题目
有个长度为2n的数组{a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn},希望排序后{a1,b1,a2,b2,….,an,bn},请考虑有无时间复杂度o(n),空间复杂度0(1)的解法。
来源
2013年uc的校招笔试题
思路一
第①步、确定b1的位置,即让b1跟它前面的a2,a3,a4交换:
第②步、接着确定b2的位置,即让b2跟它前面的a3,a4交换:
第③步、b3跟它前面的a4交换位置:
b4已在最后的位置,不需要再交换。如此,经过上述3个步骤后,得到我们最后想要的序列。但此方法的时间复杂度为o(n^2)
代码一
思路二
我们每次让序列中最中间的元素进行两两交换。还是上面的例子:
第①步:交换最中间的两个元素a4,b1:
第②步:最中间的两对元素各自交换:
第③步:交换最中间的三对元素:
此思路同上述思路一样,时间复杂度依然为o(n^2)。仍然但不到题目要求。
代码二
思路三(完美洗牌算法)
玩过扑克牌的朋友都知道,在一局完了之后洗牌,洗牌人会习惯性的把整副牌大致分为两半,两手各拿一半对着对着交叉洗牌。
2004年,microsoft的peiyush jain在他发表一篇名为:“a simple in-place algorithm for in-shuffle”的论文中提出了完美洗牌算法。
什么是完美洗牌问题呢?即给定一个数组a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3..bn,最终把它置换成b1,a1,b2,a2,…bn,an。这个完美洗牌问题本质上与本题完全一致,只要在完美洗牌问题的基础上对它最后的序列swap两两相邻元素即可。
(1)对原始位置的变化做如下分析:
![](https://img.laitimes.com/img/_0nNw4CM6IyYiwiM6ICdiwiI2IDNwUTMyETMzEjMwUTMwIzLcRXZu5ibkN3Yuc2bsJmLn1Wavw1LcpDc0RHaiojIsJye.jpg)
(2)依次考察每个位置的变化规律:
a1:1 -> 2
a2:2 -> 4
a3:3 -> 6
a4:4 -> 8
b1:5 -> 1
b2:6 -> 3
b3:7 -> 5
b4:8 -> 7
对于原数组位置i的元素,新位置是(2*i)%(2n+1),注意,这里用2n表示原数组的长度。后面依然使用该表述方式。有了该表达式,困难的不是寻找元素在新数组中的位置,而是为该元素“腾位置”。如果使用暂存的办法,空间复杂度必然要达到o(n),因此,需要换个思路。
(3)我们这么思考:a1从位置1移动到位置2,那么,位置2上的元素a2变化到了哪里呢?继续这个线索,我们得到一个“封闭”的环:
沿着这个环,可以把a1、a2、a4、b4、b3、b1这6个元素依次移动到最终位置;显然,因为每次只移动一个元素,代码实现时,只使用1个临时空间即可完成。(即:a=t;t=b;b=a)
此外,该变化的另外一个环是:
沿着这个环,可以把a3、b2这2个元素依次移动到最终位置。
(4)上述过程可以通过若干的“环”的方式完整元素的移动,这是巧合吗?事实上,该问题的研究成果已经由peiyush jain在10年前公开发表在a simple in-place algorithm for in-shuffle, microsoft, 2004中。原始论文直接使用了一个结论,这里不再证明:对于2*n =(3^k-1)这种长度的数组,恰好只有k个环,且每个环的起始位置分别是1,3,9,…3^(k-1)。
对于上面的例子,长度为8,是3^2-1,因此,只有2个环。环的起始位置分别是1和3。
(5)至此,完美洗牌算法的“主体工程”已经完工,只存在一个“小”问题:如果数组长度不是(3^k-1)呢?
若2n!=(3^k-1),则总可以找到最大的整数m,使得m< n,并且2m=(3^k-1)。
对于长度为2m的数组,调用(3)和(4)中的方法整理元素,剩余的2(n-m)长度,递归调用(5)即可。
(6)需要交换一部分数组元素
(下面使用[a,b]表示从a到b的一段子数组,包括端点)
①图中斜线阴影部分的子数组[1,m]应该和[n + 1,n + m]组成一个数组,调用(3)和(4)中的算法;
②数组[m+1,m+n]循环左移n-m次即可。(循环位移是存在空间复杂度为o(1),时间复杂度为o(n)的算法)
(7)原始问题要输出a1,b1,a2,b2……an,bn,而完美洗牌却输出的是b1,a1,b2,a2,……bn,an。解决办法非常简单:忽略原数组中的a1和bn,对于a2,a3,……an,b1,b2,……bn-1调用完美洗牌算法,即为结论。
举个例子: n = 6
a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6
循环左移
介绍一下时间复杂度为o(n),空间复杂度为o(1)的循环移位操作。
思路:
假设循环左移m位。把数组分成两段,第一段为前m个元素,第二段为剩余元素。把第一段和第二段先各自翻转一下,再将整体翻转下。
代码:
拓展一
问题:如果输入是a1,a2,……an, b1,b2,……bn, c1,c2,……cn,要求输出是c1,b1,a1,c2,b2,a2,……cn,bn,an怎么办?
分析: 这个问题本质上其实还是上面的完美洗牌算法一样,我们一样还是分析其规律。
对于原数组位置i的元素,新位置是(3*i)%(3n+1)
图中所说的步骤三四五和上面的三四五大体一样,只是细节不太一样,看图就明白了。
引用:
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/10212493
http://ask.julyedu.com/question/33
http://blog.csdn.net/caopengcs/article/details/10521603
http://cs.stackexchange.com/questions/332/in-place-algorithm-for-interleaving-an-array/400#400