【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 cosωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )

文章目录

• ​​一、求 cosωn 傅里叶变换​​

• ​​0、cosωn 序列分析​​
• ​​1、傅里叶变换与反变换公式介绍​​
• ​​2、复变函数欧拉公式介绍​​
• ​​3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程​​

一、求 cosωn 傅里叶变换

求

cos

⁡

ω

n

\cos\omega_0n

cosω0n 的傅里叶变换

S

F

T

[

cos

⁡

ω

n

]

SFT[\cos\omega_0n]

SFT[cosω0n] ?

0、cosωn 序列分析

∑

n

=

−

∞

+

∞

∣

cos

⁡

ω

n

∣

=

∞

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\cos\omega_0n| = \infty

n=−∞∑+∞∣cosω0n∣=∞

cos

⁡

ω

n

\cos\omega_0n

cosω0n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为

∞

\infty

∞ , 但是其有傅里叶变换 ;

绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :

• 如果 "

  x

  (

  n

  )

  x(n)

  x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;

• 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "

  x

  (

  n

  )

  x(n)

  x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数

  δ

  (

  ω

  )

  \delta(\omega)

  δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X

(

e

j

ω

)

=

∑

n

=

−

∞

+

∞

x

(

n

)

e

−

j

ω

n

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x

(

n

)

=

1

2

π

∫

−

π

π

X

(

e

j

ω

)

e

j

ω

k

d

ω

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω

2、复变函数欧拉公式介绍

复变函数 欧拉公式 :

e

i

x

=

cos

⁡

x

+

i

sin

⁡

x

①

e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ①

eix=cosx+isinx    ①

e

−

i

x

=

cos

⁡

x

−

i

sin

⁡

x

②

e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ②

e−ix=cosx−isinx    ②

单位复指数序列特点 :

e

j

(

ω

n

+

2

k

π

n

)

=

e

j

ω

n

k

=

,

±

1

,

±

2

,

⋯

e^{j (\omega _0 n + 2k\pi n)} = e^{j \omega_0 n} \ \ \ \ \ k = 0, \pm1 , \pm 2, \cdots

ej(ω0n+2kπn)=ejω0n     k=0,±1,±2,⋯

对

ω

\omega

ω 来说 一定是以

2

π

2\pi

2π 为周期 ;

① 与 ② 相加 , 可以得到 :

cos

⁡

x

=

e

i

x

+

e

−

i

x

2

公

式

③

\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③

cosx=2eix+e−ix    公式③

① 与 ② 相减 , 可以得到 :

sin

⁡

x

=

e

i

x

−

e

−

i

x

2

i

公

式

④

\sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④

sinx=2ieix−e−ix    公式④

可参考百度百科 : ​​https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066​​

3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程

直接 对

c

o

s

ω

n

cos \omega_0 n

cosω0n

使用

cos

⁡

x

=

e

i

x

+

e

−

i

x

2

公

式

③

\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③

cosx=2eix+e−ix    公式③

公式 ,

可以得到 :

cos

⁡

ω

n

=

e

i

ω

n

+

e

−

i

ω

n

2

⑤

\cos \omega_0 n = \cfrac{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2} \ \ \ \ ⑤

cosω0n=2eiω0n+e−iω0n    ⑤

求上述

e

i

ω

n

+

e

−

i

ω

n

2

\cfrac{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2}

2eiω0n+e−iω0n

序列的傅里叶变换 ,

在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了

e

i

ω

n

e^{i\omega_0 n}

eiω0​n 的傅里叶变换 , 结果是 :

S

F

T

[

e

j

ω

n

]

=

∑

n

=

−

∞

+

∞

e

−

j

(

ω

−

ω

)

=

2

π

δ

~

(

ω

−

ω

)

SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )

SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)=2πδ

(ω−ω0)

将

j

j

j 替换成

i

i

i 可以得到 :

S

F

T

[

e

i

ω

n

]

=

∑

n

=

−

∞

+

∞

e

−

i

(

ω

−

ω

)

=

2

π

δ

~

(

ω

−

ω

)

⑥

SFT[e^{i \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) \ \ \ \ ⑥

SFT[eiω0n]=n=−∞∑+∞e−i(ω−ω0)=2πδ

(ω−ω0)    ⑥

将

ω

\omega_0

ω0 替换成

−

ω

-\omega_0

−ω0 可以得到 :

S

F

T

[

e

i

(

−

ω

)

n

]

=

∑

n

=

−

∞

+

∞

e

−

i

(

ω

+

ω

)

=

2

π

δ

~

(

ω

+

ω

)

⑦

SFT[e^{i ( -\omega_0 ) n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega + \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) \ \ \ \ ⑦

SFT[ei(−ω0)n]=n=−∞∑+∞e−i(ω+ω0)=2πδ

(ω+ω0)    ⑦

将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :

S

F

T

[

cos

⁡

ω

n

]

=

2

π

δ

~

(

ω

−

ω

)

+

2

π

δ

~

(

ω

+

ω

)

2

SFT[\cos \omega_0 n] = \cfrac{2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{2}

SFT[cosω0n]=22πδ

(ω−ω0)+2πδ

(ω+ω0)

最终得到 :

S

F

T

[

cos

⁡

ω

n

]

=

π

δ

~

(

ω

−

ω

)

+

π

δ

~

(

ω

+

ω

)

SFT[\cos \omega_0 n] = \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )

SFT[cosω0n]=πδ

(ω−ω0)+πδ

(ω+ω0)

将

π

\pi

π 提取出来 , 得到 :

S

F

T

[

cos

⁡

ω

n

]

=

π

(

δ

~

(

ω

−

ω

)

+

δ

~

(

ω

+

ω

)

)

SFT[\cos \omega_0 n] = \pi (\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) )

SFT[cosω0n]=π(δ

(ω−ω0)+δ

(ω+ω0))

S

F

T

[

cos

⁡

ω

n

]

SFT[\cos \omega_0 n]

SFT[cosω0n] 如下图所示 :