相量和向量的差別詳細介紹（并以電路電磁場中的量進行對照說明）

相量和向量的差別

正弦量本身是沒有方向的标量，為了友善計算而引入相量這種工具，相量表現出了正弦量的有效值和相位；而表示力、電場強度、磁感應強度等的空間向量是有大小、有方向的矢量，箭頭代表向量的方向，長度代表向量的大小。二者是有本質差別的。即相量本身是表示正弦量，向量本身則是表示既有大小又有方向的量。相量的模值是正弦量的有效值，向量的模值是表示量的大小。相量與坐标軸的夾角表示了正弦量的初相位，向量與坐标軸的夾角則表示了其在空間中的方向。

下面從數學運算的角度，再對兩者進行觀察。

向量

坐标形式：由坐标系下各個軸方向的基向量的大小 a ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ = ( x , y , z ) \vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=\left ( x,y,z \right ) a

=xi

+yj

​+zk

=(x,y,z)

加法：首尾相連，滿足三角形法則。 a ⃗ + b ⃗ = （ x a + x b , y a + y b ） \vec{a}+ \vec{b}=（x_{a}+x_{b},y_{a}+y_{b}） a

+b

=（xa​+xb​,ya​+yb​）

數量積（點乘）： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ ( a ⃗ , b ⃗ ) \vec{a}\cdot \vec{b}=\left |a \right |\left | b \right |\cos \left ( \vec{a},\vec{b} \right ) a

⋅b

=∣a∣∣b∣cos(a

,b

)

向量積（叉乘）： a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ( a ⃗ , b ⃗ ) e z ⃗ \vec{a}\times \vec{b}=\left |a \right |\left | b \right |\sin \left ( \vec{a},\vec{b} \right )\vec{e_{z}} a

×b

=∣a∣∣b∣sin(a

,b

)ez​

​

相量

這裡解釋一點。正弦量用相量來表示的根由是，一個正弦量首先可以用一個複指數函數進行表示。我們平時常見到的複數是 a + b j = r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ j = r e j θ a+bj=r\cos \theta +r\sin \theta j=re^{j\theta } a+bj=rcosθ+rsinθj=rejθ的形式。通過這個式子，可以發現複數和正弦量可以對應起來，即一個複數的實部就是複數的幅值乘以一個角度的餘弦。當我們把複數中的 θ \theta θ換成 ω t + φ \omega t+\varphi ωt+φ，然後我們來看下會發生什麼。

r e j ( ω t + φ ) = r cos ⁡ ( ω t + φ ) + r sin ⁡ ( ω t + φ ) j re^{j(\omega t+\varphi)}=r\cos(\omega t+\varphi)+r\sin(\omega t+\varphi)j rej(ωt+φ)=rcos(ωt+φ)+rsin(ωt+φ)j R e [ r e j ( ω t + φ ) ] = r cos ⁡ ( ω t + φ ) Re[re^{j(\omega t+\varphi)}]=r\cos(\omega t+\varphi) Re[rej(ωt+φ)]=rcos(ωt+φ)

在隻取實部的時候，就表示了一個角頻率為 ω \omega ω，幅值為 r r r，初相位為 φ \varphi φ的正弦量。在正弦量的運算中，頻率都是保持一緻，并取有效值。是以在這裡可以略去 e j ω t e^{j \omega t} ejωt。即一個正弦量 i = 2 I cos ⁡ ( ω t + φ ) i=\sqrt{2}I \cos(\omega t+\varphi) i=2

​Icos(ωt+φ)可以用複數表示為 i = R e [ 2 I e j φ e j ω t ] = R e [ 2 I ˙ e j ω t ] i=Re[\sqrt{2}Ie^{j\varphi}e^{j\omega t}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}e^{j\omega t}] i=Re[2

​Iejφejωt]=Re[2

​I˙ejωt]。相量 I ˙ = I e j φ \dot{I}=Ie^{j\varphi} I˙=Iejφ，其實相量也就是一個複數。是以相量的運算，其實也就是複數的運算，這一點和向量的運算是不同的。

坐标形式： A ˙ = A e j φ a = a 1 + j a 2 \dot{A}=Ae^{j\varphi_{a}}=a_{1}+ja_{2} A˙=Aejφa​=a1​+ja2​

加法：也滿足三角形法則， A ˙ + B ˙ = ( a 1 + b 1 ) + j ( a 2 + b 2 ) \dot{A}+\dot{B}=(a_{1}+b_{1})+j(a_{2}+b_{2}) A˙+B˙=(a1​+b1​)+j(a2​+b2​)

乘法： A ˙ B ˙ = A B e j ( φ a + φ b ) \dot{A}\dot{B}=ABe^{j(\varphi_{a}+\varphi_{b})} A˙B˙=ABej(φa​+φb​)

除法： A ˙ / B ˙ = A B e j ( φ a − φ b ) \dot{A}/\dot{B}=ABe^{j(\varphi_{a}-\varphi_{b})} A˙/B˙=ABej(φa​−φb​)

注意：相量運算這裡沒有點乘，叉乘的說法。複數的運算結果還是複數。而向量運算完之後（如點乘），則會變成标量。

正弦電路中的複功率

在正弦電路中，複功率的定義為： S ˙ = U ˙ I ∗ ˙ = U I e j ( φ u − φ i ) = U I cos ⁡ ( φ u − φ i ) + j U I sin ⁡ ( φ u − φ i ) \dot{S}=\dot{U}\dot{I^*}=UIe^{j(\varphi_{u}-\varphi_{i})}=UI\cos(\varphi_{u}-\varphi_{i})+jUI\sin(\varphi_{u}-\varphi_{i}) S˙=U˙I∗˙=UIej(φu​−φi​)=UIcos(φu​−φi​)+jUIsin(φu​−φi​)。相量說到底就是個複數，在這裡複功率的實部表示有功功率，虛部表示無功功率。

電磁場中的坡印廷矢量

在電磁場中，反映空間中某點電磁能量流動的能力方向的矢量是坡印廷矢量，它是電磁能流的功率密度。表達式為： S ⃗ = E ⃗ × H ⃗ \vec{S}=\vec{E}\times \vec{H} S

=E

×H

。它的模值大小反映了機關時間内穿過與電磁能流方向垂直的機關面積的電磁能量，它的方向便是電磁能量流動的方向。當電場強度和磁通密度不随時間變化時，波印廷矢量也便是一個常矢量。

正弦電磁場中的複坡印廷矢量

之是以介紹這個。是因為複坡印廷矢量既是一個向量，又是一個相量，比較特殊。上面介紹的正弦電路中的複功率，隻是一個相量，或者說隻是一個複數比較好了解。而靜态場中的坡印廷矢量為一個常矢量，不随時間變化，隻是一個單純的向量。下面針對正弦電磁場中的複坡印廷矢量進行分析。

首先可以看出來的是在正弦電磁場中的電場強度和磁通密度也都同時有了兩重身份：既是向量，又是相量。首先空間中的電場強度E它既是空間位置的函數，還是時間的函數。如果說我標明空間中某一點，那麼電場強度就隻是時間的函數了。

E ⃗ ( t ) = E x m cos ⁡ ( ω t + φ x ) e x ⃗ + E y m cos ⁡ ( ω t + φ y ) e y ⃗ + E z m cos ⁡ ( ω t + φ z ) e z ⃗ \vec{E}(t)=E_{xm}\cos(\omega t+\varphi_x)\vec{e_{x}}+E_{ym}\cos(\omega t+\varphi_y)\vec{e_{y}}+E_{zm}\cos(\omega t+\varphi_z)\vec{e_{z}} E

(t)=Exm​cos(ωt+φx​)ex​

​+Eym​cos(ωt+φy​)ey​

​+Ezm​cos(ωt+φz​)ez​

​ E ⃗ ( t ) = R e [ E x ˙ 2 e j ω t e x ⃗ + E y ˙ 2 e j ω t e y ⃗ + E z ˙ 2 e j ω t e z ⃗ ] = R e [ E ⃗ ˙ 2 e j ω t ] \vec{E}(t)=Re[\dot{E_{x}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{x}}+\dot{E_{y}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{z}}]=Re[\dot{\vec{E}}\sqrt{2}e^{j\omega t} ] E

(t)=Re[Ex​˙​2

​ejωtex​

​+Ey​˙​2

​ejωtey​

​+Ez​˙​2

​ejωtez​

​]=Re[E

˙2

​ejωt] E ⃗ ˙ = E x ˙ e x ⃗ + E y ˙ e y ⃗ + E z ˙ e z ⃗ \dot{\vec{E}}=\dot{E_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{E_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}} \vec{e_{z}} E

˙=Ex​˙​ex​

​+Ey​˙​ey​

​+Ez​˙​ez​

​

是以在空間中該點處這時的電磁能流密度就等于

S ⃗ ˙ = E ⃗ ˙ × H ⃗ ˙ \dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H}} S

˙=E

˙×H

˙針對這個式子，首先考慮向量的叉乘，即 S ⃗ ˙ = E ⃗ ˙ × H ⃗ ˙ = ∣ E ⃗ ˙ ∣ ∣ H ⃗ ˙ ∣ sin ⁡ ( E ⃗ ˙ , H ⃗ ˙ ) e z ⃗ \dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H}}=|\dot{\vec{E}}||\dot{\vec{H}}|\sin \left ( \dot{\vec{E}},\dot{\vec{H}} \right )\vec{e_{z}} S

˙=E

˙×H

˙=∣E

˙∣∣H

˙∣sin(E

˙,H

˙)ez​

​。後面的正弦值是兩個相量之間夾角的正弦，而前面部分則是兩個向量的模值相乘。 E ⃗ ˙ \dot{\vec{E}} E

˙和 H ⃗ ˙ \dot{\vec{H}} H

˙本身在x，y，z三個方向上均有值。需要注意，這個地方寫的隻是向量叉乘的定義。即叉乘的定義，确定了兩個向量叉乘之後向量的模值和方向。當知道向量的坐标後，可以直接在坐标系下進行叉乘的坐标運算，如下所示

S ⃗ ˙ = ( E x ˙ e x ⃗ + E y ˙ e y ⃗ + E z ˙ e z ⃗ ) × ( H x ˙ e x ⃗ + H y ˙ e y ⃗ + H z ˙ e z ⃗ ) = [ e x ⃗ e y ⃗ e z ⃗ E x ˙ E y ˙ E z ˙ H x ˙ H y ˙ H z ˙ ] \dot{\vec{S}}=(\dot{E_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{E_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}} \vec{e_{z}}) \times (\dot{H_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{H_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{H_{z}} \vec{e_{z}})=\begin{bmatrix} \vec{e_{x}}&\vec{e_{y}} &\vec{e_{z}} \\ \dot{E_{x}}& \dot{E_{y}} & \dot{E_{z}}\\ \dot{H_{x}}& \dot{H_{y}} & \dot{H_{z}} \end{bmatrix} S

˙=(Ex​˙​ex​

​+Ey​˙​ey​

​+Ez​˙​ez​

​)×(Hx​˙​ex​

​+Hy​˙​ey​

​+Hz​˙​ez​

​)=⎣⎡​ex​

​Ex​˙​Hx​˙​​ey​

​Ey​˙​Hy​˙​​ez​

​Ez​˙​Hz​˙​​⎦⎤​ S ⃗ ˙ = [ E y ˙ E z ˙ H y ˙ H z ˙ ] e x ⃗ + [ E z ˙ E x ˙ H z ˙ H x ˙ ] e y ⃗ + [ E x ˙ E y ˙ H x ˙ H y ˙ ] e z ⃗ \dot{\vec{S}}=\begin{bmatrix} \dot{E_{y}} & \dot{E_{z}}\\ \dot{H_{y}} & \dot{H_{z}} \end{bmatrix}\vec{e_x}+\begin{bmatrix} \dot{E_{z}} & \dot{E_{x}}\\ \dot{H_{z}} & \dot{H_{x}} \end{bmatrix}\vec{e_y}+\begin{bmatrix} \dot{E_{x}} & \dot{E_{y}}\\ \dot{H_{x}} & \dot{H_{y}} \end{bmatrix}\vec{e_z} S

˙=[Ey​˙​Hy​˙​​Ez​˙​Hz​˙​​]ex​

​+[Ez​˙​Hz​˙​​Ex​˙​Hx​˙​​]ey​

​+[Ex​˙​Hx​˙​​Ey​˙​Hy​˙​​]ez​

​ S ⃗ ˙ = ( E y ˙ H z ˙ − E z ˙ H y ˙ ) e x ⃗ + ( E z ˙ H x ˙ − E x ˙ H z ˙ ) e y ⃗ + ( E x ˙ H y ˙ − E y ˙ H x ˙ ) e z ⃗ \dot{\vec{S}}=(\dot{E_{y}}\dot{H_{z}}-\dot{E_{z}}\dot{H_{y}})\vec{e_x}+(\dot{E_{z}}\dot{H_{x}}-\dot{E_{x}}\dot{H_{z}})\vec{e_y}+(\dot{E_{x}}\dot{H_{y}}-\dot{E_{y}}\dot{H_{x}})\vec{e_z} S

˙=(Ey​˙​Hz​˙​−Ez​˙​Hy​˙​)ex​

​+(Ez​˙​Hx​˙​−Ex​˙​Hz​˙​)ey​

​+(Ex​˙​Hy​˙​−Ey​˙​Hx​˙​)ez​

​

到這一步，可以看到在進行了向量的叉乘坐标運算後，叉乘所得向量的每一個分量都是兩個相量相乘然後做差。也就是說最終複坡印廷矢量的三個分量，還是由電場強度、磁通密度各部分分量相量相乘之後得到的。實際上電場強度 E ⃗ ˙ \dot{\vec{E}} E

˙（大小和相位）由電壓 U ˙ \dot{U} U˙（标量，或者說電勢）所決定，磁通密度 B ⃗ ˙ \dot{\vec{B}} B

˙（大小和相位）由電流 I ˙ \dot{I} I˙所決定。而 U ˙ \dot{U} U˙和 I ˙ \dot{I} I˙兩個複數之間的相角差，決定了有功、無功的大小配置設定。是以 E ⃗ ˙ \dot{\vec{E}} E

˙和 H ⃗ ˙ \dot{\vec{H}} H

˙各個分量複數之間的相角差，也同樣代表了功率因數角。故實際的複坡印廷矢量的表達式為

S ⃗ ˙ = E ⃗ ˙ × H ∗ ⃗ ˙ \dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H^*}} S

˙=E

˙×H∗

˙它的實部就是坡印廷矢量的平均值（或有功功率密度），表示能量的流動；虛部是無功功率密度，表示着電磁能量的交換。