本節書摘來自異步社群《matlab信号處理超級學習手冊》一書中的第2章，第2.6節，作者：matlab技術聯盟 , 史潔玉著，更多章節内容可以通路雲栖社群“異步社群”公衆号檢視
matlab信号處理超級學習手冊
離散時間系統還可分成線性和非線性兩種。同時具有疊加性和齊次性（均勻性）的系統，通常稱為線性離散系統。當若幹個輸入信号同時作用于系統時，總的輸出信号等于各個輸入信号單獨作用時所産生的輸出信号之和，這個性質稱為疊加性。齊次性是指當輸入信号乘以某常數時，輸出信号也相應地乘以同一常數。
不能同時滿足疊加性和齊次性的系統稱為非線性離散系統。如果離散系統中乘法器的系數不随時間變化，這種系統便稱為時不變離散系統；否則就稱為時變離散系統。
2.6.1 離散時間系統的含義
線性系統（linear system）：滿足疊加性和齊次性的系統。
線性系統用數學語言描述如下：
若序列y 1(n)和y 2(n)分别是輸入序列x 1(n)和x 2(n)的輸出響應，即：
式中a是任意常數。滿足上面第一個式子的稱系統具有疊加性（superposition property）；滿足後面式子的稱系統具有比例性或齊次性（homogeneity）。将兩式結合起來表示為：
式中a和b均為任意常數。
如果系統的輸出響應随輸入的移位而移位，即若
那麼稱這樣的系統為時不變系統（time-invariant system)。式中k為任意整數。
系統的因果性（causality）是指如果系統n時刻的輸出隻取決與n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻以後的輸入無關。這樣的系統稱為因果系統，因果系統是實體可實作系統。如果系統n時刻的輸出還與n時刻以後的輸入序列有關，則這樣的系統稱為非因果系統。
系統的穩定性（stability）是指系統對于每一個有界的輸入都産生一個有界的輸出。這樣的系統稱為穩定系統。
2.6.2 離散時間系統的描述方法
描述一個線性時不變離散時間系統，有以下兩種常用方法。
（1）用機關沖激響應來表征系統；
（2）用差分方程（difference equation）來描述系統輸入和輸出之間的關系。
設系統的初始狀态為零，若輸入信号x(n)=δ(n)，這種條件下系統的輸出稱為系統的機關脈沖響應，用h(n)表示。
系統的機關脈沖響應的實質：是系統對于δ(n)的零狀态響應，用公式表示為：
式中“*”代表卷積運算，式（2-35）稱為卷積和（convolution sum）公式；此類卷積運算中的主要運算是反折，移位，相乘和相加，故此類卷積又稱為線性卷積。
上式表明線性時不變系統的輸出等于輸入序列與該系統的機關沖激響應的卷積，是以隻要知道線性時不變系統的機關沖激響應，對于任意輸入都可以求出該系統的輸出。由此我們可以認為任何線性時不變系統都可由機關沖激響應h(n)來表征。
如果序列x(n)和h(n)的長度分别是n和m，卷積結果的長度為n+m-1。
用線性常系數差分方程表示線性時不變系統，一個n階線性常系數差分方程用下式表示：
式中a i、b j均為常數，x(n-j)、y(n-i)都是一次幂，也不存在彼此相乘的項，是以上式稱為線性常系數差分方程。
差分方程的階數是用y(n-i)項中i的最大值與最小值之差确定的。
若x(n)和y(n)分别表示系統的輸入和輸出序列，則方程的兩邊分别為輸出序列y(n)和輸入序列x(n)的移位的線性組合，方程描述的就是系統輸入和輸出之間的關系，系數a i、b j表示系統的特性或結構。
将方程改寫成為下式：
由式可以看出，如果計算n時刻的輸出，需要知道系統n時刻以及n時刻以前的輸入序列值，還要知道n時刻以前的輸出信号值。而n時刻以前的輸出信号值就是求解差分方程必須的初始條件，初始條件不同，差分方程的解也不同。
2.6.3 采樣定理
所謂模拟信号的數字處理方法就是将待處理模拟信号經過采樣、量化和編碼形成數字信号，并利用數字信号處理技術對采樣得到的數字信号進行處理。
采樣定理：一個頻帶限制在（0，fc）赫茲内的模拟信号m(t)，如果以f s≥2f c的采樣頻率對模拟信号m(t)進行等間隔采樣，則m(t)将被采樣得到的采樣值所确定，也即可以利用采樣值無混疊失真地恢複原始模拟信号m(t)。
其中：“利用采樣值無失真恢複原始模拟信号”，這裡的無失真恢複是指被恢複信号與原始模拟信号在頻譜上無混疊失真；并不是說被恢複的信号就與模拟信号在時域完全一樣。由于采樣和恢複器件的精度限制以及量化誤差等的存在，被恢複信号與原始信号之間實際上是存在一定誤差或失真的。
關于采樣定理的幾點總結如下：
（1）一個帶限模拟信号x a (t)，其頻譜的最高頻率為f c，以間隔t s對它進行等間隔采樣得采樣信号hat x_a (t) ，隻有在采樣頻率f_s = (1/t_s ) geqslant 2f_c 時，hat x_a (t)
才可不失真地恢複x_a (t) 。
（2）上述采樣信号hat x_a (t) 的頻譜hat x_a (jomega ) 是原模拟信号x_a (t) 的頻譜x_a (jomega ) 以omega _s ( = 2pi f_s ) 為周期進行周期延拓而成的。
（3）一般稱f s/2為折疊頻率，隻要信号的最高頻率不超過該頻率，就不會出現頻譜混疊現象，否則超過f s/2的頻譜會“折疊”回來形成混疊現象。
通常把最低允許的采樣頻率f_s ( = 1/t_s ) = 2f_c 稱為奈奎斯特（nyquist）頻率，最大允許的采樣間隔t s=1/2f c稱為奈奎斯特間隔。
在介紹采樣定理時，已經講到對模拟信号x_a (t) 采樣時隻要采樣頻率滿足f_s ( = 1/t_s ) geqslant 2f_c ，采樣信号的頻譜 hat x_a (jomega ) 就不會發生頻譜混疊現象。在這種情況下，可以采用理想低通濾波器g(jomega ) 對采樣信号hat x_a (t) 進行濾波，可以得到不失真的原模拟信号x_a (t) 。
下面用數學表達式表示恢複過程。理想低通可表示為：
理想低通的時域表示為：
對信号進行采樣，得到采樣序列，對不同采樣頻率下的采樣序列進行頻譜分析，由采樣序列恢複出連續時間信号，畫出其時域波形，對比與原連續時間信号的時域波形。
實作程式如下：
程式過程中用到的兩個子程式，采樣程式如下：
恢複子程式如下：
運作程式後，原信号的結果如圖2-31所示。
頻率f s<2f max時，為原信号的欠采樣信号和恢複，采樣頻率不滿足時域采樣定理，那麼頻移後的各相臨頻譜會發生互相重疊，這樣就無法将它們分開，因而也不能再恢複原信号。頻譜重疊的現象被稱為混疊現象。欠采樣信号的離散波形及頻譜，恢複後信号如圖2-32、圖2-33所示。
頻率f s=2f max時，為原信号的臨界采樣信号和恢複，隻恢複低頻信号，高頻信号未能恢複，如圖2-34、圖2-35所示。
頻率f s>2f max時，為原信号的過采樣信号和恢複，如圖2-36和圖2-37所示。可以看出，采樣信号的頻譜是原信号頻譜進行周期延拓形成的，并且原信号誤差很小，說明恢複信号的精度已經很高。