HDU 1695 （莫比乌斯入门）

题意：

从区间[1,B]选择一个x,从区间[1,D]选择一个数y，使得gcd(x,y)==k 的方案数。

莫比乌斯反演学习，感觉百度百科就非常好，其他的没有什么大的区别。

解题思路：

下面分两种办法进行求解。

首先，当然得用到莫比乌斯函数以及莫比乌斯反演了

1.采用莫比乌斯反演进行计算。

先将题意简化，那么

就可以表达为：

那么求前者的个数就相当于求后者的个数。

设：

表示

的个数

表示

 ( 

 的倍数 )  的个数

为什么要这么设呢，

一方面：因为当

时

就是所要求解的答案

另一方面：便于使用下面这两个公式：

                             (1)

                     (2)

对于公式（1）如果按照上面那种方法进行设，那么

计算的结果就是（n的倍数的个数）。

并且你会发现

                   （3）

再带入公式（2）先将（3）中

中的

换为

，再令

中的

即可计算得到答案。

令k==1即可算得。

2.采用莫比乌斯进行计算。

因为    

那么将n换成

，可得：

那么，可以看出来：

直接套公式：

然后枚举d，显然有

于是将d提到前面去，则

都是

的倍数，化简一下，得

那么现在既可以计算答案了，用整除分块再进行优化。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=1e5+10;

bool vis[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
int sum[maxn];

void get_mu(){
    memset(vis,0,sizeof vis);
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<maxn;j++){
            if(i*prime[j]>maxn) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }else{
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

ll solve(int x,int y){
    int lit=min(x,y);
    ll ans=0;
    for(int i=1,j;i<=lit;i=j+1){
        j=min(x/(x/i),y/(y/i));
        if(j>lit) j=lit;
        ans+=ll(sum[j]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);
    }
    return ans;
}

int main(){
    get_mu();
    int t,a,n,b,m,k;
    scanf("%d",&t);
    int Case=1;
    while(t--){
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&n,&b,&m,&k);
        ll ans=0;
        if(k){
            if(n>m) swap(n,m);
            ans=solve(n/k,m/k)-solve(n/k,n/k)/2;
        }
        printf("Case %d: %lld\n",Case++,ans);
    }
    return 0;
}
//