重讀微積分（一）：極限

文章目錄

• 極限
• • 1 狀态變化
  • 2 極限語言
  • 3 序列與函數

極限

1 狀态變化

若将數學整體劃分為三類，則可概括為代數、幾何與分析。對于前兩者，我們很早就建立了直覺的理性概念，對于空間結構及其性質的研究，即為幾何；以數為核心的研究領域，即為代數。

然而

分析

這個詞則具備更多的非數學的内涵，是以初學者往往難以看透數學分析所指向的數學本質，如果簡單地望文生義，那麼會更傾向于将“分析”單純地了解為一門數學技巧，而非數學領域。

我們最先接觸數學分析時，是将其等同為微積分的。可以認為微積分是數學分析最基本的知識對象，而微積分的理論基礎建立在極限之上。是以，我們可以将極限作為分析學的根基，為此，需要去了解極限的本質，而極限本身則是一個動态的過程，例如下面這個重要極限

lim ⁡ x → 0 s i n ( x ) x = 1 \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1 x→0lim​xsin(x)​=1

對于上式，表示當x趨于0的時候，這個分式的值為1，需要注意，這裡是等于号，而非約等。當我們以初等的觀念去了解這個等式的時候，會自動附加一些特殊的約定：

• x → 0 x\to0 x→0即 x = 0 x=0 x=0
• 0是有階數的，對于 0 m 0 n \frac{0^m}{0^n} 0n0m​，當 m > n m>n m>n時，值為0， m < n m<n m<n時，值為無窮大， m = n m=n m=n時，值為常數。
• s i n 0 sin0 sin0和 0 0 0具有相同的階數，且二者相等。

通過上面的三個約定，可以很友善地去計算一切涉及到 s i n 0 sin0 sin0和 0 0 0的比值問題。當然，這種了解并不自然，随着接觸的極限表達式越來越多，我們需要更多的約定來促使極限理論趨于完整。

我們可以用一種動态的眼光去審視上面這個極限，考慮到畫圖的友善，對上式稍作改動，

lim ⁡ x → ∞ x s i n ( 1 x ) = 1 \lim_{x\to\infty}xsin(\frac{1}{x})=1 x→∞lim​xsin(x1​)=1

畫圖方法有很多，在此使用R語言，在RStudio中畫出，之是以用RStudio，是因為其界面對初學者來說更友好。輸入

> x = c(1:100)				#定義x為1到100的數組
> y = x*sin(1/x)
> plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=x·sin(1/x)')	#畫圖
           

得到

可以非常清晰地看到，當x逐漸變大的時候，y是趨于1的。這種直覺的趨勢可以讓我們更加容易地了解極限，即作為一種動态過程。這樣的了解也有助于形成對分析學的更加直覺的印象——分析是建立在狀态變化上的一種動态的數學。

我們一旦建立了這種動态的思維，就會發現原本安定本分的數學世界也發生了微妙的變化，例如，我們又将如何了解

1

這個整數。

例如無限循環小數

0.999...=1

這個反直覺的等式是否嚴格。在初等的觀點看來，可以很容易得到 10 ⋅ 0.999... = 9.999... → ( 10 − 1 ) ∗ 0.999... = 9 → 0.999... = 1 10 \cdot 0.999...=9.999...\to (10-1)*0.999...=9\to0.999...=1 10⋅0.999...=9.999...→(10−1)∗0.999...=9→0.999...=1。

進而敏銳地發現，若用一種不厭其煩的方式去求解分式 1 1 \frac{1}{1} 11​，會更加自然地得到

0.999...

但無論如何，

0.999...=1

這種表達是反直覺的，反來自于初等數學的直覺。換句話說，初等數學的直覺是存在沖突的，我們需要一個更加嚴格的有關極限的定義和表示，尤其需要建立一種可以稱之為相等的映射關系。

2 極限語言

初學數學分析的時候，很多人包括我在内，都對 ε − N \varepsilon-N ε−N這種表達方式深惡痛絕，更妙的是，不了解這種表達方式，對做題似乎影響不大。大部分人通過加深對上面的那三個約定（以及更多約定）的記憶來完成解題，而非通過加深對數學對象的了解來實作這一目的。

其實這個語句并不難了解，當我們最開始接觸無窮大這個概念的時候，是在描述自然數的個數。那時我們常說的可能是，無論你舉出一個多麼大的自然數，我都能舉出一個更大的數，是以自然數是無窮的。

那麼，現有一數列 { x n } \{x_n\} {xn​}，當n趨近于無窮大時，若 x n x_n xn​也趨于無窮大，我們理應用相同的方式來表述，即無論你舉出一個多麼大的數 E E E，我都可以找到一個 n n n，使得 x n > E x_n>E xn​>E。但和自然數不同，這個數列未必單調，也未必發散，是以需要另加上一句

對于所有m>n

，有 x m > E x_m>E xm​>E。這樣就能確定我們的這個數列 x n > E x_n>E xn​>E是發散的了。

至此，我們已經對無窮極限做出了一個規範的定義：

假定對于任意大的 E > 0 E>0 E>0，都存在正整數 N N N，使得一切的 n > N n>N n>N，不等式

∣ x n ∣ > E |x_n|>E ∣xn​∣>E成立，則稱序列 x n {x_n} xn​的極限是 ∞ \infty ∞，記作 lim ⁡ n → ∞ x n = ∞ \lim_{n\to\infty}x_n=\infty limn→∞​xn​=∞。

對于有窮極限亦然，同樣對于數列 { x n } \{x_n\} {xn​}，如果當 n → ∞ n\to\infty n→∞時， x n = a x_n=a xn​=a，則無論你拿出一個多麼大的 n n n，對于所有更大的 n n n，都使得 x n x_n xn​更接近 a a a。 ε \varepsilon ε就是對這種

更接近

的一種描述，由此而得到了對有窮極限的定義：

假定對于任意小的 ε \varepsilon ε，都存在正整數 N N N，使得對于一切的 n > N n>N n>N，不等式

∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε

則稱序列 { x n } \{x_n\} {xn​}以 a a a為極限，或者收斂于 a a a，記為 lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim_{n\to\infty}x_n=a limn→∞​xn​=a。

在這種極限觀點下，回頭再看上文所列舉的兩個式子，可能會顯得更加嚴謹。首先，對于重要極限 lim ⁡ x → ∞ x s i n ( 1 x ) = 1 \lim_{x\to\infty}xsin(\frac{1}{x})=1 limx→∞​xsin(x1​)=1，假設 ε = 0.01 \varepsilon=0.01 ε=0.01，那麼選取 N = 10 N=10 N=10,

> x = c(10:100)
> y = 1-x*sin(1/x)
> > plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=1-x·sin(1/x)')
           

其圖像為

可見，當 x > N x>N x>N時， ∣ x sin ⁡ ( 1 x ) − 1 ∣ < ε |x\sin(\frac{1}{x})-1|<\varepsilon ∣xsin(x1​)−1∣<ε。由于 ε \varepsilon ε可任意選取，故可以繼續減小 ε \varepsilon ε的值，但無論 ε \varepsilon ε小到什麼程度，我們都可以找到一個 N N N，使之滿足極限的定義式。

對于

0.999...

，我們可以構造一個數列 y = 1 − 0. 1 x y=1-0.1^x y=1−0.1x，當 x → ∞ x\to\infty x→∞時， y → 0 y\to0 y→0，也就是說，對于任意小的一個 ε \varepsilon ε，我們總能找到一個 N N N，使得 x > n x>n x>n時， 0. 1 x < ε 0.1^x<\varepsilon 0.1x<ε。

3 序列與函數

若從映射的角度去考察序列與函數，則二者最大的差別是定義域。序列是定義域為正整數的特殊函數。相比之下，微積分中大多名之為函數的映射，都定義在實數域上。進而在函數的定義域中，随便抽選出一個區間，其元素個數都是無窮多的。即對于區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]而言，隻要 a ≠ b a\not =b a​=b，則區間中的元素個數就是無窮多個。

好在我們有了極限的概念，極限在 ε − N \varepsilon-N ε−N意義上重新定義了相等，進而意味着每一個實數都包含了無窮多種初等的表示，即 1 = 0.999...0 = 0.999...1 = 0.999... n , n 1=0.999...0=0.999...1=0.999...n,n 1=0.999...0=0.999...1=0.999...n,n為任意長度的數串，中間的無窮多位，導緻末位資訊在變得毫無意義，乃至于根本不存在最後一位。

這時我們會異想天開地希望建立整數與實數的對應關系，例如将整數環映射到區間 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]内，這個區間也會出現實數區間的性質，即任意一個長度大于一的子區間，存在無窮多個元素。但衆所周知，實數的個數是比整數更高的無窮，也就是說實數區間 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]的元素個數是遠多于整數的。

但是在極限的定義下，這是一種有效的類比。在實數區間 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]裡，當 x →   0 x\to\ 0 x→ 0時， y ( x ) = y 0 y(x)=y_0 y(x)=y0​，則對任意小的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，都存在一個實數 δ \delta δ，使得區間 [ − δ , δ ] [-\delta,\delta] [−δ,δ]内的 x x x滿足 ∣ y 0 − y ( x ) ∣ < ε |y_0-y(x)|<\varepsilon ∣y0​−y(x)∣<ε。由于整數環和 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]區間存在某種映射，是以對于任意小的一個 δ \delta δ，都可以在整數映射的區間 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]中找到無窮多個 δ ′ < δ \delta'<\delta δ′<δ，進而在區間 [ − δ ′ , δ ′ ] [-\delta',\delta'] [−δ′,δ′]記憶體在同樣的極限。

當然，通過整數除以正無窮得到 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]的一個子區間，似乎在技術上是不可實作的，因為我們沒法用 ∞ \infty ∞做分母，對于表達式 n ∞ \frac{n}{\infty} ∞n​來說，當 n ≠ ∞ n\not= \infty n​=∞時，其值為0，否則為不定式，超出了我們的了解能力。

這時，我們可以用一種更動态的眼光去看待整數映射的 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]。對于任意小的一個 δ \delta δ，都可以在整數環中找到一個 N N N，進而在序列 − 1 , − ( N − 1 ) N , . . . − 1 N , 0 , 1 N . . . 1 -1,\frac{-(N-1)}{N},...\frac{-1}{N},0,\frac{1}{N}...1 −1,N−(N−1)​,...N−1​,0,N1​...1中找到 δ ′ < δ \delta'<\delta δ′<δ，其中 δ ′ = N δ ′ N \delta'=\frac{N_{\delta'}}{N} δ′=NNδ′​​，使得區間整數映射區間的子區間 [ − δ ′ , δ ′ ] [-\delta',\delta'] [−δ′,δ′]内，滿足 ∣ y 0 − y ( x ) ∣ < ε |y_0-y(x)|<\varepsilon ∣y0​−y(x)∣<ε。

如果跳出數學抽象，那麼這裡的 δ \delta δ和 δ ′ \delta' δ′都是具備現實意義的。對于沒怎麼接觸過程式設計的人來說，第一眼看到我們上面所畫出的圖，必然會想當然地認為，這張圖是連續的。他不會清楚地意識到，這隻不過是不到100個點的一種拟合。即便我們真的用無窮多個點畫出了這條曲線，但螢幕在顯示的時候仍舊是以像素的形式，這個曲線仍舊是有分立的點連接配接而成的，隻不過這些個分立的點足夠稠密，以至于可以騙過我們的眼睛。

是以，可以認為 δ \delta δ是人眼的一種分辨極限，當兩個點的距離小于 δ \delta δ時，便無法區分這兩個點是否分離。那麼，當我們畫圖的時候，隻要確定兩個點的距離 δ ′ < δ \delta'<\delta δ′<δ，就會自然地在我們的眼中形成連續的圖像。也就是說，如果我們的區間長度為 L L L，那麼隻要選取 L δ ′ \frac{L}{\delta'} δ′L​個點來畫圖，我們的視覺就會欺騙我們。

當然，我們此後會接觸更多的讓人摸不着頭腦的函數，這些函數過于奇葩，以至于上面的這些似乎完全不适用呢。。。