初學者在學習C語言，談到不同資料類型時，一般都能了解 unsigned 和 signed 的差別，無非就是有無符号而已。但是對于 signed 資料類型的資料範圍，初學者卻常常會感到迷惑。
對于 signed 資料類型的資料範圍，初學者卻常常會感到迷惑
問題
例如提到 char 型能夠表示的資料範圍時，unsigned char 類型很好了解，所有的 8 位全部用于表示數值，是以 unsigned char 類型能夠表示 2^8 = 256 個數，例如 0 到 255。
對于 signed char 類型，最高一位表示符号(+/-)，能夠用于表示數值的是低 7 位。是以按理說，signed char 類型能夠表示的數值範圍為 -0b111111到 +0b1111111，也即 -127 到 127。
但是很多教科書上卻說 signed char 類型能夠表示的數值範圍為 -128 到 127，類似的還有 signed short 類型能夠表示的數值範圍為 -32768 到 32767，signed int 類型能夠表示的數值範圍為 -2147483648 到 2147483647，為什麼有符号的整數類型，負數部分總是比整數部分多出一個數呢？
這裡假設 short 類型占用 2 位元組記憶體空間，int 類型占用 4 位元組記憶體空間。
為什麼有符号的整數類型，負數部分總是比整數部分多出一個數呢？
初步分析
在C語言中，char 型變量占用 8 個位，對于 signed char 類型，最高位表示符号位，此時有 7 個位用于表示數值。按照數學中的排列組合，7 個位能夠表示 2^7 也即 128 個不同的數，若考慮正負号，signed char 類型最多也能表示 2*128=256 個不同的數。
但是，如果 signed char 類型能夠表示的數值範圍是 -0b111111到 +0b1111111(-127 到 127)，那麼能夠表示的隻有 255 個不同的數字了，與理論最大能夠表示的不同數字數 256 相比，少了一個，這是因為 -0 和 +0 其實是同一個數字，也即 0b10000000 和 0b00000000 是同一個數字 0。
這對于計算機來說很不友好，同樣的一個數字有兩種二進制碼，在處理時會顯得很麻煩。這種麻煩對于 CPU 的電路設計，同樣如此。
談到 CPU 的電路設計，我們還應該明白，固定的面積上能夠容納的電路單元數是固定的。如果 CPU 隻需處理加法運算，那麼設計師就隻需設計加法電路，這樣既簡單，又能最大程度的保障計算力。
簡單就好
可是在實際應用中，不可避免的需要減法運算，再考慮到 +/- 0 導緻的數字二進制碼重複問題，計算機中“補碼”的概念被提出了。
補碼
關于“補碼”的定義就不寫了，感興趣的讀者可以自行百科。這裡僅簡要的說下C語言中補碼是如何獲得的，其實很簡單：正數和 0 的補碼等于自身，負數的補碼則是将其對應正數按位取反再加1。
例如正數 0b00000011(3) 的補碼等于其自身，仍然為 0b00000011，而 0b10000001(-1)的補碼等于 0b11111110 + 1 也即 0b11111111(0xFF)。
補碼的最大優點是可以在加法或減法進行中，不需因為數字的正負而使用不同的計算方式。隻要一種加法電路就可以處理各種有符号數加法(減法可以用一個數加上另一個數的補碼來表示)，是以隻要有加法電路及補碼電路即可完成各種有符号數加法及減法，在電路設計上相當友善。
判斷數字是否為 0 時，隻要比較一次即可
另外，補碼下的 0 就隻有一個表示方式，是以在判斷數字是否為 0 時，隻要比較一次即可。
簡單來說，數字 a(正負數皆可)的補碼即為 -a。
為什麼 signed char 型能夠表示的數值範圍為 -128~127
因為 -0 和 +0 其實是同一個數字，是以原碼中 0b10000000 和 0b00000000 都表示數字 0。現在補碼下的 0 隻有一個表示方式：0b00000000，二進制碼 0b10000000 就多餘出來了。
浪費是可恥的，多出的二進制碼 0b10000000 不能白白丢棄。若考慮數字 0 的二進制碼 0b00000000，從它的符号位來看，計算機應該是将其當做“正數”的，0~127 是 128 個“正數”。
現在考察多出的二進制碼 0b10000000，從它的符号位來看，把它當做負數是合情合理的，事實上在C語言中，它表示-128，從 -128 到 -1，恰好是 128 個“負數”。
在C語言中，signed char 型二進制碼 0b10000000 的補碼仍然為 0b10000000，是以它是“數字a的補碼為 -a”原則的例外。
下表是一些 char 類型整數的補碼，可表示的範圍為 -128 到 127，總共 256 個不同整數。
char 類型整數的補碼，可表示的範圍為 -128 到 127
延伸：為什麼補碼能這麼巧妙實作了正負數的加減運算？
答案是：指定 n 位字長，就有 2^n 個可能的值，加減法運算都存在上溢出與下溢出的情況，實際上都等價于模 2^n 的加減法運算。這對于 n 位無符号整數類型或是 n 位有符号整數類型都同樣适用。
例如，8 位無符号整數的值的範圍是 0 到 255。是以 4+254 将上溢出，結果是 2，即
4+254 = 258 = 2 (mod 256)
8 位有符号整數的值的範圍，如果規定為−128到127，則 126+125 将上溢出，結果是−5，即
126+125 = 251 = -5(mod 256)
為什麼補碼能這麼巧妙實作了正負數的加減運算？
對于 8 位字長的有符号整數類型，以 2^8 即 256 為模，則
-128 = 128 (mod 256)-127 = 129 (mod 256)...-2 = 254 (mod 256)-1 = 255 (mod 256)
是以模 256 下的加減法，用 0, 1, 2,…, 254,255 表示其值，或者用 −128, −127,…, −1, 0, 1, 2,…,127 是完全等價的。−128與128，−127與129，…，−2與254，−1與255 可以互換而加減法的結果不變，需要的 CPU 加法運算器的電路實作與 8 位無符号整數并無不同。
實際上對于 8 位的存儲單元，把它的取值 [00000000,…, 11111111] 解釋為 [0, 255]，或者 [-1, 254]，或者[-2, 253]，或者[-128, 127]，或者[-200, 55]，甚至[500, 755]，對于加法硬體實作并無不同，都是一樣的。
小結
本節主要讨論了C語言中 signed char 型變量能夠表示的數值範圍，一般認為其能夠表示 -128~127 的整數，而不是 0b11111111(-127)到 0b01111111(127)，這也是初學者常常感到迷惑的地方。其實簡單來看，計算機的設計讨厭一切“浪費”，數字 0 用兩個二進制碼(+/-0)表示就是一種浪費，處理起來也比較麻煩。倒不如隻為 0 保留一種二進制碼 0b00000000，而将多出的二進制碼 0b10000000 用于表示 -128 友善了。
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