[算法系列之九]Karatsuba快速相乘算法

karatsuba乘法是一种快速乘法。此算法在1960年由anatolii alexeevitch karatsuba 提出，并于1962年得以发表。

此算法主要用于两个大数相乘。普通乘法的复杂度是n2，而karatsuba算法的复杂度仅为3nlog3≈3n1.585（log3是以2为底的）

karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法，并附带少量的加法操作和移位操作。

现有两个大数，x，y。

首先将x，y分别拆开成为两部分，可得x1，x0，y1，y0。他们的关系如下：

x = x1 * 10m + x0；

y = y1 * 10m + y0。其中m为正整数，m < n，且x0，y0 小于 10m。

那么 

xy    = (x1 * 10m + x0)(y1 * 10m

+ y0)

        =z2 * 102m

+ z1 * 10m + z0，其中：

z2 = x1 * y1；

z1 = x1 * y0 + x0 * y1；

z0 = x0 * y0。

此步骤共需4次乘法，但是由karatsuba改进以后仅需要3次乘法。因为：

z1 = x1 * y0+ x0 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0，

故x0 * y0 便可以由加减法得到。

所以：

  x*y = z2 *  102m +  z1 *  10m

+   z0

z2 = x1 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0 =  (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - z0

z0 = x0 * y0

recursively computer  (x1*y1)

recursively computer  (x1 + x0) * (y1 + y0)

recursively computer  (x0 * y0)

设x = 12345，y=6789，令m=3。那么有：

12345 = 12 * 1000 + 345；

6789 = 6 * 1000 + 789。

下面计算：

z2 = 12 * 6 = 72；

z0 = 345 * 789 = 272205；

z1 = (12 + 345) * (6 + 789) - z2 - z0 = 11538。

然后我们按照移位公式（xy = z2 * 102m  + z1 * 10m  +

z0）可得：

xy = 72 * 10002 + 11538 * 1000 + 272205 = 83810205。