大学物理第十二章复习笔记：气体动理论

第十二章：气体动理论

大学物理

• 第十二章：气体动理论
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  • 一、分子运动的基本概念
  • • 1.气体的状态参量
    • • （1）压强P
      • （2）体积V
      • （3）温度T
    • 2.平衡态和平衡过程
    • • （1）平衡态
      • （2）平衡过程
    • 3.理想气体的状态方程
  • 二、气体分子热运动
  • • 1.气体热运动的特征
    • 2.统计规律的特征
    • • （1）统计平均值
      • （3）概率
      • （4）归一化概念
  • 三、理想气体的压强公式
  • • 1.理想气体的模型
    • • （1）宏观模型
      • （2）微观模型
      • （3）统计假设
      • （4）压强公式
      • （5）理想气体温度公式
  • 四、麦克斯韦速率分布定律
  • • 1.速率分布
    • 2.麦氏速度分布律
    • • （1）麦氏分布速率函数表达式
    • 3.麦氏速率分布的应用
    • • （1）最可几速率 v p v_p vp​
      • （2）麦氏速率分布曲线
      • （3）利用 f ( v ) f(v) f(v)求统计平均值
  • 五、能量按自由度均分原理
  • • 1.自由度： i i i
    • • （1）确定一个物体空间位置的独立坐标数 i i i
      • （2）自由运动质点的自由度
    • 2.能量按自由度均分原理
    • • （1）定理内容
      • （2）一个分子的平均总动能
    • 3.理想气体的内能E
  • 六、气体分子的碰撞和平均自由能
  • • 1.气体分子的碰撞机制
    • • （1）分子的有效直径
      • （2）分子的平均有效直径 d ˉ \bar d dˉ
    • 2.平均碰撞频率，平均自由程
    • • （1）碰撞频率Z
      • （2）自由程 λ \lambda λ
      • （3）z和 λ \lambda λ之间的关系
      • 3.平均自由程和碰撞频率的统计规律

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一、分子运动的基本概念

1.气体的状态参量

（1）压强P

①概念：

单位时间内大量气体分子对容器壁单位面积的垂直作用力（平均冲量）

②单位

帕斯卡（N· m − 2 m^{-2} m−2）

（2）体积V

气体活动的空间

（3）温度T

气体冷热程度的量度

分子热运动剧烈强度的量度

T = （ t + 273 ） K T=（t+273）K T=（t+273）K

2.平衡态和平衡过程

（1）平衡态

概念：一个系统，宏观量不随时间变化的状态称为平衡态

特点：热动平衡

宏观量：T,P稳定

微观量：分子热运动永不停息

（2）平衡过程

系统与外界有能量交换，任何一个实际的过程都是状态改变过程，都是非平衡的。

过程进行得非常缓慢并不计摩擦，此过程称为准静态过程，也称为平衡过程

总结：平衡过程是实际过程的近似处理，是理想化过程，优越性在于p-v图上明确地描写状态及其过程。

注意：p-v图上的任何一个点都对应着气体的一个平衡态

一 个 点 ： 一 个 平 衡 态 一 条 曲 线 ： 一 个 平 衡 过 程 一个点：一个平衡态\\ 一条曲线：一个平衡过程\\ 一个点：一个平衡态一条曲线：一个平衡过程

3.理想气体的状态方程

（1）理想气体满足三个实验定律

由三个定律总结出来气体的状态方程（克拉帕龙方程）

P V = m M m o l R T 其 中 ： R = 8.31 J / m o l ⋅ K : 摩 尔 气 体 常 数 1 m o l 气 体 上 升 1 摄 氏 度 吸 收 的 热 PV=\frac{m}{M_{mol}}RT\\ 其中：R=8.31J/mol·K:摩尔气体常数\\1mol气体上升1摄氏度吸收的热\\ PV=Mmol​m​RT其中：R=8.31J/mol⋅K:摩尔气体常数1mol气体上升1摄氏度吸收的热

克拉帕龙方程的另一种形式：

P = n k T k = R N 0 = 1.38 × 1 0 − 23 — — 波 兹 曼 常 数 其 中 N 0 = 6.02 × 1 0 23 , n = N V P=nkT\\ k=\frac{R}{N_0}=1.38\times10^{-23}——波兹曼常数\\ 其中N_0=6.02\times10^{23},n=\frac{N}{V}\\ P=nkTk=N0​R​=1.38×10−23——波兹曼常数其中N0​=6.02×1023,n=VN​

二、气体分子热运动

1.气体热运动的特征

永恒的运动，频繁的碰撞

（1）运动：气体分子间距大，分子间作用力小，二次碰撞之间的运动可以看做惯性支配下的运动——匀速直线运动

（2）碰撞：扩散很慢——频繁碰撞的结果

（3）对于单个分子

碰 撞 时 ： 偶 然 性 ， 无 序 性 ， 遵 守 能 量 守 恒 和 动 量 守 恒 — — 力 学 规 律 碰 撞 后 ： 匀 速 直 线 运 动 碰撞时：偶然性，无序性，遵守能量守恒和动量守恒——力学规律\\ 碰撞后：匀速直线运动 碰撞时：偶然性，无序性，遵守能量守恒和动量守恒——力学规律碰撞后：匀速直线运动

（4）对整体

在 整 体 上 遵 循 确 定 的 统 计 规 律 在整体上遵循确定的统计规律 在整体上遵循确定的统计规律

2.统计规律的特征

大量偶然事件组成整体，少量事件不服从统计规律

（1）统计平均值

计算方法同算数平均值相同，如年龄M：

M ˉ = ∑ 每 个 年 龄 × 对 应 年 龄 的 人 数 总 人 数 \bar M=\frac{\sum每个年龄\times对应年龄的人数}{总人数} Mˉ=总人数∑每个年龄×对应年龄的人数​

统计平均值：分子速度：

v ˉ x = v x 1 Δ N 1 + v x 2 Δ N 2 + . . . N = ∫ v x d N N v ˉ y = v y 1 Δ N 1 + v y 2 Δ N 2 + . . . N = ∫ v y d N N v ˉ x 2 = v x 1 2 Δ N 1 + v x 2 2 Δ N 2 + . . . N = ∫ v x 2 d N N \bar v_x=\frac{v_{x_1}\Delta N_1+v_{x_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x dN}{N}\\ \bar v_y=\frac{v_{y_1}\Delta N_1+v_{y_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_y dN}{N}\\ \bar v_x^2=\frac{v_{x_1}^2\Delta N_1+v_{x_2^2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x^2 dN}{N}\\ vˉx​=Nvx1​​ΔN1​+vx2​​ΔN2​+...​=N∫vx​dN​vˉy​=Nvy1​​ΔN1​+vy2​​ΔN2​+...​=N∫vy​dN​vˉx2​=Nvx1​2​ΔN1​+vx22​​ΔN2​+...​=N∫vx2​dN​

（3）概率

在一定条件下，每个状态出现的次数 N A N_A NA​和测量总次数 N N N（即所有状态出现的次数的总和）的比值是一个确定值，称为A状态出现的概率 W A W_A WA​

W A = lim ⁡ N → ∞ N A N 对 一 个 系 统 ： { 所 有 状 态 出 现 的 总 次 数 N A 状 态 出 现 的 次 数 N A A 状 态 出 现 的 概 率 W A W_A=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{N_A}{N}\\ 对一个系统：\begin{cases} 所有状态出现的总次数N\\ A状态出现的次数N_A\\ A状态出现的概率W_A\\ \end{cases} WA​=N→∞lim​NNA​​对一个系统：⎩⎪⎨⎪⎧​所有状态出现的总次数NA状态出现的次数NA​A状态出现的概率WA​​

（4）归一化概念

所有可能出现的状态之和为1

∑ W A = ∑ N i N = 1 \sum W_A=\frac{\sum N_i}{N}=1\\ ∑WA​=N∑Ni​​=1

三、理想气体的压强公式

1.理想气体的模型

（1）宏观模型

遵循三个实验规律

（2）微观模型

弹性小球碰撞模型

（3）统计假设

实验事实：平衡态时，容器中的气体分子数密度n均匀分布

假设：做热运动的分子向各个方向的运动机会相等，任何一个方向不必其他方向更占优势

所以：分子速度在各个方向分量的各种平均值相等

v ˉ x = v ˉ y = v ˉ z = 0 v ˉ x 2 = v ˉ y 2 = v ˉ z 2 又 因 为 v ˉ 2 = v ˉ x 2 + v ˉ y 2 + v ˉ z 2 所 以 v ˉ x 2 = v ˉ x 2 = v ˉ x 2 = 1 3 v ˉ 2 \bar v_x=\bar v_y=\bar v_z=0\\ \bar v_x^2=\bar v_y^2=\bar v_z^2\\ 又因为\bar v^2=\bar v_x^2+\bar v_y^2+\bar v_z^2\\ 所以\bar v_x^2=\bar v_x^2=\bar v_x^2=\frac{1}{3}\bar v^2 vˉx​=vˉy​=vˉz​=0vˉx2​=vˉy2​=vˉz2​又因为vˉ2=vˉx2​+vˉy2​+vˉz2​所以vˉx2​=vˉx2​=vˉx2​=31​vˉ2

n:分子数密度 n = N V n=\frac{N}{V} n=VN​

（4）压强公式

p = 1 3 n μ v ˉ 2 p=\frac{1}{3}n\mu\bar v^2 p=31​nμvˉ2

设一个分子的平均动能：

ε ˉ = 1 2 μ v ˉ 2 \bar \varepsilon=\frac{1}{2}\mu \bar v^2 εˉ=21​μvˉ2

那么

p = 2 3 n ε ˉ p=\frac{2}{3}n\bar\varepsilon p=32​nεˉ

（5）理想气体温度公式

{ p = n k T p = 2 3 n ε ˉ ⇒ ε ˉ = 3 2 k T — — 温 度 公 式 \begin{cases} p=nkT\\ p=\frac{2}{3}n\bar\varepsilon \end{cases}\Rightarrow \bar\varepsilon=\frac{3}{2}kT——温度公式 {p=nkTp=32​nεˉ​⇒εˉ=23​kT——温度公式

注意：

• 温度公式只对大量分子有意义，对单个少量分子无意义
• 分子平均动能只与分子的温度有关，而与分子的种类无关，T相同那么分子动能相同
• 均方根速率

v ˉ 2 = 3 R T M \sqrt{\bar v^2}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} vˉ2

​=M3RT​

​

四、麦克斯韦速率分布定律

• 单个分子：速度偶然
• 少量分子：速度分布没有规律
• 大量分子：速度分布有规律

1.速率分布

分子总数N，分子速率可能取值 0 → ∞ 0\rightarrow\infty 0→∞

将速率分成许多相等的小区间 Δ v \Delta v Δv——速率区间

每个速率区间内的分子数: Δ N \Delta N ΔN

• 每个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是不同的
• 平衡态时， Δ v \Delta v Δv内的分子数 Δ N \Delta N ΔN占总分子数N的百分比 Δ N N \frac{\Delta{N}}{N} NΔN​随速度变化的规律称为速度分布规律
• 此规律在无外场时称为麦克斯韦速率分布规律

2.麦氏速度分布律

麦氏速率分布律：

无外场，理想气体平衡态时，各单位速率区间内的分子数占总分子数的百分数按速率 v 分布的规律

N : 分 子 总 数 d v : 速 率 区 间 d N : 在 速 率 区 间 v 到 v + d v 内 的 分 子 数 ( 不 能 说 是 d v 内 的 ) d N N : 在 速 率 区 间 v 到 v + d v 内 的 分 子 数 占 总 分 子 数 的 百 分 比 N:分子总数\\ dv:速率区间\\ dN:在速率区间v到v+dv内的分子数(不能说是dv内的)\\ \frac{dN}{N}:在速率区间v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比 N:分子总数dv:速率区间dN:在速率区间v到v+dv内的分子数(不能说是dv内的)NdN​:在速率区间v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比

（1）麦氏分布速率函数表达式

• d N N \frac{dN}{N} NdN​和什么有关？
  • dv
  • v

• 写成等式：

  d N N = f ( v ) ⋅ d v \frac{dN}{N}=f(v)·dv NdN​=f(v)⋅dv

• f ( v ) f(v) f(v)的物理意义

  f ( v ) = d N d v 1 N f(v)=\frac{dN}{dv}\frac{1}{N}\\ f(v)=dvdN​N1​

  表示在速率为v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

• 其他的一些变形的表示意义

  1. { f ( v ) d v = d N N : 在 v 到 v + d v 内 的 分 子 数 占 总 分 子 数 的 百 分 比 N f ( v ) d v = d N : 在 v 到 v + d v 区 间 内 的 分 子 数 2. { 在 给 定 速 率 区 间 v 1 到 v 2 内 的 分 子 百 分 比 是 多 少 ？ Δ N N = ∫ v 1 v 2 f ( v ) d v v 1 到 v 2 内 的 分 子 数 ： Δ N = N ∫ v 1 v 2 f ( v ) d v 3. 在 整 个 速 率 区 间 （ 0 ， + ∞ ） 内 分 子 的 百 分 数 是 多 少 ? ∑ i Δ N i N = ∫ 0 ∞ f ( v ) d v = 1 1.\begin{cases} f(v)dv=\frac{dN}{N}:在v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比\\ Nf(v)dv={dN}:在v到v+dv区间内的分子数\\ \end{cases}\\ 2.\begin{cases} 在给定速率区间v_1到v_2内的分子百分比是多少？\frac{\Delta N}{N}=\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ v_1到v_2内的分子数：\Delta N=N\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ \end{cases}\\ 3.在整个速率区间（0，+\infty）内分子的百分数是多少? \sum\limits_{i}\frac{\Delta N_i}{N}=\int_{0}^{\infty}f(v)dv=1\\ 1.{f(v)dv=NdN​:在v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比Nf(v)dv=dN:在v到v+dv区间内的分子数​2.{在给定速率区间v1​到v2​内的分子百分比是多少？NΔN​=∫v1​v2​​f(v)dvv1​到v2​内的分子数：ΔN=N∫v1​v2​​f(v)dv​3.在整个速率区间（0，+∞）内分子的百分数是多少?i∑​NΔNi​​=∫0∞​f(v)dv=1

  速度归一化条件

3.麦氏速率分布的应用

（1）最可几速率 v p v_p vp​

根据 f ( v ) f(v) f(v)函数的极值求导得

v p = 2 R T M m o l v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}}\\ vp​=Mmol​2RT​

​

可知，最可几速率与温度和气体的种类有关

（2）麦氏速率分布曲线

要注意的是温度升高，曲线最大值升高，但是还要注意归一化条件：曲线的面积不变

（3）利用 f ( v ) f(v) f(v)求统计平均值

a.平均速率

v ˉ = ∫ 0 ∞ v f ( v ) d v \bar v=\int_0^{\infty}vf(v)dv\\ vˉ=∫0∞​vf(v)dv

b.均方根速率

v 2 ˉ = ∫ 0 ∞ v 2 f ( v ) d v \bar {v^2}=\int_0^{\infty}{v^2}f(v)dv\\ v2ˉ=∫0∞​v2f(v)dv

c.平均动能

ε ˉ = ∫ 0 ∞ 1 2 μ v 2 f ( v ) d v \bar \varepsilon=\int_0^{\infty}\frac{1}{2}\mu {v^2}f(v)dv\\ εˉ=∫0∞​21​μv2f(v)dv

总结，求某个和速率有关的统计平均值：M(v)

M ( v ) = ∫ 0 ∞ M ( v ) f ( v ) d v M(v)=\int_0^{\infty}M(v)f(v)dv\\ M(v)=∫0∞​M(v)f(v)dv

五、能量按自由度均分原理

{ 单 原 子 分 子 气 体 ： 热 运 动 能 量 只 有 平 动 动 能 多 原 子 分 子 气 体 ： { 平 动 动 能 转 动 动 能 \begin{cases} 单原子分子气体：热运动能量只有平动动能\\ 多原子分子气体：\begin{cases} 平动动能\\ 转动动能\\ \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​单原子分子气体：热运动能量只有平动动能多原子分子气体：{平动动能转动动能​​

1.自由度： i i i

（1）确定一个物体空间位置的独立坐标数 i i i

（2）自由运动质点的自由度

在空间自由运动：i=3

在平面自由运动：i=2

在直线自由运动：i=1

• 问
  • 质点在平面做圆运动，自由度i=?
  • 质点在空间做曲线运动，自由度？
• 钢棒的自由度
  • x,y,z
  • α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ
  • 3+3-1
• 刚体的自由度
  • 一般：平动+转动：6
• 理想气体分子的自由度
  • 单原子：3
  • 双原子：5
  • 多原子：6

2.能量按自由度均分原理

（1）定理内容

温度为 T 的平衡态时，气体分子的每个自由度上都有一份相同的平均动能，数值为： 1 2 k T \frac{1}{2}kT 21​kT

ε ˉ = 3 2 k T \bar \varepsilon=\frac{3}{2}kT εˉ=23​kT均匀分布在3个自由度上

（2）一个分子的平均总动能

由自由度判断 ε ˉ = i 2 k T \bar \varepsilon=\frac{i}{2}kT εˉ=2i​kT

{ 单 原 子 分 子 ： 3 2 k T 双 原 子 分 子 ： 5 2 k T 多 原 子 分 子 ： 3 k T \begin{cases} 单原子分子：\frac{3}{2}kT\\ 双原子分子：\frac{5}{2}kT\\ 多原子分子：3kT \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​单原子分子：23​kT双原子分子：25​kT多原子分子：3kT​

3.理想气体的内能E

内 能 : { 平 动 动 能 转 动 动 能 1 m o l 理 想 气 体 （ 自 由 度 为 i ） 的 内 能 ： i 2 k T 1 m o l 单 原 子 理 想 气 体 的 内 能 ： 3 2 k T 质 量 为 m k g ， 自 由 度 为 i 的 气 体 的 内 能 ： m M m o l i 2 k T 内能:\begin{cases} 平动动能\\ 转动动能\\ \end{cases}\\ 1mol理想气体（自由度为i）的内能：\frac{i}{2}kT\\ 1mol单原子理想气体的内能：\frac{3}{2}kT\\ 质量为m kg，自由度为i的气体的内能：\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT\\ 内能:{平动动能转动动能​1mol理想气体（自由度为i）的内能：2i​kT1mol单原子理想气体的内能：23​kT质量为mkg，自由度为i的气体的内能：Mmol​m​2i​kT

总结得出：

E = m M m o l i 2 k T E=\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT E=Mmol​m​2i​kT

六、气体分子的碰撞和平均自由能

非平衡态 → \rightarrow →平衡态：通过热运动的相互碰撞实现的

1.气体分子的碰撞机制

非接触性碰撞

（1）分子的有效直径

（2）分子的平均有效直径 d ˉ \bar d dˉ

约 1 0 − 10 10^{-10} 10−10

2.平均碰撞频率，平均自由程

（1）碰撞频率Z

一个分子在1s内和其他分子的碰撞的次数

• 平均碰撞次数 z ˉ \bar z zˉ

（2）自由程 λ \lambda λ

一个分子连续两次碰撞之间通过的路程

• 平均自由程 λ ˉ \bar \lambda λˉ

（3）z和 λ \lambda λ之间的关系

• 1s内通过的路程 v ˉ \bar v vˉ
• 1s内发生碰撞的次数 Z ˉ \bar Z Zˉ
• 每碰一次，路程被折成一段： λ ˉ = v ˉ Z ˉ \bar\lambda=\frac{\bar v}{\bar Z} λˉ=Zˉvˉ​

3.平均自由程和碰撞频率的统计规律

（1）平均碰撞次数： Z ˉ \bar Z Zˉ

Z ˉ = π d ˉ 2 ⋅ u ˉ n 其 中 ： Z ˉ 是 平 均 碰 撞 次 数 d ˉ 是 平 均 有 效 直 径 u ˉ 是 a 分 子 相 对 于 其 他 分 子 的 速 率 n 是 分 子 数 密 度 \bar Z=\pi \bar d^2·\bar u n\\ 其中：\bar Z是平均碰撞次数\\ \bar d是平均有效直径\\ \bar u是a分子相对于其他分子的速率\\ n是分子数密度 Zˉ=πdˉ2⋅uˉn其中：Zˉ是平均碰撞次数dˉ是平均有效直径uˉ是a分子相对于其他分子的速率n是分子数密度

（2）表达式

u ˉ = 2 v ˉ ∴ Z ˉ = π d ˉ 2 ⋅ 2 v ˉ n λ ˉ = v ˉ Z ˉ = 1 2 π d ˉ 2 ⋅ n \bar u=\sqrt{2}\bar v\\ ∴\bar Z=\pi \bar d^2·\sqrt{2}\bar v n\\ \bar\lambda=\frac{\bar v}{\bar Z}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \bar d^2·n} uˉ=2

​vˉ∴Zˉ=πdˉ2⋅2

​vˉnλˉ=Zˉvˉ​=2

​πdˉ2⋅n1​

而在宏观状态下：

p = n k T , v ˉ = 8 R T π M m o l ∴ Z ˉ = 2 π d ˉ 2 ⋅ 8 R T π M m o l p k T λ ˉ = k T 2 π d ˉ 2 p — — 宏 观 表 达 式 p=nkT,\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\\ ∴\bar Z=\sqrt{2}\pi \bar d^2·\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\frac{p}{kT}\\ \bar\lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi\bar d^2 p}——宏观表达式 p=nkT,vˉ=πMmol​8RT​

​∴Zˉ=2

​πdˉ2⋅πMmol​8RT​

​kTp​λˉ=2

​πdˉ2pkT​——宏观表达式

• v ˉ \bar v vˉ增大，自由程会变化吗？
  • 会，平均有效直径会变化

u ˉ 是 a 分 子 相 对 于 其 他 分 子 的 速 率 n 是 分 子 数 密 度 \bar u是a分子相对于其他分子的速率\\ n是分子数密度 uˉ是a分子相对于其他分子的速率n是分子数密度