最小错误率贝叶斯决策

minP(e)=∫P(e|x)p(x)dx

这就是

最小错误率贝叶斯决策

。

P(e|x)≥0,p(x)≥0对于所有的x均成立，故minP(e)等同于对所有的x最小化P(e|x)，即：使后验概率P(wi|x)最大化。根据贝叶斯公式： 

P(wi|x)=p(x|wi)P(wi)p(x)=p(x|wi)P(wi)∑kj=1p(x|wj)P(wj),i=1,2,...,k

在上式中，对于所有类别，分母都是相同的，所以决策的时候实际上只需要比较分子，即： 

若p(x|wi)P(wi)=maxkj=1P(wj|x)P(wi),则x∈wi

先验概率

P(wi)

和类条件概率密度

p(x|wi)

是已知的。概率密度

p(x|wi)

反应了在

wi

类中观察到特征值x的相对可能性（

likelihood

）。

举个简单的例子还说明最小错误贝叶斯决策。 

假设某地区检测到细胞为正常细胞的概率w1和癌细胞的概率w2分别为： 

w1=0.9,w2=0.1

现在对于一个待决策的细胞，其特征的观察之为

x

，且从类条件概率密度曲线上分别查得： 

p(x|w1)=0.2,p(x|w2)=0.4

现在需要对该细胞进行决策，判断是正常细胞还是癌细胞。根据贝叶斯公式，分别计算出

w1

和

w2

的后验概率： 

P(w1|x)=p(x|w1)P(w1)∑2j=1p(x|wj)P(wj)=0.2×0.90.2×0.9+0.4×0.1=0.818

P(w2|x)=1−P(w1|x)=0.182

因为：

P(w1|x)=0.818>0.182=P(w2|x)

，所以更合理的决策是将

x

归类为

w1

，即正常细胞。

x归类于最大后验概率的那一类，即： 

若P(wi|x)=maxj=1,...,cP(wj|x),则x∈wi

等价于：

若p(x|wi)P(wi)=maxkj=1P(wj|x)P(wi),则x∈wi

贝叶斯公式是用来计算后验概率的工具。