HOJ-GSM-Graham's Scan法求解凸包问题

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

问题

给定平面上的二维点集，求解其凸包。

过程

1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。

3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为pn + 1，上一点为pn，再上一点为pn - 1。顺时针扫描时，如果向量<pn - 1, pn>与<pn, pn + 1>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>相对于<H,C>为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K, D>相对<H, K>为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。

复杂度

这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O(1)。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn)。后面的扫描过程复杂度为O(n)，因此整个算法的复杂度为O(nlgn)。

C++/STL实现

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#include <algorithm> #include <iostream> #include <vector> #include <math.h> using namespace std; //二维点(或向量)结构体定义 #ifndef _WINDEF_ struct POINT { int x; int y; }; #endif typedef vector<POINT> PTARRAY; //判断两个点(或向量)是否相等 bool operator==( const POINT &pt1, const POINT &pt2) { return (pt1.x == pt2.x && pt1.y == pt2.y); } // 比较向量中哪个与x轴向量(1, 0)的夹角更大 bool CompareVector( const POINT &pt1, const POINT &pt2) { //求向量的模 float m1 = sqrt (( float )(pt1.x * pt1.x + pt1.y * pt1.y)); float m2 = sqrt (( float )(pt2.x * pt2.x + pt2.y * pt2.y)); //两个向量分别与(1, 0)求内积 float v1 = pt1.x / m1, v2 = pt2.x / m2; //如果向量夹角相等，则返回离基点较近的一个，保证有序 return (v1 > v2 || v1 == v2 && m1 < m2); } //计算凸包 void CalcConvexHull(PTARRAY &vecSrc) { //点集中至少应有3个点，才能构成多边形 if (vecSrc.size() < 3) { return ; } //查找基点 POINT ptBase = vecSrc.front(); //将第1个点预设为最小点 for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) { //如果当前点的y值小于最小点，或y值相等，x值较小 if (i->y < ptBase.y || (i->y == ptBase.y && i->x > ptBase.x)) { //将当前点作为最小点 ptBase = *i; } } //计算出各点与基点构成的向量 for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin(); i != vecSrc.end();) { //排除与基点相同的点，避免后面的排序计算中出现除0错误 if (*i == ptBase) { i = vecSrc.erase(i); } else { //方向由基点到目标点 i->x -= ptBase.x, i->y -= ptBase.y; ++i; } } //按各向量与横坐标之间的夹角排序 sort(vecSrc.begin(), vecSrc.end(), &CompareVector); //删除相同的向量 vecSrc.erase(unique(vecSrc.begin(), vecSrc.end()), vecSrc.end()); //计算得到首尾依次相联的向量 for (PTARRAY::reverse_iterator ri = vecSrc.rbegin(); ri != vecSrc.rend() - 1; ++ri) { PTARRAY::reverse_iterator riNext = ri + 1; //向量三角形计算公式 ri->x -= riNext->x, ri->y -= riNext->y; } //依次删除不在凸包上的向量 for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) { //回溯删除旋转方向相反的向量，使用外积判断旋转方向 for (PTARRAY::iterator iLast = i - 1; iLast != vecSrc.begin();) { int v1 = i->x * iLast->y, v2 = i->y * iLast->x; //如果叉积小于0，则无没有逆向旋转 //如果叉积等于0，还需判断方向是否相逆 if (v1 < v2 || (v1 == v2 && i->x * iLast->x > 0 && i->y * iLast->y > 0)) { break ; } //删除前一个向量后，需更新当前向量，与前面的向量首尾相连 //向量三角形计算公式 i->x += iLast->x, i->y += iLast->y; iLast = (i = vecSrc.erase(iLast)) - 1; } } //将所有首尾相连的向量依次累加，换算成坐标 vecSrc.front().x += ptBase.x, vecSrc.front().y += ptBase.y; for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) { i->x += (i - 1)->x, i->y += (i - 1)->y; } //添加基点，全部的凸包计算完成 vecSrc.push_back(ptBase); } int main( void ) { int nPtCnt = 100; //生成的随机点数 PTARRAY vecSrc, vecCH; for ( int i = 0; i < nPtCnt; ++i) { POINT ptIn = { rand () % 20, rand () % 20 }; vecSrc.push_back(ptIn); cout << ptIn.x << ", " << ptIn.y << endl; } CalcConvexHull(vecSrc); cout << "\nConvex Hull:\n" ; for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin(); i != vecSrc.end(); ++i) { cout << i->x << ", " << i->y << endl; } return 0; }

HOJ——2648.GSM

题目大意，给出n个合金的金和银的百分含量，然后把n块合金熔合，给出熔合后的合金的银的百分含量，问金的百分含量的上下界…… 太神了这题，完全想不到能转化成凸包…… 直接上学长的解题报告吧…… 若只有一种金属，假如有两块，其中一块10%，另一块20%，融合之后的范围(10%,20%)； 若有两种金属，假如有两块，其中一块金10%银30%，另一块金20%银40%，融合之后的范围金(10%,20%)，银(30%,40%)； 将银的含量作为Y轴，金的含量为X轴。 则可以连成直线(10,30) (20,40) • 若知道合成后银的含量，比如32%。则直线y = 32 与(10,30) (20,40) 交点的横坐标就是金的含量，这种情况可以唯一确定。 • • 当有N块金属后，平面上N个点可以用一个凸包围住，然后求直线y = silver 去和凸包求交点，求出x的范围即可。 我用的按极角排序的Graham_Scan，注意n个点扫描完成后还要在队尾加入第一个点…… 然后此题还要注意n==1的特殊情况 #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; struct node {     int x,y; }p[5010]; int n; double pers; int minx,miny,maxx,maxy; int q[10000]; int top; #define crossmul(s,a,b) ((a.x-s.x)*(b.y-s.y)-(b.x-s.x)*(a.y-s.y)) #define distance(a,b) ((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)) double mi,ma; bool cmp(node a,node b) {     if (crossmul(p[0],a,b)>0) return true;     else if ((crossmul(p[0],a,b)==0)&&(distance(p[0],a)<distance(p[0],b))) return true;     else return false;  } void readdata() {     int minx=1000,miny=1000;     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i].x);     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i].y);     for (int i=1;i<=n;i++)     {         if (p[i].x<minx) {minx=p[i].x;miny=p[i].y;}         else if ((p[i].x==minx)&&(p[i].y<miny)) {minx=p[i].x;miny=p[i].y;}     }     p[0].x=minx;p[0].y=miny;     sort(p+1,p+n+1,cmp);     } void Graham_Scan() {     top=0;     for (int i=1;i<=n;i++)     {         while ((top>=2)&&(crossmul(p[q[top-1]],p[q[top]],p[i])<=0)) --top;         q[++top]=i;     }     q[++top]=1;     } void writeans() {     ma=-1;     mi=1000;     double tmp;     for (int i=1;i<top;i++)     {         if ((pers>=min(p[q[i]].x,p[q[i+1]].x))&&(pers<=max(p[q[i+1]].x,p[q[i]].x)))         {             tmp=(double)(p[q[i]].y-p[q[i+1]].y)/(p[q[i]].x-p[q[i+1]].x)*(pers-p[q[i+1]].x)+p[q[i+1]].y;             if (tmp>ma) ma=tmp;             if (tmp<mi) mi=tmp;         }     }     printf("%.3lf %.3lf\n",mi,ma); }  int main() {     freopen("gsm.in","r",stdin);     freopen("gsm.out","w",stdout);     while (scanf("%d %lf",&n,&pers)==2)     {         readdata();         Graham_Scan();         if (n==1) printf("%.3lf %.3lf\n",p[1].y,p[1].y);         else writeans();     }     return 0; }