二分法是一种随处可见缺非常精妙的算法，经常能为我们打开解答问题的突破口。二分的基础的用法是在单调序列或单调函数中进行查找。因此当问题的答案具有单调性时，就可以通过二分把求解转化为判定（根据复杂度理论，判定的难度小于求解），这使得二分的运用范围变得很广泛。
据说，只有 10% 的程序员能写对二分。二分的实现方法多种多样，但是其细节之处确实需要仔细考虑。对于整数域上的二分，需要注意终止边界、左右区间取舍时的开闭情况，避免漏掉答案或造成死循环；对于实数域上的二分，一般来说大家熟练掌握自己的一种正确写法即可。
本篇结尾还为大家分享了两种二分算法模板。
题目一：数的范围 来源：AcWing
给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。 对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。
输入格式
第一行包含整数n和q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含n个整数（均在1~10000范围内），表示完整数组。
接下来q行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。
输出格式
共q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。 如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
AC代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int MAXN = 1e6;
int n, q, a[MAXN], x;
int main() {
cin >> n >> q;
for(int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
while(q--) {
scanf("%d", &x);
int l = 0, r = n-1, mid;
while(l < r) {
mid = l + r >> 1;
if(a[mid] < x) l = mid + 1;
else r = mid;
}
// 找到左端点
// 判断是否存在等于x点
if(a[l] != x) {
printf("-1 -1\n");
continue;
}
printf("%d ", l);
// 这里记得将l r 初始化
l = 0, r = n-1;
while(l < r) {
mid = l + r + 1 >> 1;
if(a[mid] > x) r = mid - 1;
else l = mid;
}
// 找到右端点
printf("%d\n", l);
}
return 0;
}
题目：分巧克力 第八届蓝桥杯题目
儿童节那天有 K 位小朋友到小明家做客。 小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。 小明一共有 N 块巧克力，其中第 i 块是 Hi×Wi
的方格组成的长方形。 为了公平起见，小明需要从这 N 块巧克力中切出 K 块巧克力分给小朋友们。 切出的巧克力需要满足：
形状是正方形，边长是整数 大小相同 例如一块 6×5 的巧克力可以切出 6 块 2×2 的巧克力或者 2 块 3×3 的巧克力。
当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小明计算出最大的边长是多少么？
输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。 以下 N 行每行包含两个整数 Hi 和 Wi。 输入保证每位小朋友至少能获得一块 1×1 的巧克力。
输出格式
输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。
数据范围
1≤N,K≤105,
1≤Hi,Wi≤105
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+10;
int n, k, MaxH, MaxW, MaxA;
int h[MAXN], w[MAXN];
int check(int m) {
int ans = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
ans += (h[i] / m) * (w[i] / m);
// 长和宽能放下的最大长度的乘积
}
return ans;
}
int main() {
cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d %d", &h[i], &w[i]);
}
int l = 1, r = 1e5, mid;
while(l < r) {
mid = l + r + 1 >> 1;
// check条件：注意题目要求答案的最大值
if(check(mid) >= k) l = mid;
else r = mid - 1;
}
// 输出l或者r，而不是mid
cout << l << endl;
return 0;
}
整数二分查找算法模板：来源 yxc
版本1
当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。
C++ 代码模板：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
版本2
当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。
C++ 代码模板：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
这个模板的来源是，因为整数除法是向下取整的，当区间只剩下两个数时，l 和 r 相等，我们看第二个模板，如果此时满足 if 条件，那 mid = （l + r） / 2 = (r - 1 + r) / 2，向下取整之后 mid 还是等于 l，那么就会进入死循环。所以有了