matlab画微分方程的矢量场图_利用matlab求解偏微分方程

本文参考的是来自

mooc上北京师范大学彭芳麟老师的计算物理基础

基础知识

偏微分方程的三种类型

• 椭圆型

  • 

  • 初始条件：无
• 抛物型

  • 

  • 初始条件：初始温度分布
• 双曲型

  • 

  • 初始条件：初始位移与初始速度

边界条件

• Dirchlet边界条件
  • 区域边界的函数值
• Neumann边界条件
  • 给出边界上函数的法向导数
• 混合边界条件
  • 给出边界上函数及其法向导数的线性组合

差分法解热传导方程

热传导方程：

令

可以获得显式公式

由此递推公式可以得出下列矩阵

例1

求解程序

x
           

同时上述的传导方程也有隐式公式

利用

得到

由此递推公式可以得到

引入算符

则上述矩阵可以化为

例2 解无量纲化后的薛定谔方程

差分法解弦振动方程

波动方程：

则可以得到相应的显式差分公式

其中

• 

  解是稳定的

• 

  可能能得到正确数值解

• 

  解是不稳定的

由此递推公式可以得到对应的矩阵形式

初始条件的设定

例3 两端固定的弦振动

求解程序

figure
           

用差分法解椭圆型方程

差分法：

令

则可以得到显式差分公式

稳定条件为

第一类边界条件

中心点用

表示，边界点用

表示

第二类边界条件

迭代法与松弛法

迭代法解线性方程组

矩阵解法

迭代法

x1
           

雅可比迭代法

高斯-赛德尔迭代法

松弛法

令

则有

为提高运算效率，可以加上松弛权重

，则有

时为低松弛，

时为超松弛

松弛法迭代公式

启动计算：所有内部点都用边界点的平均值作为启动值

pdetool求解偏微分方程

pdetool中方程的输入格式

边界条件格式

可解问题的分类

解题步骤

1. 设置定解问题
   1. Draw Mode 画求解区域如矩形，椭圆，多边形及其组合
   2. Boundary Mode 定义边界条件
   3. PDE Mode 定义偏微分方程，即给定方程的类型及其系数
2. 解方程
   1. Mesh Mode 将区域分割为三角形网格
   2. Solve Mode 设置初始条件并求解，本征值问题可设搜索本征值范围
3. 将结果可视化输出
   1. Plot Mode
      1. 用彩图、高度图、矢量场图、曲面图、网线图等直线图和线头图表现解
      2. 对抛物型方程和双曲型方程，可以用动画表现解

用pdetool解椭圆形方程和抛物型方程

用pdetool解波动方程和本征值方程

特殊函数的调用和计算

在matlab中查询特殊函数的方法

help matlabspecfun

legendre
           

例：计算n阶勒让德函数

在x处的值

勒让德函数的值

画勒让德多项式的图像

sym