∫0+∞e−x2dx=2π
Laplace積分:∫0+∞1+x2cosaxdx(a>0)=2πe−a Dirichlet積分:∫0+∞xsinxdx=2π Poisson積分:∫0+∞e−x2cos(2bx)dx=2π
e−b2 Fresnel積分:∫0+∞cos(x2)dx=∫0+∞sin(x2)dx=42π