前兩天去聽了一下搞代數幾何的dino lorenzini在交大的兩場講座（“”,“”），在此将筆記整理一下。$\newcommand
\diag{\mathrm{diag}} \newcommand\z{\mathbb{z}} \newcommand\pic{\mathrm{pic}}
\newcommand\img{\mathrm{im}} \newcommand\di{\mathrm{div}}$
首先定義一些記号：$g$是一個連通無向圖，有$n$個頂點（記為$v_1,v_2,\cdots,v_n$），$m$條邊,且無自循環。$a$為$g$的領接矩陣，即為$(a_{ij})$，其中$a_{ij}$為$v_i$與$v_j$($i\not=
j$)之間邊的個數，$a_{ii}=0$。圖的laplacian是$d-a$,其中$d$是對角陣，$\mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n)$,其中$d_i$為$a_i$的度，即連接配接到$v_i$的邊的個數。
1.圖的laplacian以及smith标準型
對于一個圖的laplacian來說，在代數圖論中研究的大多是它的特征值。而在矩陣理論中，除了特征值以外還有其他一些不變量，比如說smith标準型。
定義1 （） 整系數矩陣$m$的smith标準型是$\mathrm{snf}=\mathrm{diag}(\delta_1,\delta_2\cdots,\delta_n)$,其中$\delta_1\cdots\delta_i=\delta_i$,其中$\delta_i$是$m$的所有$i$階子式的最大公因數。
注意到它同樣有一個等價定義，也就是說，$m\times n$階矩陣$m$的smith标準型是$smt$,其中$s,t$分别為$m\times
m$以及$n\times
n$階的矩陣。使得$smt$為對角陣$\mathrm{diag}(\delta_1,\delta_2\cdots,\delta_n)$,使得$\delta_1|\delta_2|\cdots
|\delta_n$,其中$\delta_i\in\mathbb{z}$。同樣我們可以注意到，當$\det{m}=0$的時候，$\delta_n=0$。
我們知道，對于laplacian矩陣$m$的特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$,可以使$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n=0$。而圖的生成樹的個數不是别的，就是\[\#(\mbox{生成樹})=\frac{1}{n}\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}.\]這是代數圖論中經典的kirchhoff定理。通過smith标準型的第一個定義，我們同樣可以容易知道\[\#(\mbox{生成樹})=\delta_1\cdots\delta_{n-1}.\]（通過對kirchhoff定理的證明可以看出，圖的生成樹個數正是laplacian的任意一個$n-1$階子式的行列式絕對值）
smith标準型與特征值的聯系不僅限于此，如果我們定義$\mu$為相異特征值的乘積，那麼如下定理成立
定理2 （smith标準型與特征值聯系） $\mu\in\mathbb{z}$ $n|\mu$ $\delta_{n-1}|\mu$,但是一般來說，$\delta_{n-1}\nmid \frac{\mu}{n}$
定理的證明可見lorenzini的。
2.算術圖(arithmetical graph)以及picard群
每一個圖，我們都有一個laplacian矩陣$m$。而我們又知道，$m(1,1,\cdots,1)‘=0$,是以我們可否将laplacian的概念推廣呢？這樣就引出了“算術圖”的想法。
定義3 (算術圖) 算術圖是三元組$(g,m,r)$使得以下成立： $g$為圖 $m=c-a$,其中$a$為領接矩陣，$c$為系數為正整數的對角陣,記為$\mathrm{diag}(c_1,c_2,\cdots,c_n)$。 $r=(r_1,r_2,\cdots,r_n)‘$,其中$r_i>0$,且同有$r_i\in\mathbb{z}$，且$\gcd{(r_1,\cdots,r_n)}=1$。 $mr=0$
一個簡單的例子是extended dynkin diagram賦予如下數字：
其中黑色數字代表了向量$r$賦予的值，而紅色的數字則是對角陣$m$賦予的值，通過計算很容易可以驗證$mr=0$如下
有了算術圖的定義，我們可以定義它的不變量，即picard群。這個群來源于代數幾何的想法。
定義4 （picard群）整數群$\mathbb{z}$模去$m$的像$\mathbb{z}^n/\mathrm{im}(m)$稱為算術圖的picard群,記為$\mathrm{pic}(g)$。同時我們定義degree map為$\deg:\mathbb{z}^n/\mathrm{im}(m)\to \mathbb{z}$,使得$(s_1,s_2,\cdots,s_n)\mapsto\sum_{i=1}^n r_i s_i$,其中$r_i$即為算術圖中$r$的元素。
有了這一定義，我們就可以得到有限阿貝爾群$\phi_m=\ker(\deg)$。可以證明，如果$\diag(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_{n-1},0)$為smith标準型，就有\[\phi_m\cong
\mathbb{z}/\delta_1\mathbb{z} \times
\mathbb{z}/\delta_2\mathbb{z}\times\cdots\times
\mathbb{z}/\delta_{n-1}\mathbb{z}.\]
注記：由此可以看出$\phi_m$是循環群當且僅當$\mathrm{snf}=\diag(1,\cdots,1,\delta_{n-1},0)$。
于是特别地，考慮$m$為$g$的laplacian，如果$g$的生成樹的個數無平方因子，自然就有$\phi_m$是循環群。而$\phi_m$是循環群的$g$占了很大比例。以下是兩個結論：
給定圖$g$,存在同構的圖$g‘$,由$g$的細分（至多$m-n$條邊）給出，且$\phi_{m‘}$是循環群。
對于$n$點的erdos-renyi随機圖，當$n\to\infty$時，
(a) $|\phi_m|$無平方因子的機率約為$48.2\%$
(b)$\phi_m$是循環群的機率約為$79.3\%$
3.算術圖的不變量
(1)第一貝蒂數：$\beta(g)=m-n+1$,相當于圖中不相關的“圈”的個數，就是将所有的邊個數減去生成樹的長度即為不相關圈的個數。
(2)虧格： $g_0(g,m,r)$，定義為\[2g_0(g)-2=\sum_{i=1}^n
r_i(d_i-2).\]注意到這樣一個虧格和我們通常所說的圖的虧格（可嵌入多少虧格的曲面使得邊不相交）不一樣。因為$k_{3,3}$和$k_5$都有圖虧格$1$，但是簡單計算就可發現$g_0(k_{3,3})=4$，$g_0(k_5)=6$。
簡單計算可以發現，\[2g_0(g)-2\beta(g)=\sum_{i=1}^n(r_i-1)(d_i-1).\]故而有如下定理。圖的虧格的幾何意義可見下定理連結中的引文[7]與[8]。
定理5(,1989) $g_0(g)$為整數 $g_0(g)\ge \beta(g)\ge 0$
(3)$g$-數： $g$-數的定義如下。我們知道$\deg:\pic(g)=\z^n/\img(m)\to
\z$将$\phi_m$映射至$0$,那麼$g$-數是最小的整數，滿足
對于任意$\deg[d]\ge g$的代表元$[d]\in\pic(g)$,存在$v\in
\img(m)$使得$d+v$在第一卦限（也即$d+v$的各個坐标都大于$0$）
存在$\deg[d]=g-1$使得$\forall v\in\img(m)$,都有$d+v$不可能在第一卦限。
這樣的$g$存在嗎？存在性已經，而以下的标志性的定理找出了一般圖的解：
定理6(, 2006) 若$g$為一般的圖，且$r=(1,1\cdots,1)‘$,那麼$g=\beta(g)$。
而這一定理同樣也關乎圖的黎曼-羅赫結構。兩人首次提出了圖上的黎曼-羅赫結構，而lorenzini則進一步提出了如下定理：
定理7（,2011）如果$g(g)=g_0(g)$,那麼圖上就有黎曼-羅赫結構。
黎曼-羅赫結構将在下一節提到。這節最後再給出一些對不變量關系的估計。
定理8 令$(g,m,r)$為算術樹（也即算術圖中的$g$為樹），那麼 $|\phi_m|=\prod_{i=1}^n r_i^{d_i-2} \in \mathbb{n}$ $|\phi_m|\le 4^{g_0(g)}$ 若$p$為整除$|\phi_g|$的素數，那麼$p\le 2g_0(g)+1$
通過第二個等式，且我們知道$g\le g_0$，那麼是否有$|\phi_m|\le
4^g$呢？現在還不得而知。對于$\phi_g$這個群生成元的估計。在普通的圖$g$中，$\phi_g$可以被$\beta(g)$個元素生成。而對于一般的算術圖的結果如下：
定理9 令$(g,m,r)$為無重邊的算術圖，且假定對于某個$i$有$r_i=1$。那麼\[\mathrm{snf}(m)=\diag(\delta_1,\cdots,\delta_{n-1-\beta},\delta_{n-\beta},\cdots,\delta_{n-1},0)\]其中$\delta_{n-1-\beta}=\delta_1\cdots\delta_{n-1-\beta}$有$\delta_{n-1-\beta}|\prod_{i=1}^n r_i^{d_i-2}$
4.圖上的黎曼-羅赫定理與雙變量zeta函數(two-variable zeta function)
動機是來自于代數幾何的黎曼羅赫定理。$x$是$\mathbb{c}$上的射影曲線（即$\mathbb{c}p^2$中齊次函數$f(x,y,z)$的解）。$f$是定義在射影曲線上的亞純函數，且有有限個零點與極點。那麼定義$f$的$\di$為
\[\di(f)=\sum_{p\in x}m(p)
p\],其中$m(p)$為重數。在$m(p)>0$為零點，$m(p)<0$為極點。而一個重要的結論是，零點與極點的個數相同！也即$\sum_p
m(p)=0$。
而類似地，我們可以定義“除子”(divisor)$d$為$d=\sum_p a_p
p$,是為關于$p$的形式和，其中$a_p\in\z$且為有限和。定義度函數\[\deg(d)=\sum_p a_p.\]從定義可以看出$\deg\circ
\di=0$。同時對于任意的除子$d$,我們可以賦予它另外一個整數$h^0(d)$,定義為\[h^0(d)=\dim_{\mathbb{c}}
h^0(x,\mathcal{o}_d),\mathcal{o}_d=\{f|f\mbox{隻在}a_p\not=0\mbox{的地方有極點，且}m(p)\ge-a_p\}\]是為$\mathcal{o}_d$層的上同調群的維數。
對于這樣的結構，定義$[d]$為$d$的等價類，即為$\{d‘|\exists
f,d‘=d+\di(f)\}$。那麼就有經典的黎曼-羅赫定理(riemann-roch)如下
定理10(黎曼-羅赫)存在典範類(canonical class)$[k]$使得對于任意$d$都有\[h^0(d)=\deg(d)+1-g+h^0(k-d)\]
而在代數幾何中，$[d]$的類構成了維數$g$的代數簇上的所有點，稱為picard簇$\pic(x)$。而$[d]$滿足$\deg(d)=0$的子類被稱為曲線$x$的jacobian。
對應的圖論中來，注意到前面我們其實已經提到了和代數幾何這些結果相仿的定義，比如picard群，$\phi_m$等等。前面一直沒有說明的$\phi_m$有了它的名字，稱為雅可比簇(jacobian
variety)，它的階記為$g$的生成樹的個數。而典範類$[k]$定義為$[(d_1-2,\cdots,d_n-2)]$。
baker與norine首次給出了圖上的黎曼-羅赫定理。他們賦予每個除子$d$(或者說picard群的元素)的$h^0(d)$，且證明了圖上的黎曼-羅赫定理\[h^0(d)=\deg(d)+1-\beta(g)+h^0(k-d)\]對于$h^0(d)$的定義将在之後提到。
如果我們有了$h^0:\pic(g)\to
\z$,那麼我們就可以定義一個zeta函數\[z_h(g,u,t)=\sum_{[d]\in\pic(g)}\frac{u^{h^0(d)}-1}{u-1}t^{\deg(d)}.\]而一個稍微變化的定義是\[w_h(g,x,y)=\sum_{[d]\in\pic(g)}x^{h^0(g)}y^{h^0(k-d)}.\]這個zeta函數的定理動機來自與有限域上的曲線上的zeta函數：令$p$為素數$\z/p\z=\mathbb{f}_p\le
\mathbb{f}_{p^s}$。令$x/\mathbb{f}_p$為光滑射影曲線（比如$\mathbb{p}^2$上的齊次$f(x,y,z)=0$），那麼令$a_s$為在系數為$\mathbb{f}_{p^s}$中時，曲線方程解的個數。那麼有限域中與黎曼zeta相對應的zeta函數為：\[z(x/\mathbb{f}_p,t)=\exp\left(\sum_{s=1}^\infty
a_s\frac{t^s}s
\right)=\sum_{[d]\in\pic(x)}\frac{p^{h(d)}-1}{p-1}t^{\deg(d)}\]與我們這裡的zeta函數類似。這樣的zeta函數同樣又給出了圖的一個不變量。
最後給出$h^0(d)$的定義以及一些性質（等價意思是相差一個$\img(m)$的元素）：
定義11（$h^0(d)$）定義$e\in \z^n$是“有效的”當$e\ge 0$,也就是$e$的每個坐标都大于等于$0$。如果$\deg(d)<0$，則令$h^0(d)=0$。如果$\deg(d)\ge 0$,定義$h^0(d)$為\[h^0(d)=\min\{\deg(e)|e\ge 0\mbox{且}d-e\mbox{不等價于一個有效的元素}\}\]
注意到這兒的定義其實類似前面我們所說的$g-$數。不過$g-$數相當于一個全局的不變量。于是我們有如下的性質：
$h^0(d)\ge 0$這個通過定義顯然
若$d$不等價與一個有效的元素，那麼$h^0(d)=0$,由于定義中集合包含了$e=0$。
$h^0(d)\le \deg(d)+1$,更進一步，隻可能在如下圖的區域内有點
我曾經問在$\deg(d)$不變的時候是否能夠變量區域中豎線交的所有點，不過還沒有開始計算。
若$\deg(d)\ge 2\beta(g)-1$,那麼$h^0(d)=\deg(d)+1-\beta(g)$
對于不變量zeta函數，我們同樣也有一些比較好的性質，定理的證明都可以在[3]中找到。
定理12 有理性，\[z_h(g,u,t)=\frac{f(u,t)}{(1-t)(1-ut)},\]其中$f(u,t)\in\z[u,t]$,有形式\[f(u,t)=1+c_1(u)t+c_2(u)t^2+\cdots+c_g(u)t^g+uc_{g-1}(u)t^{g+1}+u^2 c_{g-2}(u)t^{g+2}+u^g t^{2g}.\] $f(u,t)$在$\mathbb{c}[u,t]$中不可約。 $f(1,u)=\#g\mbox{的生成樹}$。 \[z\left(u,\frac{1}{ut}\right)=(ut^2)^{1-g}z(u,t)\] 若$g$為樹，則$z(g,u,t)=\frac{1}{(1-t)(1-ut)}$
最後值得注意的一點是，zeta函數，tutte多項式，smith标準型，特征值這些不變量似乎是互相無關的！可見julian clancy、timothy
leake與sam payne最近的。
ps：對于計算$h^0$,baker部落格給出過一個，可供參考
拓展閱讀(定理的證明大多來自這幾篇)：
[1]"" by dino lorenzini,1989
[2]"" by matthew baker, serguei
norine,2006
[3]""by dino
lorenzini,2011