根據上一節,模型預測控制在實作過程中有3個關鍵步驟,一般被稱為3 項基本原理,分别是預測模型、滾動優化和回報校正。以下分别對這3項基本原理進行介紹。
①預測模型:預測模型是模型預測控制的基礎。其主要功能是根據對象的曆史資訊和未來輸入,預測系統未來的輸出。對預測模型的形式沒有做嚴格的限定,狀态方程、傳遞函數這類傳統的模型都可以作為預測模型。對于線性穩定系統,階躍響應、脈沖響應這類非參數模型,也可以直接作為預測模型使用。
②滾動優化:模型預測控制通過某一性能名額的最優來确定控制作用, 但優化不是一次離線進行,而是反複線上進行的。這就是滾動優化的含義,也是模型預測控制差別于傳統最優控制的根本點。
③回報校正:為了防止模型失配或者環境幹擾引起控制對理想狀态的偏離,在新的采樣時刻,首先檢測對象的實際輸出,并利用這一實時資訊對基于模型的預測結果進行修正,然後再進行新的優化。
基于這3個要素,模型預測控制的基本原理可以用下圖來表示。控制過程中,始終存在一條期望參考軌迹,如圖中曲線1所示。以時刻k作為目前時刻（坐标系縱軸所在位置）,控制器結合目前的測量值和預測模型,預測系統未來一段時域内[,k＋N。]（也被稱為預測時域）系統的輸出,如圖中曲線2所示。通過求解滿足目标函數以及各種限制的優化問題,得到在控制時域[k,k＋N。]内一系列的控制序列,如圖中的矩形波4所示（從坐标系縱軸開始),并将該控制序列的第一個元素作為受控對象的實際控制量。當來到下一個時刻k＋1時,重複上述過程,如此滾動地完成一個個帶限制的優化問題,以實作對被控對象的持續控制。
模型預測控制原理框圖如下圖所示,包含了MPC控制器、被控平台和狀态估計器這3個子產品。其中,MPC控制器結合預測模型、目标函數和限制條件進行最優化求解,得到目前時刻的最優控制序列u'（t）,輸入到被控平台,被控平台按照目前的控制量進行控制,然後将目前的狀态量觀測值x（t)輸入給狀态估計器。狀态估計器對于那些無法通過傳感器觀測得到或者觀測成本過高的狀态量進行估計。比較常用的方法有Kalman濾波、粒子濾波等。将估計的狀态量(t）輸入到MPC控制器,再次進行最優化求解,以得到未來一段時間的控制序列。如此循環,就構成了完整的模型預測控制過程。
根據所采用模型的不同,模型預測控制主要包括動态矩陣控制（Dynamic Matrix Control,DMC)、模型算法控制（Model Algorithm Control,MAC）、廣義預測控制（Generalized Predictive Control,GPC）等。同時,在現代控制理論中廣泛使用的狀态空間模型,同樣可以應用于模型預測控制中。
Ⅰ線性時變模型預測控制算法
線性時變模型預測控制算法是以線性時變模型作為預測模型的。這也是目前在模型預測控制領域中應用最為廣泛的一種形式。相比于非線性模型預測控制,它的最大優點是計算較為簡單,實時性好。對于無人駕駛車輛的運動控制來說,控制算法的實時性顯然是至關重要的,是以線性時變模型預測控制是需要重點介紹的一種MPC控制方法。
（1）預測方程
首先,考慮以下的離散線性化模型:
設定：
可以得到如下的新的空間表達式：
式中各矩陣的定義如下：
實際上,系統的控制增量是未知的,隻有通過設定合适的優化目标、并對其進行求解,才能得到控制時域内的控制序列。我們可以得到如下形式的目标函數:
對于以上形式的優化目标,可以通過适當的處理将其轉換為二次規劃（Quadratic Programming,QP）問題。二次規劃是一個典型的數學優化問題。它的優化目标是二次實函數,帶有線性或者非線性限制。其常用的解法為有效集法（Active Set Method,ASM）和内點法（Interior Point Method,IPM）。有效集法适用于解決隻有不等式限制的二次規劃問題,而内點法适用于任何形式的二次規劃問題。
以控制量作為目标函數中的狀态量,結構簡單,易于實作;但也存在一些缺點,比較顯著的就是沒法對控制增量進行精确限制。當系統對于控制量跳變要求較為嚴格時,這樣的目标函數就無能為力了。此時,可以把控制增量作為目标函數的狀态量,優化目标函數可以設為如下形式:
其中,第一項反映了系統對參考軌線的跟随能力,第二項反映了對控制量平穩變化的要求。Q和R為權重矩陣,整個表達式的功能是使系統能夠盡快且平穩地跟蹤上期望的軌迹。同時,在實際的控制系統中,往往需要滿足系統狀态量以及控制量的一些限制條件,一般如下:
控制量限制：
控制增量限制：
輸出限制：
Ⅱ非線性系統線性化方法
根據車輛系統模組化的知識,我們知道,無論是運動學模組化,還是動力學模組化,得到的都是一個非線性系統。顯然,這種系統是不能直接用于線性時變模型預測控制的。本節介紹如何将一般的非線性系統進行線性化處理,以得到需要的線性時變系統。
将一個非線性系統近似為線性時變系統有很多方法,大體可以分為近似線性化與精确線性化兩類。近似線性化方法簡單,适用性較強,缺點是在控制精度要求非常高的場合難以适用;精确線性化一般不具備普遍性,往往是需要針對單個系統進行具體分析。在模型預測控制中,一般采用近似的線性化方法。以下介紹兩種常用的線性化方法。
Ⅲ存在參考系統的線性化方法
該方法的主要思想是假設參考系統已經在期望路徑上完全通過,得到了路徑上每個時刻的狀态量和控制量。通過對參考系統和目前系統之間的偏差處理設計使模型預測控制器來跟蹤期望路徑。參考系統的任意時刻的狀态和控制量滿足如下關系:
在任意點（5,u,）處進行泰勒展開,隻保留一階項,忽略高階項,得到:
将兩式相減可以得到：
這樣,就得到新的狀态方程。該狀态方程是連續的,不能直接用于模型預測控制器的設計,故有必要對其進行離散化處理。此處采用近似的離散化,即:
至此,得到了非線性系統在任意一個參考點處線性化後的系統。該系統是設計線性模型預測控制算法的基礎。