三角波的傅里叶变换对_傅里叶变换系列学习（4)----物理意义

前面3章花了比较大的精力从纯数学的角度证明了一系列公式。今天讲一下他们的物理意义。

物理意义上的傅里叶变换把时域信号变换到了频域；逆变换则是完成从频域重构时域信号。

时域信号的概念比较容易理解，我们在示波器上看到的正弦波、余弦波、三角波、方波等等，都是时域信号，跟随时间变化的信号，都是时域信号。频域是个什么东西呢，说起来比较抽象。拿钢琴做个比方，我百度了一下琴键的频率，抽取了几个。

对照上面的表格，纵向的频率是等差关系，构成了我们熟悉的do, #do(b re)，re, #re(b mi),mi,fa,#fa(b so),so,#so(b la),la,#la(b si),si ；横向的频率是倍数关系，也就是相对的八度音阶。对于像我这种不懂乐谱的理工男来说，看到的是蝌蚪文，再对比上面的表格，我看到了频率，和频率的倍数。拿第一行来说，如果27.5Hz是基频，那么后面的55Hz，110Hz，220Hz，440Hz，880Hz，1760Hz，3520Hz都是以2的幂次倍频上去的；基波的倍数也可以称之为谐波，2倍就是2次谐波，3倍就是3次谐波。好了，稍微扯得有点远了一些，只是希望大家对频率有点感性的理解。

事实上，频率这个东西确实是比较抽象的，以至于学习了傅里叶变换之后，我都不敢轻言频率两个字。为什么呢，真是复杂。对于正弦波信号或者是余弦波信号，我们可以简单的说，这个周期信号的频率是多少多少，比如一个50Hz的正弦波，我们从波形上看，它就是50Hz，即便是做了傅里叶级数分解，它还是只有一个分量，50Hz的正弦波。

对于一般的周期信号（周期为

)，从傅里叶级数可知，该周期信号的频率由基频

，以及谐波组成（

，n=2,3,4,5...个数跟信号源有关）。

问题来了，如果是非周期信号呢？有一种理解方法是：当我们讨论频率的时候，总是把信号当成是周期信号，周期信号在时间轴上是无限长的；既然是非周期信号，又怎么变成周期信号呢，解决办法是把非周期信号做周期延拓。（好绕啊），数学上的处理办法是以某个周期不断的重复原先非周期信号，这样得到的信号就是周期信号。周期信号都可以由基波和谐波构成的，OK。 但是问题又有了，对于同一个非周期信号，如果采用不同的周期进行延拓，那么基波频率是不一样的，这也可以吗？答案是可以。那么结论就是对于非周期信号，进行周期延拓然后傅里叶级数的基频不是一个固定值，而是依赖于延拓周期。

所以，严格意义上，在谈论频率的时候，通常考虑的是周期信号，即便是非周期信号，也先定义延拓周期，在此基础上讨论频率才有意义。

中间再插入一下我引入新知识的原则。回想当年刚参加工作的时候，每个礼拜需要写周报。某次我的周报写的是：读芯片手册，已经看到第50页。这个周报交上去以后，我的领导不开心了：这个芯片手册全英文的，有1000多页，按照你目前的进度，一个月能读完？读完以后就可以写代码了？能赶上项目进度？我一下子懵了，然后问正确的姿势应该是怎样的。领导巴拉巴拉一通，我真的是醍醐灌顶。原来，正确的方法应该是：先对芯片手册有个大概的了解，然后根据需要，对相应的部分深入理解。这才是做工程做项目的正确方法。再回到我引用新知识的原则，我不会一下子把整个线性代数或者是微积分都理一遍，然后再来讲傅里叶，我是把讲傅里叶当成一个项目来做，这样的话，需要的知识就引用（最小引用的原则）；只有在需要的时候才引用（最晚引用的原则）。这样的话，为了讲明白傅里叶，我需要花的时间最少，大家阅读需要的时间也最少。另外，我也真心的把这个方法推荐给大家，特别是在做项目的时候。

好了，我们再拉回来。

有了时间和频率的概念，那么我们就可以从时域和频域两个方面来进一步分辨各种傅里叶变换的特性。

先拿最简单的傅里叶三角级数举例。

，不用进行内积计算，我知道这个函数进行傅里叶三角级数展开的时候，只有基

的系数是5，基

的系数是5其他所有基的系数都是0. 物理意义就

可以由两组谐波

和

构建，幅度分别是5和6。复杂一点，就是最经典的，用无数个正弦波或者余弦波构造方波的案例（可以在知乎搜索傅里叶变换之掐死教程）。对于用正弦波或者余弦波构造方波的案例，求解各个基的系数，其实就是求解各个基的幅度。反过来，我们知道了谐波及其幅度，一样可以构建出原函数

.

因此，傅里叶变换的物理意义很明显了，正变换就是求出不同频谱的幅度；反变换就是根据频谱及频谱的幅度求出原信号。

对于FS的基

或者是FT的基

，DTFT的基

，DFS/DFT的基

（不熟悉这些基的，可以回到系列（1），系列（2）和系列（3）复习一下），这些复数基看上去难以理解（暂时先放一下，但是引入了复信号，我们在数学分析上确实方便利索了好多，对吧。事实上，学过通信原理的通信知道，使用

或者

信号调制的时候，产生双边带调制，而用

调制的，产生单边带，频谱节约了一半），也都是表示频域的，同样我们也认为，求解傅里叶正变换的时候，各个基的系数，就是各个频点的幅值。反过来，有了频点和幅值，我们就能算出原信号，这就是反傅里叶变换。

再上一个图

没有写DFT和FFT，因为DFT就是DFS取变换后的一个周期，而FFT本质上只是算法快速。把这些公式写在一起的时候（我们用方括号[]表示数组，用圆括号（）表示函数），我们可以看到几个特点：

1. 再次提醒，正变换的时候，是做内积，复数的内积是取共轭；逆变换是用基求原信号，不要取共轭，上表一目了然。
2. FS和DFS，即级数在时域都是周期的，相应的在频域都是离散的。观察得到，周期信号在频域都是离散的。（特例是DFT，因为DFT虽然处理非周期离散信号，但是处理过程中做了周期延拓，实践上是当成了周期信号，所以频域也是离散的）
3. FT和DTFT，时域上的非周期信号，相应的频域都是连续的。
4. 从图上，我们也能看到，离散信号的频谱都是周期的，连续信号的频谱都是非周期的，这一点我会在后面的傅里叶变换的一些特性中继续介绍

下一章，为了进一步阐述，我要引入新的知识了，

函数和卷积。