极限、连续知识点

一、极限
- 1.知识储备
- - （1）极限的概念
  - - ① 数列的极限（4点）
    - ② 函数的极限(6点)
  - （2）极限的性质
  - - ① 局部有界性
    - ② 保号性（2点）
    - ③ 唯一性
  - （3）极限存在准则
  - - ① 夹逼准则
    - ②单调有界准则
  - （4）无穷小
  - （5）无穷大
  - - ① 无穷大比较
    - ②无穷大和无界变量的关系
    - ③无穷大和无穷小的关系
- 2.常考题型及技巧（4种）
- - （1）极限的概念性质及存在准则
  - - ①选择题
    - ②证明题
  - （2）求极限
  - - 1.常用方法(9种)
    - 2.常考题型
    - - （1）函数极限
      - ① 0 0 \frac{0}{0} 00类（三个方法）
        
        ② ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞类（三个方法）
        
        ③ ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞类（三个方法）
        
        ④ 0 ∗ ∞ 0*\infty 0∗∞类（三个方法）
  - （3）确定极限式中的参数
  - （4）无穷小量阶的比较

一、极限

1.知识储备

（1）极限的概念

① 数列的极限（4点）

∀ \forall ∀ ε \varepsilon ε>0, ∃ \exist ∃N>0，当n>N时，|an-A|< ξ \xi ξ,称为 lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n→∞liman=A
数列的极限与前有限项无关
lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n \to \infty} n→∞liman=A则可以说明

lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n \to \infty} n→∞lima2k-1= lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n \to \infty} n→∞lima2k=A
收敛和发散说法多用于数列

② 函数的极限(6点)

∀ \forall ∀ ε \varepsilon ε>0, ∃ \exist ∃X>0，当|x|>X时,一定有|f(x)-A|< ξ \xi ξ,称为 lim ⁡ x → ∞ \displaystyle \lim_{x\to \infty} x→∞limf(x)=A
lim ⁡ x → ∞ \displaystyle \lim_{x \to \infty} x→∞limf(x)=A ⟺ \iff ⟺ lim ⁡ x → + ∞ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x→+∞limf(x)= lim ⁡ x → − ∞ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x→−∞limf(x)=A
∀ \forall ∀ ε \varepsilon ε >0, ∃ \exist ∃ δ \delta δ >0，当0<|x-x0|< δ \delta δ,有 |f(x)-A|< ∣ ε |\varepsilon ∣ε|,则称 lim ⁡ x → ∞ \displaystyle \lim_{x\to \infty} x→∞limf(x)=A
极限研究邻近点变化趋势

如 lim ⁡ x → 0 \displaystyle \lim_{x\to 0} x→0lim s i n x x \frac{sinx}{x} xsinx=1

在0这个点上可以没有定义，但是要在这个点的去心领域内有定义
左极限 lim ⁡ x → x 0 − \displaystyle \lim_{x\to x^-_0} x→x0−limf(x0-0)=A

右极限 lim ⁡ x → x 0 + \displaystyle \lim_{x\to x^+_0} x→x0+limf(x0+0)=A
lim ⁡ x → x 0 \displaystyle \lim_{x\to x_0} x→x0limf(x)=A ⟺ \iff ⟺ lim ⁡ x → x 0 − \displaystyle \lim_{x\to x^-_0} x→x0−limf(x0-0)= lim ⁡ x → x 0 + \displaystyle \lim_{x\to x^+_0} x→x0+limf(x0+0)=A

（2）极限的性质

① 局部有界性

如果 lim ⁡ x → x 0 \displaystyle \lim_{x\to x_0} x→x0limf(x)存在，那么f(x)在点x0的去心领域内有界

② 保号性（2点）

f(x)>0 ≥ \geq ≥ ⟹ \implies ⟹ A ≥ \geq ≥ 0

A >0 ⟹ \implies ⟹f(x) > 0

等号不能删除也不能添加
推出保序性

lim ⁡ x → x 0 \displaystyle \lim_{x\to x_0} x→x0limf(x)=A, lim ⁡ x → x 0 \displaystyle \lim_{x\to x_0} x→x0limg(x)=B

如果f(x) ≥ \geq ≥g(x),则A ≥ \geq ≥B

如果A>B，则f(x)>g(x)

等号同样不能动

③ 唯一性

极限存在必唯一

（3）极限存在准则

① 夹逼准则

一个函数被两个函数夹在中间，两边的函数的极限如果是一样的话，那么中间的函数极限存在且极限与两边函数一样。

②单调有界准则

单调增，要有上界

单调减，要有下界
先找an与an+1的关系是单调减还是增，通过an+1-an，或者 a n + 1 a n \frac{a_{n+1}}{a_n} anan+1找到

（4）无穷小

有限无穷小的和仍然是无穷小
有限无穷小的乘积仍然是无穷小
无穷小与有界量的乘积仍然是无穷小

（5）无穷大

① 无穷大比较

n趋向 ∞ \infty ∞时

对数函数《幂函数《指数函数《阶乘《 nn

②无穷大和无界变量的关系

无穷大可以推出无界

无界不能推出无穷大

因为无穷大是无界的一种情况

③无穷大和无穷小的关系

在同一个极限过程中，若 f ( x ) f(x) f(x)是无穷大，则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1是无穷小
若若f(x)是无穷小，那么要在 f ( x ) f(x) f(x) ≠ \neq = 0的情况下， 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1是无穷小

2.常考题型及技巧（4种）

（1）极限的概念性质及存在准则

①选择题

lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n→∞lim | an|=| a | 无法推出 lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n→∞lim an=a

反例： a n a_n an=（-1）n
0* ∞ \infty ∞ 的极限可能存在，可能不存在
lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n→∞lim[ Φ \Phi Φ(x)-g(x)]=0, Φ \Phi Φ(x) ⩽ \leqslant ⩽f(x) ⩽ \leqslant ⩽g(x)

不能使用夹逼定理，因为这两个函数可能都是X之类的，没有极限
lim ⁡ n → ∞ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n→∞limxnyn=1

其中一个极限存在，不能推出另一个极限也存在，因为有0* ∞ \infty ∞ 的情况

如果一个极限存在且不为0，则可以推出另外一个极限必然存在
收敛一定有界，有界不一定收敛，比如(-1)n

无界可以推发散，发散不一定推出无界，例子还是(-1)n
函数可导显然不一定为有界，x， 1 x \frac{1}{x} x1,等等
存在+不存在=不存在

不存在+不存在=不一定

②证明题

1 n + 1 \frac{1}{n+1} n+11<ln(1+ 1 n \frac{1}{n} n1 )< 1 n \frac{1}{n} n1对于任何正整数都成立

证明过程：ln(1+ 1 n \frac{1}{n} n1)=ln(1+n)-ln n

= 1 δ \frac{1}{\delta} δ1(n+1-n)

= 1 δ \frac{1}{\delta} δ1

又 n < δ < n + 1 n<\delta<n+1 n<δ<n+1

所以 1 n + 1 < 1 δ < 1 n \frac{1}{n+1}<\frac{1}{\delta}<\frac{1}{n} n+11<δ1<n1

原式成立

可得结论 x x + 1 < l n ( 1 + x ) < x \frac{x}{x+1}<ln(1+x )<x x+1x<ln(1+x)<x
a n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . 1 2 + 1 n − l n n , 求 a n 收敛先找 a n + 1 − a n 的关系 a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{2}+\frac{1}{n}-ln n,求a_n收敛先找a_{n+1}-a_n的关系 an=1+21+31+...21+n1−lnn,求an收敛先找an+1−an的关系

a n + 1 − a n = 1 n + 1 − [ l n ( 1 + 1 n ) ] < 0 ，单调递减 a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1} -[ln(1+\frac{1}{n})]<0 ，单调递减 an+1−an=n+11−[ln(1+n1)]<0，单调递减

找下界:

an=1+ 1 2 \frac{1}{2} 21+ 1 3 \frac{1}{3} 31+… 1 2 \frac{1}{2} 21+ 1 n \frac{1}{n} n1-ln n

>ln(1+1)+ln(1+2)+…ln(1+n)-ln n

=ln(1+n)-ln n >0

有下界，所以收敛

（2）求极限

1.常用方法(9种)

①利用有理数运算法则求极限

运算法则的要求是，不知道整体存在，就要两项都证明存在

但是已知整体存在，可以用存在=存在+xxx（无论存在还是不存在）就可以
推论一：若 lim ⁡ f ( x ) \displaystyle \lim f(x) limf(x)=A≠0，则有 lim ⁡ \displaystyle \lim lim f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) f(x)g(x) =A lim ⁡ \displaystyle \lim lim g ( x ) g(x) g(x)
推论二： lim ⁡ f ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)} limg(x)f(x)存在， lim ⁡ g ( x ) \displaystyle \lim g(x) limg(x)=0，则必有 lim ⁡ f ( x ) \displaystyle \lim f(x) limf(x)=0
推论三： lim ⁡ f ( x ) g ( x ) = A ≠ 0 ， lim ⁡ f ( x ) = 0 , 则 lim ⁡ g ( x ) = 0 \displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)}=A≠0，\lim f(x)=0,则\lim g(x)=0 limg(x)f(x)=A=0，limf(x)=0,则limg(x)=0

②利用基本极限求极限

lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e x→0lim(1+x)x1=e lim ⁡ x → 0 + x x = 1 \displaystyle \lim_{x \to 0^+}x^x=1 x→0+limxx=1

lim ⁡ x → 0 a x − 1 = x l n a \displaystyle \lim_{x \to 0}a^x-1=x lna x→0limax−1=xlna lim ⁡ x → ∞ n n = 1 \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{n}= 1 x→∞limnn

=1

lim ⁡ x → ∞ a n = 1 ( a > 0 ) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{a}= 1 (a>0) x→∞limna

=1(a>0)

lim ⁡ n → ∞ x n = { 0 ∣ x ∣ < 1 ∞ ∣ x ∣ > 1 1 x ∣ = 1 不存在 x = − 1 \displaystyle \lim_{n \to \infty}x^n=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {|x|<1}\\ \infty & & {|x|>1}\\ 1 & & {x|=1}\\ 不存在 & & {x=-1} \end{array} \right. n→∞limxn=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0∞1不存在∣x∣<1∣x∣>1x∣=1x=−1

lim ⁡ n → ∞ e n x = { 0 x < 0 ∞ x > 0 1 x = 0 \displaystyle \lim_{n \to \infty}e^{nx}=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {x<0}\\ \infty & & {x>0}\\ 1 & & {x=0}\\ \end{array} \right. n→∞limenx=⎩⎨⎧0∞1x<0x>0x=0

③利用等价无穷小

( 1 + x ) a − 1 ∼ a x \displaystyle(1+x)^a-1\sim\displaystyle ax (1+x)a−1∼ax

x − l n ( 1 + x ) ∼ 1 2 x 2 x-ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2 x−ln(1+x)∼21x2
x − s i n x ∼ 1 6 x 3 x-sinx\sim \frac{1}{6}x^3 x−sinx∼61x3 t a n x − x ∼ 1 3 x 3 tanx-x\sim \frac{1}{3}x^3 tanx−x∼31x3

a r c s i n x − x ∼ 1 6 x 3 arcsinx-x\sim \frac{1}{6}x^3 arcsinx−x∼61x3 x − a r c t a n x ∼ 1 3 x 3 x-arctanx\sim \frac{1}{3}x^3 x−arctanx∼31x3
t a n x − s i n x ∼ 1 2 x 3 tanx-sinx\sim \frac{1}{2}x^3 tanx−sinx∼21x3
设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 x = 0 某领域内连续，且 lim ⁡ x → 0 f ( x ) g ( x ) = 1 那么设f(x)和g(x)在x=0某领域内连续，且\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1那么设f(x)和g(x)在x=0某领域内连续，且x→0limg(x)f(x)=1那么

∫ 0 x f ( t ) d t ∼ ∫ 0 x g ( t ) d t \displaystyle \int^{x}_{0}f(t)dt\sim\displaystyle \int^{x}_{0}g(t)dt ∫0xf(t)dt∼∫0xg(t)dt
代换原则：

乘除随意换

加减需要看情况，两项相比

不等于1，可以用减法代换

不等于-1，可以用加法代换

④洛必达法则

只有分子分母的极限同时为 0 或者 ∞ 0或者\infty 0或者∞才能使用

⑤泰勒、麦克劳林公式

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + … 1 n ! x n e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\dots\frac{1}{n!}x^n ex=1+x+2!1x2+3!1x3+…n!1xn
s i n x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} sinx=x−3!x3+5!x5
c o s x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} cosx=1−2!x2+4!x4
l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} ln(1+x)=x−21x2+31x3−⋯+(−1)n−1nxn
同一行用泰勒的时候要保持余项式的无穷小是同阶的

⑥利用夹逼准则求极限

⑦利用定积分定义求极限

格式： lim ⁡ x → ∞ 1 n ∑ i = 1 n f ( i n ) = ∫ 0 1 f ( x ) d x \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\int^{1}_{0}f(x)dx x→∞limn1i=1∑nf(ni)=∫01f(x)dx
适用情况：多项式相加，分子、分母次数齐，分子次数比分母次数少

⑧单调有界准则（适用于有递推关系的数列）

⑨拉格朗日中值定理求极限

2.常考题型

（1）函数极限

七种不定式， 0 0 、 ∞ ∞ 、 0 ∗ ∞ 、 ∞ − ∞ 、 1 ∞ 、 ∞ 0 、 0 0 \frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、0*\infty、\infty-\infty、1^{\infty}、{\infty}^0、0^0 00、∞∞、0∗∞、∞−∞、1∞、∞0、00

① 0 0 \frac{0}{0} 00类（三个方法）

洛必达法则
等价无穷小代换
泰勒公式

② ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞类（三个方法）

洛必达法则
抓大放小
看到 x → − ∞ 时 , 根号开出来是 − x 看到x\to-\infty时,根号开出来是-x 看到x→−∞时,根号开出来是−x

③ ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞类（三个方法）

通分化为 0 0 \frac{0}{0} 00（适用于分式差）
根式有理化（使用于根式差）
变量代换或者泰勒公式
提一个因子，等价代换 ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x (1+x)^a-1\sim ax (1+x)a−1∼ax

例题

lim ⁡ x → ∞ [ x − x 2 l n ( 1 + 1 x ) ] \displaystyle\lim_{x \to \infty}[x-x^2ln(1+ \frac{1}{x})] x→∞lim[x−x2ln(1+x1)]

④ 0 ∗ ∞ 0*\infty 0∗∞类（三个方法）

化为 0 0 、 ∞ ∞ \frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty} 00、∞∞

学习笔记——高等数学极限、连续一、极限