3.1 开普勒轨道根数 轨道根数描述 轨道大小 半长轴a 常数 轨道形状 偏心率e 常数 轨道面方位 轨道倾角i和升交点赤经Ω 常数 轨道方位 近地点角距ω 常数 航天器在轨道中的位置 真近点角f 非均匀变化 平近点角M 均匀变化 纬度幅角ω+f 非均匀变化 3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹 星下点轨迹：航天器质心与地心连线与地球表面的交点 航天器轨道周期 3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹 星下点轨迹与轨道半长轴 地球同步轨道 3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹 星下点轨迹与轨道倾角 星下点轨迹的最高纬度就是航天器轨道倾角 3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹 星下点轨迹与轨道偏心率 3.3 开普勒轨道根数的计算 已知位置矢量和速度矢量，求6个轨道根数 3.3 开普勒轨道根数的计算 已知6个轨道根数，求卫星位置矢量和速度矢量 ie ip 3.3 开普勒轨道根数的计算 3.3 开普勒轨道根数的计算 第一章作业 function robit_computer mu = 3.986004418e+14; %地球引力常数 tspan = [0:60:86400]; options = odeset('AbsTol',1e-15,'RelTol',1e-12','NormControl','on'); x0 = [-5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008]; [T,Y] = ode45('orbit',tspan,x0,options,mu); 课后作业：将第一章作业中计算的每一个时刻的位置速度转换6个轨道根数，然后再转换为位置速度，并于原来结果进行比较，画出二者的误差图。 本章小结 航天器轨道的预报 本章小结 开普勒方程 本章小结 开普勒轨道根数(6个) 请批评指正！ * 第二章 开普勒方程 主讲教师：杏建军 * 授课内容 卫星轨迹的预测 开普勒方程的求解 开普勒轨道根数 1.1 轨道预报 已知t0时刻卫星的位置r0，速度v0，预报时刻t,卫星的位置r和速度v 在极坐标下 ie ip 如何计算的? 1.1 轨道预报 1.1 轨道预报 带入位置r和速度v的表达式中 回到原始问题，已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v 1.1 轨道预报 需要 开普勒第二定律 主要求解出上述方程，就可以得到真近点角f与时间t之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。 授课内容 卫星轨迹的预测 开普勒方程的求解 开普勒轨道根数 2.1 开普勒方程 当0≦e<1时，引入一个新的角度E(偏近点角) 在以C点(椭圆中心)为原点的坐标系中 2.1 开普勒方程 在以F点(椭圆一个焦点)为原点的坐标系时，椭圆参数方程为 坐标系原点平移到C点后，椭圆参数方程为 得到r与E 的数学关系 2.1 开普勒方程 进一步，可以得到 2.1 开普勒方程 上述两式相除，再开平方，得到 上式两边同时对时间求导数 2.1 开普勒方程 由开普勒第二定理 积分，得到 著名的开普勒方程，表示了时间与真近点角的函数关系，其中 τ 是一个新的积分常数 2.1 开普勒方程 定义平近点角M： 通过开普勒方程，可以得到运动时间 t 与偏近点角E，根据E与真近点角 f 的关系，得到 f ，进而进行卫星轨道的预报。 现在的问题是如何求解开普勒方程？ 2.2 开普勒方程的求解 第一种方法：序列迭代法 迭代停止条件 2.2 开普勒方程的求解 迭代格式是否收敛？ 课堂练习：编制开普勒迭代求解matlab程序 2.2 开普勒方程的求解 M = pi/2; E0 = 0; E1 = 1; tem =0; e = 0.2; n = 0; while(abs(E1-E0)>1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); tem = E1; n = n+1; end n 当n=6时，E收敛 2.2 开普勒方程的求解 第二种方法：拉格朗日方法(1770年) 考虑函数 α为一个小参数，如椭圆偏心率 2.2 开普勒方程的求解 2.2 开普勒方程的求解 开普勒方程的拉格朗日级数解 E = M +e*sin(M)+e^2/2*2*cos(M)*sin(M) + e^3/6*(6*cos(M)^2*sin(M)- 3*sin(M)^3) + e^4/24*(24*cos(M)^3*sin(M) - 40*cos(M)*sin(M)^3)+ e^5/120*(65*sin(M)^5 + 120*cos(M)^4*sin(M