【信号與系統|吳大正】4：信号分解、傅裡葉變換與信号譜(下)

信号分解、傅裡葉變換與信号譜

在【信号與系統|吳大正】4：信号分解、傅裡葉變換與信号譜(上)中我們着重讨論了信号的分解，以及從傅裡葉級數引出傅裡葉變換的定義及相關性質；

在這篇文章中，我們開始讨論信号的不同頻譜及其特點，以及将傅裡葉引入到信号與系統的分析過程中

信号譜與譜估計

能量譜

1. 信号能量的定義

2. 帕斯瓦爾方程

3. 能量密度譜

• 能量有限信号的自相關函數和其能量密度譜是一對傅裡葉變換

  

功率譜

1. 信号的功率、功率譜與功率密度譜

2. 自相關函數與功率密度譜

• 功率有限信号的自相關函數和其功率譜構成傅裡葉變換對

  

白噪聲功率譜密度的估計

白噪聲屬于随機信号，是一種沒有确定的頻譜，但是有相關統計量的一種信号，是以不能直接用頻譜圖對白噪聲信号進行表示。

根據前文讨論過的信号功率譜與能量譜，我們也可以利用白噪聲信号的自相關函數以及傅裡葉變換，求出其功率譜密度，借助功率譜來描述其頻域特性。

傅裡葉變換與系統分析

周期信号與傅裡葉變換

• 周期信号的傅裡葉變換
• 周期信号的傅裡葉級數與傅裡葉變換

1. 周期信号的傅裡葉變換

按照我們目前所讨論的知識點，對于周期信号我們可以用傅裡葉級數進行展開，對于非周期信号我們可以用傅裡葉變換進行求解；

于是我們開始思考是否可以對周期信号也進行傅裡葉變換的作用，這樣就可以讓傅裡葉變換在周期/非周期信号領域進行統一。

故：我們的核心就是要在傅裡葉級數與傅裡葉變換之間尋找關系，已知傅裡葉級數是若幹三角函數項(或虛指數項)的總和，是以我們先來探究三角函數（虛指數函數）的傅裡葉變換結果。

2. 方法論——求解周期信号的傅裡葉變換

• 展開成傅裡葉級數，得到傅裡葉系數，利用公式結論
• 将周期信号分解成基本信号與沖激序列信号的卷積，利用傅裡葉變換的卷積定理

  

3. 傅裡葉級數與傅裡葉變換之間的關系

信号、系統與響應

• 基本信号作用于LTI系統的響應
• 一般信号作用于LTI系統的響應

1. 基本信号作用于LTI系統的響應

• 基本信号是虛指數信号ejwt

  

• 所求響應為零狀态響應，也即全響應

在頻域分析中，基本信号的定義域設定為(-∞，+∞)，而t=-∞的時候總可以認為系統的狀态為0，是以這裡求解的全響應也就是零狀态響應。

• y(t) = H(jω)·ejωt

  

2. 一般信号作用于LTI系統的響應

要對一般信号進行分解，然後找到其和基本信号的關系，在找到它們響應之間的關系式。

• 推導過程

利用了傅裡葉變換的定義式，以及LTI系統零狀态響應的齊次性和可加性；

①明确基本信号響應的特點——基本信号的響應依然是基本信号，隻不過進行了線性的縮放

②任意信号的分解實際上就是傅裡葉級數的分解，将任意信号展開成基本信号的線性組合

• 結論

LTI系統零狀态響應的求解式子y(t) = f(t)*h(t)是一直成立的；

隻不過在頻域分析中，信号要通過傅裡葉變換得到頻域表現形式，而根據時域和頻域的轉換規則，卷積運算也相應變成乘積運算，得到Y(jω)=F(jω)·H(jω)

傅裡葉分析法

• 傅裡葉變換分析法
• 傅裡葉級數分析法

1. 傅裡葉變換分析法

由上圖所示，因為從時域轉換成頻域，使得卷積運算變成乘法運算縮減了卷積運算的計算量，但同時也增加了信号之間進行傅裡葉正反變換的次數。

2. 傅裡葉級數分析法

傅裡葉變換分析和傅裡葉級數都是在進行系統分析時的可選選擇，兩者并不沖突。

傅裡葉變換分析對周期/非周期均可使用；傅裡葉級數分析隻能對周期信号使用。

（1）複指數級數的分析

• 推導

  

• 方法論

  

  （2）三角級數的分析
• 可以利用歐拉公式将三角級數轉換成複指數形式，利用上式的結論
• 也可以直接對三角函數的響應結構進行讨論，以下僅給出結論

  

3. LTI系統頻域分析示例