勾股定理求最值問題的情況較多，常與“兩點之間線段最短”結合，考查路徑最短問題。會将生活中的實際問題轉化為數學模型，利用數學知識去解決問題。在解決問題時，如果遇到立體圖形，比如常見長方體、正方體、圓柱體、圓錐體，那就需要将這些圖形的側面展開，構造出直角三角形，利用勾股定理求出最小值。不是所有的問題都可以利用“兩點之間線段最短”來解決的，有些題目可能要借助“将軍飲馬模型”來解決。
類型一：圓柱中的最短路徑
例題1：如圖所示，一個圓柱體高20cm，底面半徑為5cm，在圓柱體下底面的A點處有一隻螞蟻，想吃到與A點相對的上底面B處的一隻已被粘住的蒼蠅，這隻螞蟻從A點出發沿着圓柱形的側面爬到B點，則最短路程是多少cm？(π取3)
分析：首先要明确的是，這隻螞蟻從A點出發沿着圓柱形的側面爬到B點，在圓柱上看是一個曲面，沒法直接利用“兩點之間線段最短”來求解，是以需要将圓柱的側面展開。然後要明确的是從A到B是側面的一半，即當圓柱的側面展開後，點B為矩形長的一半。
解：AC=2×3×5÷2=15，BC=20，根據勾股定理可求得AB=25，是以最短路程是25cm.
類型二：圓錐中的最短路徑
例題2：如圖，一個圓錐的母線長為10cm，底面半徑為5cm，在圓錐的底面邊緣上一點A處有一隻螞蟻，想吃到點A相對的母線的中點B處的一粒砂糖，這隻螞蟻從點A出發，沿着曲面爬到點B，最短路線的長是多少？
分析：首先要明确的是，螞蟻從點A出發，沿着曲面爬到點B，在圓錐上是曲面，是以我們需要将圓錐側面展開，圓錐的側面是一個扇形，那就需要計算出扇形圓心角的度數。接着，需要明确同樣螞蟻隻爬行了半圈，并且點B在半徑的中點處，然後利用“兩點之間線段最短”求出爬行的最短距離。
類型三：正方體(長方體)中的最短路徑
例題3：如圖所示，一隻螞蟻處在正方體的一個頂點A處，它想爬到頂點B處尋找食物，若這個正方體的邊長為1，則這隻螞蟻所爬行的最短路程是多少？
分析：螞蟻從A到B，因為是立體圖，同樣不能直接由A到B，不可能鑽過去，隻能在表面爬行，需要将表面展開，找到A與B，構造直角三角形ABC，通過勾股定理求出線段AB的長度，即為最短距離。
在長方體中，比正方體難一點，因為正方體展開後都是正方形，是以隻有一種情況。但是長方體側面展開雖然都是矩形，但是卻要分三種情況進行讨論。
類型四：台階中最短路徑問題
例題4：如圖，是一個三級台階，它的每一級的長、寬和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個台階的兩個相對的端點，A點上有一隻螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這隻螞蟻從A點出發，沿着台階面爬到B點，最短線路是多少？
分析：螞蟻從A到B需要經過台階所有的平面，可以把這個台階展成一個平面，通過構造直角三角形，利用勾股定理來求最短距離。
解：将台階展開，因為AC=3×3+1×3=12，BC=5，
根據勾股定理可得：AB=13(cm)，
是以螞蟻爬行的最短線路為13cm．
答：螞蟻爬行的最短線路為13cm．