牛頓下降法和梯度下降法(最速下降法)的速度的比較

“牛頓下降法和梯度下降法在機器學習和自适應濾波中的都很重要，本質上是為了尋找極值點的位置。但是收斂的速度不同。 本文中就兩種方法來探究一下，哪種收斂方法速度快“

牛頓下降法的遞推公式：

xn+1=xn−f′(xn)/f″(xn)

梯度下降算法的遞推公式：

xn+1=xn−μ∗f′(xn)

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解釋一

下圖是兩種方法的圖示表示，紅色為牛頓下降法，綠色為梯度下降法，從圖中直覺的感覺是，紅色線短，下降速度快。因為牛頓下降法是用二次曲面去拟合目前的局部曲面，而梯度下降法是用平面去拟合目前的局部曲面，一般用二次曲面拟合的更好，是以一般牛頓算法收斂快。

關于以上的說法中，梯度下降法是用平面去拟合目前的局部曲面。梯度 f’(x)的方向是函數變大的方向。這裡需要解釋一下，對于一維情況而言，梯度方向隻有正方向和負方向。至于為什麼梯度下降算法就是用平面去拟合了，大多數情況下，沒有講的詳細。接下來就聊一下為什麼。

首先考慮一下這個公式，這是一階泰勒展式，其實就是用平面去拟合函數的局部曲面。

f(x+Δx)=f(x)+f′(x)∗Δx

我們的目的是使得左邊的值變小，那是不是應該使得下面的式子變為負值。

f′(x)∗Δx

這樣不就會使得左邊的式子變小嗎。

但是如何使得上式一定為負值，簡單的方法就是：

Δx=−f′(x)

這樣上式就變為

f(x+Δx)=f(x)−f′(x)∗f′(x)

現在滿足使得下式變小了

f(x+Δx)

但是不要忘了以上所有的一切隻有在局部成立，也就是說在小範圍才成立，那麼下式就有很能太大

Δx=−f′(x)

是以加個小的修正的因子，上式就變為：

Δx=−μ∗f′(x)

最終得到公式：

xn+1=xn−μ∗f′(xn)

這就是為什麼說梯度下降算法是用平面拟合函數的局部曲面。

至于說牛頓下降法是用二次曲面去拟合目前的局部曲面，首先考慮一下下式：

f(x+Δx)=f(x)+f′(x)Δx+1/2∗f″(x)∗Δx2

同樣我們希望左式最小，那麼将左式看成是△x的函數，當取合适的△x值時，左邊的式子達到極小值，此時導數為0。是以對上式進行求導數，得到一下公式：

0=f′(x)+f″(x)∗Δx

此時可得到公式：

xn+1=xn−f′(xn)/f″(xn)

是以說牛頓下降法是用二次曲面來拟合函數的局部曲面。

綜上而言，牛頓下降法利用了函數的更多的資訊，能夠更好的拟合局部曲面，是以收斂的速度也會加快。

解釋二

關于梯度下降算法，其中最重要的就是要确定步長μ，它的值嚴重的影響了梯度下降算法的表現。

接下來考慮如下公式：

f′(x+Δx)=f′(x)+f″(x)∗Δx

和

Δx=−μ∗f′(x)

結合兩個式子，得到：

f′(x+Δx)=f′(x)−μ∗f″(x)∗f′(x)

令左邊的式子為0，得到：

μ=1/f″(x)

由此可見牛頓下降法是梯度下降法的最優情況，是以牛頓下降法的收斂的速度必然更快。