Fourier Transform 傅立叶变换 学习笔记 Part 1

在前面的三部分中 Fourier Series始终是有周期的，无论表示成什么形式，始终与周期有关。

这句话始终深深的印在我的脑海里，傅立叶变换也就出现了。

想法就是一个非周期函数h(t)，用一个无穷大的周期取重复它自己。

定义

我本想翻译一下，但是感觉没什么意义

维基百科

逆变换：

和之前的傅立叶级数对比：

是 ω 0 = 2 π T = 2 π f \omega_{0}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f ω0​=T2π​=2πf.傅立叶展开式是：

H n = 1 T ∫ t 0 t 0 + T h ( t ) e i n ω 0 t H_{n}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} h(t) e^{in\omega_{0}t } Hn​=T1​∫t0​t0​+T​h(t)einω0​t

h ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ H n e − i n ω 0 t h(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} H_{n} e^{-in\omega_{0}t} h(t)=∑n=−∞∞​Hn​e−inω0​t

性质

1

线性性质 Linearity

积分的线性性质决定了这个性质

对比课件和维基百科，我觉得这部分课件更好一点。证明非常的清晰。

2

证明

一个简单的换元

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Parseval Theorem

∫ − ∞ ∞ ∣ h ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ H ( f ) ∣ 2 d f \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| ^{2}dt=\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)| ^{2}df ∫−∞∞​∣h(t)∣2dt=∫−∞∞​∣H(f)∣2df

卷积 convolution

y ( t ) = h ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) g ( τ ) d τ y(t)=h(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)g(\tau)d\tau y(t)=h(t)∗g(t)=∫−∞∞​h(t−τ)g(τ)dτ

这个定理看起来也非常特别。

相关性 correlation

y ( t ) = C o r r ( h ( t ) , g ( t ) ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t + τ ) g ( τ ) d τ y(t)=Corr(h(t),g(t))=\int_{-\infty}^{\infty}h(t+\tau)g(\tau)d\tau y(t)=Corr(h(t),g(t))=∫−∞∞​h(t+τ)g(τ)dτ

自相关Autocorrelation

y ( t ) = C o r r ( h ( t ) , h ( t ) ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t + τ ) h ( τ ) d τ y(t)=Corr(h(t),h(t))=\int_{-\infty}^{\infty}h(t+\tau)h(\tau)d\tau y(t)=Corr(h(t),h(t))=∫−∞∞​h(t+τ)h(τ)dτ

Wiener-Khinchin Theorem

for real function h

傅立叶变换的基础已经写完了，下面是我完全不懂的区域。