3d變換基礎：平移、旋轉、縮放（仿射變換）詳解——公式推導

文章目錄

• 平移、旋轉、縮放
• • 平移
  • 旋轉
  • • 1. 沿x軸旋轉
    • 2. 沿y軸或者z軸旋轉
  • 縮放

是時候整理一波3d變換相關的知識了。模型的變換可以認為是空間中一堆點的變換，三維空間中，（x,y,z）可以認為是點，也可以認為是一個向量，是以，人們引入的第4個次元來辨別是點還是向量，這個4維空間就叫 仿射空間，具體可以參考 CV及CG數學基礎：空間，在仿射空間中，(x,y,z,0)辨別向量，而（x,y,z,1）表示點。

平移、旋轉、縮放

平移

平移沒什麼好說的，（x,y,z,1）向x，y，z軸分别移動a,b,c機關長度後變成（x+a, y+b, z+c, 1）。寫成矩陣相乘的方式即為：

[ x + a y + b z + c 1 ] = [ 1 0 0 a 0 1 0 b 0 0 1 c 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x+a \\ y+b \\ z+c \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x+ay+bz+c1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​abc1​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

旋轉

對于旋轉，任何一個旋轉都可以認為是沿着x，y，z軸分别旋轉 α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ 度數，是以選旋轉就先講沿着某個軸向的旋轉。這裡以逆着坐标軸正向方向看去的順時針為旋轉的正向，就是你的視線朝向和坐标軸正向是相反的，(⊙o⊙)…我還是畫個圖吧，下圖就是沿着z軸旋轉的正向了哈~

1. 沿x軸旋轉

嗯！這裡推一波公式，其實很簡單，就是三角函數。

如上圖左邊，A點沿着x軸旋轉一定角度變成A’，為了更容易看，右圖是左圖的左視圖，記旋轉的角度為 θ \theta θ, 旋轉後得到的A’與旋轉中心連線與y軸正方向的夾角為 α \alpha α（圖中的 α \alpha α是個負值），記A’與旋轉中心連線的長度為L（A與旋轉中心連線的長度也是L），那麼，顯而易見，有：

x ′ = x y ′ = L ⋅ c o s ( θ + α ) z ′ = L ⋅ s i n ( θ + α ) \begin{aligned} x' =& x\\ y' =& L·cos(\theta + \alpha)\\ z' =& L·sin(\theta + \alpha) \end{aligned} x′=y′=z′=​xL⋅cos(θ+α)L⋅sin(θ+α)​

y = L ⋅ c o s α z = L ⋅ s i n α \begin{aligned} y =& L·cos\alpha\\ z =& L·sin\alpha \end{aligned} y=z=​L⋅cosαL⋅sinα​

根據三角函數公式可以得到

y ′ = L ⋅ c o s ( α − θ ) = L ⋅ ( c o s α c o s θ − s i n α s i n θ ) = y c o s θ − z s i n θ z ′ = L ⋅ s i n ( α − θ ) = L ⋅ ( s i n θ c o s α + c o s θ s i n α ) = y s i n θ + z c o s θ \begin{aligned} y' =& L·cos(\alpha - \theta) = L·(cos\alpha cos\theta - sin\alpha sin\theta) = ycos\theta -zsin\theta\\ z' =& L·sin(\alpha - \theta) = L·(sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha ) = ysin\theta + zcos\theta \end{aligned} y′=z′=​L⋅cos(α−θ)=L⋅(cosαcosθ−sinαsinθ)=ycosθ−zsinθL⋅sin(α−θ)=L⋅(sinθcosα+cosθsinα)=ysinθ+zcosθ​

綜上，有：

x ′ = x y ′ = y c o s θ − z s i n θ z ′ = y s i n θ + z c o s θ \begin{aligned} x' =& x\\ y' =& ycos\theta -zsin\theta\\ z' =&ysin\theta + zcos\theta \end{aligned} x′=y′=z′=​xycosθ−zsinθysinθ+zcosθ​

現在就可以寫成漂亮的矩陣形式了：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ 1 0 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

2. 沿y軸或者z軸旋轉

推了x軸的，其他兩個軸向其實原理都是一樣的。

對于y軸，可以簡單把y軸和x軸對調，也就是公式裡的x，y對調，不過這樣子的話，z軸的方向會反過來，是以再把z相關的加個符号就好了。

公式如下：

y ′ = y x ′ = x c o s θ + z s i n θ z ′ = − x s i n θ + z c o s θ \begin{aligned} y' =& y\\ x' =& xcos\theta +zsin\theta\\ z' =&-xsin\theta +zcos\theta \end{aligned} y′=x′=z′=​yxcosθ+zsinθ−xsinθ+zcosθ​

寫成漂亮的矩陣形式就是：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s θ 0 s i n θ 0 0 1 0 0 − s i n θ 0 c o s θ 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta &0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

對于z軸，x，z互換，y置反，直接上公式：

z ′ = z y ′ = y c o s θ + x s i n θ x ′ = − y s i n θ + x c o s θ \begin{aligned} z' =& z\\ y' =& ycos\theta +xsin\theta\\ x' =&-ysin\theta + xcos\theta \end{aligned} z′=y′=x′=​zycosθ+xsinθ−ysinθ+xcosθ​

矩陣形式：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta&0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

那一個物體沿着x，y，z 軸分别旋轉 α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ 度數就把3個矩陣相乘就好了。

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s γ − s i n γ 0 0 s i n γ c o s γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ c o s β 0 s i n β 0 0 1 0 0 − s i n β 0 c o s β 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\gamma& -sin\gamma&0 & 0 \\ sin\gamma& cos\gamma& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\beta&0 & sin\beta& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\beta& 0 & cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ 0 & sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosγsinγ00​−sinγcosγ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​cosβ0−sinβ0​0100​sinβ0cosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s β c o s γ s i n α s i n β c o s γ − s i n γ c o s α s i n β c o s α c o s γ + s i n α s i n γ 0 c o s β s i n γ c o s α c o s γ + s i n α s i n β s i n γ − s i n α c o s γ + s i n γ s i n β c o s α 0 − s i n β s i n α c o s β c o s α c o s β 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\beta cos\gamma & sin\alpha sin\beta cos\gamma - sin\gamma cos\alpha & sin\beta cos\alpha cos\gamma +sin\alpha sin\gamma & 0\\ cos\beta sin\gamma & cos\alpha cos\gamma + sin\alpha sin\beta sin\gamma & -sin\alpha cos\gamma + sin\gamma sin\beta cos\alpha & 0 \\ -sin\beta & sin\alpha cos\beta& cos\alpha cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosβcosγcosβsinγ−sinβ0​sinαsinβcosγ−sinγcosαcosαcosγ+sinαsinβsinγsinαcosβ0​sinβcosαcosγ+sinαsinγ−sinαcosγ+sinγsinβcosαcosαcosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

縮放

縮放感覺也沒的說，直接上公示，下面公式表示沿着x，y，z軸分别縮放a，b，c倍：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​a000​0b00​00c0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​