資料結構 最小生成樹之Prim算法

求無向網的最小生成樹的算法有兩種：Prim和Kruskal，它們都是利用最小生成樹的MST性質得到的。

Prim算法思想：

逐漸長成一棵最小生成樹。假設G=（V，E）是連通無向網，T=（V，TE）是求得的G的最小生成樹中邊的集合，U是求得的G的最小生成樹所含的頂點集。初态時，任取一個頂點u加入U，使得U=｛u｝，TE=Ø。重複下述操作：找出U和V-U之間的一條最小權的邊（u，v），将v并入U，即U=U∪｛v｝，邊（u，v）并入集合TE，即TE=TE∪｛（u，v）｝。直到V=U為止。最後得到的T=（V，TE）就是G的一棵最小生成樹。也就是說，用Prim求最小生成樹是從一個頂點開始，每次加入一條最小權的邊和對應的頂點，逐漸擴張生成的。

我們舉一個例子?來模仿一下Prim的操作流程：

（1）初始化U=｛v0｝，TE=Ø

（2）U=｛v0，v2｝，TE=｛（v0，v2）｝

（3）U=｛v0，v2，v5｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5）｝

（4）U=｛v0，v2，v5，v3｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5），（v5，v3）｝

（5）U=｛v0，v2，v5，v3，v1｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5），（v5，v3），（v2，v1）｝

（6）U=｛v0，v2，v5，v3，v1，v4｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5），（v5，v3），（v2，v1），（v2，v4）｝

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string> 
using namespace std;
const int MaxSize=100;
const int MAX=9999;      

class MGraph
 {
 string vertex[MaxSize]; //圖的頂點資訊
 int adj[MaxSize][MaxSize]; //圖的鄰接矩陣
 int vertexNum,edgeNum;
 public:
 MGraph(int n);
 int W(int i,int j);
 void InsertEdge(int i,int j,int p);
 int VexNum()
 {
 return vertexNum;
 }
 friend void Prim(MGraph &g,int u0);
 };MGraph::MGraph(int n)
 {
 vertexNum=n;
 edgeNum=0;
 memset(adj,0,sizeof(adj)); //将鄰接矩陣所有元素賦為0
 }void MGraph::InsertEdge(int i,int j,int p) //插入頂點i、j依附的邊以及該邊的權值
 {
 adj[i][j]=adj[j][i]=p;
 edgeNum++;
 }int MGraph::W(int i,int j)
 {
 return adj[i][j];
 }void Prim(MGraph &g,int u0)
 {
 int k;
 int n=g.VexNum();
 struct node
 {
 int adjvex;
 int lowcost;
 }closedge[MaxSize];
 closedge[u0].adjvex=u0;
 closedge[u0].lowcost=0;
 for(int v=0;v<n;v++)
 {
 if(v!=u0)
 {
 closedge[v].adjvex=u0;
 closedge[v].lowcost=g.W(u0,v);
 } 
 }
 closedge[u0].lowcost=0;
 for(int i=0;i<=n-2;i++)
 {
 k=0;
 int minw=MAX;
 for(int v=0;v<=n-1;v++)
 {
 if(closedge[v].lowcost>0&&closedge[v].lowcost<minw)
 {
 k=v;
 minw=closedge[v].lowcost;
 }
 }
 cout<<"("<<closedge[k].adjvex<<","<<k<<")"<<":"<<minw<<" "<<endl;
 closedge[k].lowcost=0; //頂點k并入U集
 for(int v=0;v<=n-1;v++)
 {
 if(closedge[v].lowcost!=0&&g.W(k,v)<closedge[v].lowcost)
 {
 closedge[v].lowcost=g.W(k,v);
 closedge[v].adjvex=k;
 }
 }
 }
 }int main()
 {
 struct Edge
 {
 int from,end,power;
 };int n=6;   //6個頂點 
int e=10;
Edge b[]={{0,1,6},{0,2,1},{0,3,5},{1,2,5},{1,4,3},{2,3,5},{2,4,6},{2,5,4},{3,5,2},{4,5,6}};
MGraph m(n);
for(int k=0;k<e;k++)m.InsertEdge(b[k].from,b[k].end,b[k].power);  //插入所有邊,将鄰接矩陣指派 
Prim(m,0);
return 0;      

</div>