高等代数 具有度量的线性空间(第10章)2 实内积空间

一.实线性空间中内积的概念(10.2)

1.实线性空间中的正定性

(1)定义:

(2)充要条件:

命题1:设 f f f是 n n n维实线性空间 V V V上的1个对称双线性函数, f f f在 V V V的1个基 α 1 . . . α n α_1...α_n α1​...αn​下的度量矩阵是 A A A,则 f f f是正定的当且仅当 A A A是正定矩阵

(3)正定的对称双线性函数的性质:

命题2:设 f f f是 n n n维实线性空间 V V V上的1个正定的对称双线性函数,则 V V V中存在1个基 η 1 . . . η n η_1...η_n η1​...ηn​,使得 f f f在此基下的度量矩阵为 I I I,从而 f f f在此基下的表达式为 f ( α , β ) = x 1 y 1 + . . . + x n y n ( 1 ) f(α,β)=x_1y_1+...+x_ny_n\qquad(1) f(α,β)=x1​y1​+...+xn​yn​(1)其中 α = ∑ i = 1 n x i η i , β = ∑ i = 1 n y i η i α=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iη_i,β=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_iη_i α=i=1∑n​xi​ηi​,β=i=1∑n​yi​ηi​

2.实线性空间中的内积

(1)实线性空间中的内积:

(2)实内积空间:

(3)示例:

二.实内积空间中的度量概念(10.2)

1.实内积空间中的长度:

2.实内积空间中的角度

(1)柯西-施瓦茨不等式:

定理1(Cauchy(-Buniakowsky)-Schwarz Inequality):在实内积空间 V V V中,对于任意向量 α , β α,β α,β,有等号成立当且仅当 α , β α,β α,β线性相关

推论1:对于任意2组实数 a 1 . . . a n a_1...a_n a1​...an​与 b 1 . . . b n b_1...b_n b1​...bn​,有 ∣ a 1 b 1 + . . . + a n b n ∣ ≤ a 1 2 + . . . a n 2 b 1 2 + . . . + b n 2 ( 8 ) |a_1b_1+...+a_nb_n|≤\sqrt{a_1^2+...a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}\qquad(8) ∣a1​b1​+...+an​bn​∣≤a12​+...an2​

​b12​+...+bn2​

​(8)等号成立当且仅当 ( a 1 , a 2 . . . a n ) (a_1,a_2...a_n) (a1​,a2​...an​)与 ( b 1 , b 2 . . . b n ) (b_1,b_2...b_n) (b1​,b2​...bn​)线性相关, ( 8 ) (8) (8)式是柯西表达式(Cauchy Inequality)

推论2:对 ∀ f , g ∈ C [ a , b ] ∀f,g∈C[a,b] ∀f,g∈C[a,b],有 ∣ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∣ ≤ [ ∫ a b f 2 ( x ) d x ] 1 2 [ ∫ a b g 2 ( x ) d x ] 1 2 ( 9 ) |\int_a^bf(x)g(x)dx|≤[\int_a^bf^2(x)dx]^{\frac{1}{2}}[\int_a^bg^2(x)dx]^{\frac{1}{2}}\qquad(9) ∣∫ab​f(x)g(x)dx∣≤[∫ab​f2(x)dx]21​[∫ab​g2(x)dx]21​(9)等号成立当且仅当 f f f与 g g g线性无关, ( 9 ) (9) (9)式是施瓦茨不等式(Schwarz Inequality)

(2)实内积空间中的角度:

(3)实内积空间中的正交:

(4)柯西-施瓦茨不等式的其他推论:

推论3:在实内积空间 V V V中,三角不等式成立,即对 ∀ α , β ∈ V ∀α,β∈V ∀α,β∈V,有 ∣ α + β ∣ ≤ ∣ α ∣ + ∣ β ∣ ( 13 ) |α+β|≤|α|+|β|\qquad(13) ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣(13)

推论4:在实内积空间 V V V中,勾股定理成立,即如果 α α α与 β β β正交,那么 ∣ α + β ∣ 2 = ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 ( 14 ) |α+β|^2=|α|^2+|β|^2\qquad(14) ∣α+β∣2=∣α∣2+∣β∣2(14)

推论5:在实内积空间 V V V中,余弦定理成立,即设3个非零向量 α , β , γ α,β,γ α,β,γ满足 γ = β − α γ=β-α γ=β−α,则 ∣ γ ∣ 2 = ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 − 2 ∣ α ∣ ∣ β ∣ cos ⁡ < α , β > ( 16 ) |γ|^2=|α|^2+|β|^2-2|α||β|\cos<α,β>\qquad(16) ∣γ∣2=∣α∣2+∣β∣2−2∣α∣∣β∣cos<α,β>(16)

3.实内积空间中的距离

(1)定义:

(2)可以利用模定义1个度量空间:

命题3:在实内积空间 V V V中,对于 ∀ α , β ∈ V ∀α,β∈V ∀α,β∈V,令 d ( α , β ) : = ∣ α − β ∣ ( 17 ) d(α,β):=|α-β|\qquad(17) d(α,β):=∣α−β∣(17)则 d d d是1个距离,从而 V V V对于 d d d成为1个度量空间

三.欧几里得空间中的标准正交基(10.2)

1.向量间的关系:

命题4:在实内积空间 V V V中,由两两正交的非零向量组成的集合是线性无关的

推论1:在 n n n维欧几里得空间 V V V中,彼此正交的非零向量的个数不超过 n n n

2.标准正交基

(1)概念:

(2)标准正交基的存在性与求解:

推论1: n n n维欧几里得空间 V V V一定有标准正交基

3.度量矩阵:

4.采用标准正交基的优点

在 n n n维欧几里得空间 V V V中采用标准正交基有下列优点

(1)可简化内积的计算:

命题5:在 n n n维欧几里得空间 V V V中,

\quad 基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​是 V V V的1个标准正交基

⇔ ( η i , η j ) = δ i j   ( i , j = 1 , 2... n ) ⇔(η_i,η_j)=δ_{ij}\,(i,j=1,2...n) ⇔(ηi​,ηj​)=δij​(i,j=1,2...n)

⇔ ⇔ ⇔基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​的度量矩阵是 I I I

⇔ ⇔ ⇔内积在基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​下的表达式为 ( α , β ) = x ′ y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n (α,β)=x'y=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n (α,β)=x′y=x1​y1​+x2​y2​+...+xn​yn​,其中 x = ( x 1 , x 2 . . . x n ) ′ , y = ( y 1 , y 2 . . . y n ) ′ x=(x_1,x_2...x_n)',y=(y_1,y_2...y_n)' x=(x1​,x2​...xn​)′,y=(y1​,y2​...yn​)′是 α , β α,β α,β在基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​下的坐标

(2)可利用内积求向量的坐标:

命题6:设 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​是 n n n维欧几里得空间 V V V的1个标准正交基,则对于 ∀ α ∈ V ∀α∈V ∀α∈V,有 α = ∑ i = 1 n ( α , η i ) η i ( 22 ) α=\displaystyle\sum^n_{i=1}(α,η_i)η_i\qquad(22) α=i=1∑n​(α,ηi​)ηi​(22)即 α α α在标准正交基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​下的坐标的第 i i i个分量等于 ( α , η i )   ( i = 1 , 2... n ) (α,η_i)\,(i=1,2...n) (α,ηi​)(i=1,2...n)

5.标准正交基间的关系:

命题7:设 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​是 n n n维欧几里得空间 V V V的1个标准正交基, ( β 1 , β 2 . . . β n ) = ( η 1 , η 2 . . . η n ) P ( 23 ) (β_1,β_2...β_n)=(η_1,η_2...η_n)P\qquad(23) (β1​,β2​...βn​)=(η1​,η2​...ηn​)P(23)则 β 1 , β 2 . . . β n β_1,β_2...β_n β1​,β2​...βn​是 V V V的标准正交基当且仅当 P P P是正交矩阵

四.实内积空间的同构(10.2)

1.概念:

2.判定:

定理2:2个欧几里得空间同构的充要条件是它们的维数相同

推论1:设 V V V是 n n n维欧几里得空间,则 V V V上的线性变换 σ σ σ是保距同构当且仅当 σ σ σ把 V V V的标准正交基映成标准正交基

定理4:设 V , V ′ V,V' V,V′都是实内积空间,如果存在 V V V到 V ′ V' V′的1个满射 σ σ σ保持向量的内积不变,那么 σ σ σ是 V V V到 V ′ V' V′的1个保距同构,从而 V V V与 V ′ V' V′同构

推论1:设 V , V ′ V,V' V,V′都是 n n n维欧几里得空间,如果 V V V到 V ′ V' V′的1个映射 σ σ σ保持向量的内积不变,那么 σ σ σ是 V V V到 V ′ V' V′的1个保距同构,从而 V V V与 V ′ V' V′同构

3.性质:

定理3:设 V , V ′ V,V' V,V′都是实内积空间,如果存在 V V V到 V ′ V' V′的1个映射 σ σ σ保持向量的内积不变,则对 ∀ α , β ∈ V ∀α,β∈V ∀α,β∈V,有 ( σ ( α ) , σ ( β ) ) = ( α , β ) (σ(α),σ(β))=(α,β) (σ(α),σ(β))=(α,β)那么① σ σ σ保持向量的长度不变

    \quad\:\:\: ② σ σ σ是 V V V到 V ′ V' V′的1个线性映射

    \quad\:\:\: ③ σ σ σ是单射