三角波的傅里叶变换对_《傅里叶光学（一）》 复数、特殊函数和冲激函数

《傅里叶光学》系列的文章旨在记录、分享笔者的学习过程，作为这一系列的开篇文章，本文主要介绍了复数的概念和性质，常用的特殊函数以及冲激函数的性质。

复数

1. 复数的介绍

在许多应用中，用复数表示物理量比仅仅用实数表示方便得多。复数的概念来自于平方根、对数等函数的延续，这些函数传统的定义域为正数，有一定的局限性。而引入复数的概念后，这些函数的定义域就可以扩展到整个实数范围中。 定义一个虚数

定义一个任意的复数，包含实部和虚部

其中

和

都是实数

可以把复数

的实部和虚部看作正交的，并在二维平面(复平面)中画出来，如图所示：

复数在复平面的表示

通过这种绘制方式，可以用正实数定义复数的大小、角度：

$

从平面三角函数可得：

利用欧拉公式：

将复数写成极坐标形式：

复数的共轭：

2. 复数的运算

2.1 基本代数运算

假设有两个复数

当两者相加时，直接将各自的实部和虚部分别相加：

而当进行乘除运算时，使用极坐标的形式非常方便：

还有一些复数运算中比较方便的性质：

2.2 幂和根

对于求解复数的幂和根，用极坐标的形式最为便捷。对于复数的幂，有如下关系

与一般函数的幂并无不同，而复数根的求解稍微有点复杂

由于角度

的周期性(

)，求根时要将所有由周期性带来的解都考虑在内。

特殊函数和脉冲函数

1. 特殊函数

1.1 阶跃函数

阶跃函数

1.2 符号函数

符号函数

1.3 斜坡函数

斜坡函数

1.4 矩形脉冲

1.5 三角函数

1.6 Sinc函数

当x趋于0时，用高斯公式将分子展开

在

时

，

的最大值在

处

同样有

1.7 高斯函数

不同脉冲函数的图形

2. 冲激函数

上一节提到了几个脉冲函数rect,tri,sinc,gause，这些函数虽然形式不同，但都有相同的面积

。当b趋于0时，定义冲激函数

函数有如下特性：

1. 筛选性质

2. 缩放性质

另外，其是偶函数

3.

函数的功能

not defined

4. 积分性质

3. 梳状函数

在许多应用中需要用到均匀分布的

函数，那么便定义梳状函数：

梳状函数也有

函数的缩放性质：

4.

函数的导数与积分

定义

这是一个阶跃函数，因此

定义

函数的导数为

我们来推导

函数的导数的性质：

(PS:附上分部积分的公式

)

那么以此类推可得到

5. 其他

在文章的最后解释两个概念，笔者在学习的时候曾出现过误解。本文中所提到的rect,tri,sinc,gaus函数在英文中被统称作pulse function，而

函数被称作impulse function。pulse与impulse的区在于，pulse脉冲信号保持时间不一定要趋于0，而impulse脉冲信号的保持时间趋于0。