讨論回報控制系統校正網絡的設計問題。給出了回報控制系統設計的頻域校正方法，旨在獲得預期的系統性能，同時引入常用的超前校正網絡
（提供超前相角）和滞後校正網絡（
必要的增益衰減）。給出了設計超前校正網絡、滞後校正網絡的根軌迹法和伯德圖法。重新認識了PI控制器。
收獲（1）熟練使用
根軌迹法和
伯德圖設計
超前和滞後校正網絡；
（2）了解
前置濾波器的作用，了解如何設計
最小節拍響應系統；
（3）深化對控制系統的各種設計方法的認識。
基本概念 0 引入校正網絡的原因作為一個控制系統設計員，應該清醒地認識到，改進受控對象的品質特性，是提高回報控制系統性能的基礎性工作。然而，在控制系統設計的實踐中，通常還會面臨或者是受控對象無法更改，或者是受控對象已經經過了充分的改進，仍然得不到滿意的系統性能的情況。
在這樣的情況下，就有必要引入附加的校正網絡。
1 如何判斷是否是一個好的控制系統穩定性好；對各類輸入産生預期的響應；對系統參數的擾動不敏感；有比較小的穩态跟蹤誤差；能有效抑制外界幹擾的影響。
2. 已有的基礎在
回報控制系統的性能中定義了一系列系統性能的定量名額；在
線性回報系統中的穩定性中介紹了
系統穩定性及其分析方法（勞斯穩定判據）；在
根軌迹法中讨論了自平衡系統的設計問題和系統參數調節問題；在
頻率響應法和頻域穩定性中給出了控制系統的一些基于頻率變量w的頻率性能名額。
3. 校正裝置校正裝置是為了彌補控制系統性能的不足而引入的附加元件或電路；
4. 不同的校正方式校正環節在前向通道上，稱為
串聯校正；校正環節在回報通道上，稱為
回報校正；校正環節在閉環之後與輸出聯結，稱為
輸出校正（應用價值較小的一種校正方式
）；同理，如果是在輸入同環路之間，稱為
輸入校正。
：給定的時域名額的預期值（峰值響應時間
、最大超調量、允許調節時間），穩态跟蹤誤差、穩态響應名額。這些時域名額可以友善地
轉化為對閉環零極點位置的分布的設計要求（轉化為指定閉環零點和極點在 s 平面上的預期位置），通過
根軌迹方法判斷。
采用頻域性能名額來刻畫：給定頻域名額的預期值（系統的諧振峰值
、諧振頻率
、帶寬、相角裕度等），通過采用
極坐标圖、伯德圖、尼克爾斯圖，因為
伯德圖具有疊加特性，便于處理串聯校正網絡，是以應用更為廣泛。
6. 控制系統設計的工作總而言之，控制系統設計工作可以歸結為，通過改變系統的頻率響應或者根軌迹，使系統性能達到滿意的名額。
7. 超前校正網絡的設計方式比對 （1）采用伯德圖法設計校正網絡的要點：超前校正網絡可以為回報控制系統提供所需要的超前相角，保證系統具有足夠的相角裕度。
如果是提出了對系統
穩态誤差的設計要求，采用
伯德圖涉及更為合适。因為，采用 s 平面根軌迹法時，系統的穩态誤差常數與校正網絡的零點和極點有關，隻有在完成了超前校正網絡的設計之後，才能夠最終根據超前校正網絡的零點和極點，驗證穩态誤差常數是否滿足要求，這很容易導緻互動式的重複設計。
（2）采用 s 平面根軌迹法設計校正網絡的要點：可以根據需要改變系統的根軌迹，進而将系統的閉環主導極點配置在預期的位置上。
而如果是提出了超調量和調節時間等時域名額的設計要求時，則采用根軌迹法設計更為合适，因為可以友善的将給定的設計要求變換成對
和
的設計要求，進而便于确定預期主導極點的位置。
8. 最小節拍響應的定義
（1）穩态誤差為零；
（2）具有快速的響應，即具有最小的上升時間和調節時間；
（3）
（4）
校正的目的是獲得合适的開環傳遞函數
，設計和選擇的依據都是，根據需要改變閉環系統的根軌迹或頻率響應。
讨論一階校正網絡，因為一階校正網絡可以擴充到高階。
一階校正網絡 ，當
時，該校正網絡稱為
超前校正網絡。因為它的頻率特性函數為
，對應的相頻特性函數為
，是以可以為原有控制系統提供超前相角。
提供的最大超前相角的計算公式
，最大相角頻率為
相應地，
滞後校正網絡為
：（從
頻域和
s 複頻域的角度分析）主要目的在于提供一個超前相角 ，進而增大閉環系統的相角裕度；而在 s 平面上，超前校正網絡的作用在于按照需要改變閉環系統根軌迹的形狀，使閉環系統極點處在預期的位置。即
超前校正網絡主要着眼于改善控制系統的瞬态性能；
引入滞後校正網絡：引入滞後校正網絡的目的不是為了提供給一個滞後相角，而是主要着眼于适當衰減系統增益，以便
提高系統的穩态精度。
2. 伯德圖法設計超前校正網絡 （1）在保證穩态精度的前提下，計算
未校正系統的相角裕度；
（2）為穩妥起見（彌補幅值增益增加帶來的相角損失），在預留小幅相角之後，計算确定所需補充添加的超前相角
（3）根據公式
計算出
（4）計算
，在未校正系統的幅頻特性曲線上，确定與幅值增益
對應的頻率。由于超前校正網絡将會提供
的幅值增益附加增量。是以，這個頻率就是新的 0 dB 線穿越頻率
，同時将是校正網絡的最大超前相角出現頻率
（5）計算校正網絡的極點參數
和零點參數
（6）繪制校正後的閉環系統伯德圖，确認相角裕度是否滿足了設計要求。若仍不滿足設計要求，就必須重複上述設計步驟，直至相角裕度滿足設計要求；還請留意提高開環通道上的放大器增益，以便抵消超前校正網絡到來的衰減
，這樣才能最終得到可接受的校正設計方案。
實際上，在開關電源的帶右半平面零點的電路（Buck-Boost，Boost，Flyback）中的相角補償，就是這麼做的。
3. 用根軌迹設計超前校正網絡（1）根據系統的性能名額設計要求（
），導出主導極點的預期位置；
（2）繪制未校正系統的根軌迹，驗證未校正系統是否通過預期主導極點；
（3）如果需要校正原有系統，則先将超前校正網絡的零點直接配置在預期主導極點的下方，或配置在前兩個開環實極點的左側近旁（
因為不希望網絡零點改變預期主導極點的主導特性）；
（4）配置确定超前校正網絡的極點，使得在預期主導極點處，根軌迹條件要求的相角之和為
，以便確定校正過的根軌迹通過預期的主導極點；
（5）在預期主導極點處，确定系統的總增益，計算系統的穩态誤差常數；
（6）若穩态誤差不能滿足名額要求，則重複上述設計過程。
優點：可以盡早确定閉環控制系統主導極點的位置，進而盡早确定系統瞬态響應的主要特性。
不足：與伯德圖相比，在于不能直接得到系統的穩态誤差（
如速度誤差常數 ）
4. 積分型校正網絡設計回報控制系統例如PI控制器就是一類常用的積分型校正網絡，其傳遞函數為
（1）繪制未校正系統的根軌迹；
（2）根據給定的系統瞬态性能設計要求，在未校正的根軌迹上，确定能夠滿足設計要求的系統預期主導極點；
（3）根據預期主導極點，确定未校正系統的增益取值，并計算此時的穩态誤差常數；
（4）比較校正前後的穩态誤差常數，計算所需的增益放大倍數，即滞後校正網絡零、極點幅值之比
（5）根據已知的
的取值，配置滞後校正網絡的零點和極點。為了保證校正後的根軌迹仍然通過預期主導極點，相對于
而言，應該将滞後校正網絡的零點和極點都配置在 s 平面上靠近原點的地方。
6. 用伯德圖法設計滞後校正網絡（1）根據穩态誤差的設計要求，确定未校正系統的增益 K ，并繪制相應的系統的伯德圖；
（2）計算未校正系統的相角裕度，若不能滿足設計要求，則繼續下面的設計步驟；
（3）确定能夠滿足相角裕度設計要求的穿越頻率
。确定穿越頻率時，應當考慮滞後校正網絡可能引起的附加滞後相角。在通常情況下，可以将滞後相角的預留取值為
（4）配置滞後校正網絡的零點。為了確定附加滞後相角不超過
，滞後校正網絡的零點頻率應該比新的預期穿越頻率
小十倍程；
（5）根據預期穿越頻率
和未校正系統的扶貧特性曲線，确定所需要的增益衰減；
（6）在穿越頻率
處，滞後校正網絡産生的增益衰減為
。由此可以确定網絡的設計參數
（7）計算滞後校正網絡的極點頻率
設計的一種綜合性的校正網絡，既能像滞後網絡那樣提供必要的幅值衰減，又能像超前校正網絡那樣提供所需要的超前相角。
引入前置濾波器（例如：
）的
原因：當校正網絡具有
的形式的時候，能改變閉環特征根，但是也會包含
的零點，這個新增的零點可能會嚴重影響閉環系統的瞬态響應。
作用：引入前置濾波器對消掉閉環零點，有利于發揮實極點的阻尼作用，進而降低系統的超調量。
由此可見，前置濾波器是一個有效地設計工具，它容許設計者大膽引入帶有零點的校正網絡來調整閉環極點，同時有效地消除 。
考慮：當校正網絡是超前校正網絡或者是PI控制器時，我們需要為系統配置前置濾波器；而當系統是滞後校正網絡時，由于其零點幅值小，與極點又非常接近，因而它對系統響應常常可以忽略不計，可以不用配置前置濾波器。
三. 使用matlab軟體設計回報控制系統重點關注如何用計算機分析工具來設計超前校正網絡和滞後校正網絡，以及如何獲得系統的響應。
- 對轉子繞線機控制系統
系統的設計目标是對斜坡輸入有很高的穩态精度。
% Rotor winder control system transient response
% for a simple gain controller with K=50, 100, 200,
% and 300.
%
K=[50 100 200 500];
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
t=[0:0.01:5];
for i=1:4
sys=feedback(K(i)*sysg,[1]);
y=step(sys,t);
Ys(:,i)=y;
end
plot(t,Ys(:,1),t,Ys(:,2),t,Ys(:,3),t,Ys(:,4))
grid
xlabel('Time (sec)'), ylabel('y(t)')
legend('K=50','K=100','K=200','K=500')
上圖是給出了當Gc(s)為比例控制器
的四種情況時的系統階躍響應。系統的穩态誤差為
。當K=500時，系統對斜坡輸入的穩态誤差為10%，但是系統對階躍輸入的超調量則高達70%，調節時間長達 8s 。
這樣的系統是不能滿足實際需求的，是以必須系統必須引入較為複雜的校正網絡，即上述讨論中的超前或滞後校正網絡。
首先
嘗試超前校正網絡 ,其中
給定的系統設計要求是：
（1）系統的斜坡響應的穩态誤差小于10%，即
（2）系統階躍響應的超調量小于 10%
（3）調節時間（按 2% 準則）
根據給定的設計要求，利用近似公式
，
可以得到
，并可以推知系統的相角裕度應該為
在明确了頻域内的設計要求之後，就可以按照下面的步驟設計超前校正網絡：
（1）K = 500時，繪制未校正系統的伯德圖，并計算相角裕度；
（2）确定所需要的附加超前相角
（3）根據
，計算校正網絡參數
（4）計算
，在未校正系統的伯德圖上，确定與幅值增益
對應的頻率
（5）在
附近，繪制校正後的幅頻特性漸近線，該漸近直線在
處與 0 dB 線相交，斜率等于未校正時的斜率加上
。該直線和未校正的幅頻特性曲線的交點，确定了超前校正網絡的零點。再根據
,計算得到超前校正網絡的極點；
（6）繪制校正後的伯德圖，檢驗矯正後系統的相角裕度是否滿足了設計要求。如果不滿足，則重複前面的各設計步驟；
（7）增大系統增益，補償由超前校正網絡帶來的增益衰減
（8）仿真計算系統的階躍響應，驗證最後的設計結果。如果設計結果不能夠滿足實際需求，則重複前面的各個設計步驟
則依次完成
未校正系統的伯德圖繪制、
校正後系統的伯德圖繪制、
校正後系統的實際階躍響應繪制。本例中設計的超前校正網絡為
，其中，增益 K=1800 是反複運作這些腳本進行計算之後做出的選擇。
未校正系統的伯德圖繪制%
% Rotor winder control uncompensated system Bode diagram
% for lead controller design.
%
K=500;
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
sys=K*sysg;
%
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys);
%
Phi=(60-Pm)*pi/180;
alpha=(1+sin(Phi))/(1-sin(Phi))
[mag,phase,w]=bode(sys);
mag_save(1,:)=mag(:,1,:);
%
M=-10*log10(alpha)*ones(length(w),1);
%
semilogx(w,20*log10(mag_save),w,M), grid
xlabel('Frequency (rad/sec)'), ylabel('Magnitude (dB)')
% Rotor winder control compensated system Bode diagram
% with lead controller
%
% 1800(s+3.5)
% Gc(s) = ------------- .
% s+25
%
K=1800;
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
numgc=K*[1 3.5]; dengc=[1 25]; sysgc=tf(numgc,dengc);
sys=series(sysgc,sysg);
margin(sys);
即表現為，校正之後的增益裕度為
，相角裕度為
% Rotor winder control compensated system step response
% with lead controller
%
% 1800(s+3.5)
% Gc(s) = ------------- .
% s+25
%
K=1800;
%
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
numgc=K*[1 3.5]; dengc=[1 25]; sysgc=tf(numgc,dengc);
%
syso=series(sysgc,sysg);
sys=feedback(syso,[1]);
%
t=[0:0.001:2];
step(sys,t);
ylabel('y(t)')
引入超前校正網絡之後，校正後的系統滿足了對調節時間和超調量的設計要求，但是由于
，這不能滿足對穩态誤差的設計要求，此時系統斜坡響應的穩态誤差将達到20%。
盡管超前校正網絡已經明顯加大了系統的相角裕度，改善了系統的瞬态性能，但如果我們繼續重複上面的設計過程，仍然有可能進一步改進已有的設計結果。
為了減小系統的穩态誤差，再來嘗試滞後校正網絡。滞後校正網絡的傳遞函數為
，其中
。雖然可以繼續采用伯德圖的方法，但是更願意改用
根軌迹法來完成設計。
根據已知條件可以推知
，由此可以得到預期閉環主導極點的配置區域。
滞後校正網絡的設計步驟可以歸結如下：
（1）繪制未校正系統的根軌迹；
（2）在
确定的預期主導極點的允許配置區域内，在未校正系統的根軌迹上确定校正後的預期主導極點；
（3）計算與預期主導極點對應的系統增益和未校正系統給的速度誤差常數
（4）計算
，在本例中，有
；
（5）根據所求得的
，确定滞後校正網絡的極點和零點，使校正後的根軌迹經過預期的主導極點；
（6）仿真即使按系統的實際響應，檢驗設計結果，如果需要，則重複前面的設計步驟
未校正系統的根軌迹% Rotor winder control uncompensated system root locus.
% Performance region automatically shown on plot.
%
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
clf; rlocus(sysg); hold on
%
zeta=0.5912; wn=2.2555;
x=[-10:0.1:-zeta*wn]; y=-(sqrt(1-zeta^2)/zeta)*x;
xc=[-10:0.1:-zeta*wn];c=sqrt(wn^2-xc.^2);
plot(x,y,':',x,-y,':',xc,c,':',xc,-c,':')
axis([-15,1,-10,10]);
% Rotor winder control compensated system root locus
% with lag controller
%
% s+0.1
% Gc(s) = ------- .
% s+0.01
%
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
numgc=[1 0.1]; dengc=[1 0.01]; sysgc=tf(numgc,dengc);
sys=series(sysgc,sysg);
clf; rlocus(sys); hold on
%
zeta=0.5912; wn=2.2555;
x=[-10:0.1:-zeta*wn]; y=-(sqrt(1-zeta^2)/zeta)*x;
xc=[-10:0.1:-zeta*wn];c=sqrt(wn^2-xc.^2);
plot(x,y,':',x,-y,':',xc,c,':',xc,-c,':')
axis([-15,1,-10,10]);
校正後根軌迹幾乎沒有變化
本例最終設計的滞後校正網絡為
，零極點的選取距離 s 平面的原點非常接近，因而避免了明顯地改變未校正系統的根軌迹。
校正後系統的階躍響應% Rotor winder control compensated system step response
% with lag controller
%
% 100(s+0.1)
% Gc(s) = ----------- .
% s+0.01
%
clc;
clear;
K=100;
numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);
numgc=K*[1 0.1]; dengc=[1 0.01]; sysgc=tf(numgc,dengc);
syso=series(sysgc,sysg);
sys=feedback(syso,[1]);
step(sys)
在本例的設計過程中，首先在處于主導極點允許的範圍配置區間内的那一部分未校正根軌迹上，標明預期主導極點，然後我們用函數 rlocfind 計算了增益 K 的對應取值，為了滿足對
的設計要求，又計算了
的合适取值，進而得到了期望的
；在配置滞後校正網絡的極點和零點時，将極點和零點分别取為
，它們都非常接近 s 平面的原點，因而避免了明顯地改變未校正系統的根軌迹。設計結果使得
，達到了預期的效果，但還沒有滿足控制系統調節時間和超調量的設計要求。
盡管與超前校正網絡相比，滞後校正已經明顯減小了系統對斜坡輸入的穩态誤差，但如果我們繼續重複上面的設計過程，仍然有可能進一步改進已有的設計結果。
四. 循序漸進的例子為磁盤驅動器讀取系統設計合适的PD控制器，以便保證系統能夠滿足對機關階躍響應的設計要求。
帶有PD控制器的磁盤驅動器控制系統（二階模型）
為閉環系統配置了前置濾波器，其目的在于消除零點因式（s+z）對閉環傳遞函數的不利影響。為了得到具有最小節拍響應的系統，首先将傳遞函數标準化，對于一個三階系統而言
，在此處，将預期的閉環傳遞函數取為：
，最小節拍要求
最小節拍響應系統标準化傳遞函數的典型系數和響應性能名額
于是要求調節時間滿足
，由于設計要求有
，如果取
，就應該有
，于是可以得到特征多項式為
而整體框圖得到的閉環特征方程為
，通過兩式比較系數可得
，進而可以得到
，由此可以得到的控制器為
而前置濾波器為
，實際的結果也如上圖中所示。
五. 整體内容小結讨論了回報控制系統的多種校正網絡的設計和系統綜合方法。
考察了在回報控制系統中引入串聯校正網絡的可行性和必要性。串聯校正網絡可以用來改變系統的根軌迹形狀或改變系統的頻率響應，是一種非常有效的校正方式。
詳細介紹了相角超前校正網絡和相角滞後網絡，并介紹了如何用伯德圖法和 s 平面上的根軌迹來設計校正網絡的方法。
超前校正網絡可以增大系統的相角裕度，進而增強系統的穩定性。再設計超前校正網絡時，如果隻給定了對超調量和調節時間的設計要求，建議采用 s 平面上的根軌迹法；如果還給定了穩态誤差常數的設計要求，則最好采用伯德圖法，如果要求回報控制系統具有很大的穩态誤差常數，就更适合于采用積分型校正網絡（如滞後校正網絡）來校正系統。請留意，
超前校正網絡會增大系統的帶寬，而滞後校正網絡則會減小系統的帶寬。當系統内部或系統輸入中含有噪聲時，系統帶寬将是影響系統性能的主要因素之一。還請注意，
令人滿意的設計結果通常導緻在 0 dB線的交點處，校正後的幅頻特性曲線斜率為 -20 dB/dec、