實踐一個GNSS系統的基礎理論和工程概念

摘要

\qquad 全球導航衛星系統(GNSS)使用準确、穩定的星載時鐘和地面時鐘為全球使用者提供位置和時間服務。這些時鐘具有引力和運動頻移，它們是如此之大，以至于不仔細考慮衆多相對論影響，系統就無法正常工作。本文基于廣義相對論讨論實踐一個GNSS系統的基礎理論和工程概念，其中必須考慮的相對論原理及效應包括：光速不變性、等價原理、Sagnac效應、時間膨脹、引力頻移、以及同步相對性。

1、系統精度和引力理論

\qquad 當我們象美國全球定位系統(GPS)和中國北鬥系統(BDS)那樣，應用多顆地球衛星組成的星座，為全球近地表使用者提供全天候導航和定位服務時，要求星座中的每顆衛星連續不斷地發射調制了衛星時間和位置資訊的測距電磁信号，以便使用者接收機進行接收、解碼、測距、定位解算。

\qquad 在這些全球導航衛星系統(GNSS)中，衛星典型地沿着距離地球2~4萬公裡的近橢圓軌道運作，作用在它們上面的基本作用力是引力，主要是地球引力，其次是月球、太陽、以及太陽系其它星體的攝動力，是以引力理論是衛星軌道運動的實體基礎。迄今為止，得到普遍接受和實踐檢驗的引力理論有兩種，經典的牛頓引力論和現代的愛因斯坦廣義相對論(GRT)。對于數十米或更低精度的衛星定軌，以及精度與此相當的定時和測距，在牛頓引力論架構内就能實作。對于米級或更高精度的要求，則必須在GRT理論架構内讨論。隻有這樣，才能保證理論、模型、工程設計、實際觀測資料、以及資料處理和解釋的一緻，才能無歧義地滿足設計目标和精度要求。

\qquad 于是，如果将系統的使用者定位精度确定為優于米級，讨論和實作就必須限定在GRT理論架構之内，并且除地球的球形引力外，還應考慮地球的非球形引力攝動，以及月球、太陽的引力攝動。然而，GRT場方程的一般形式是非線性的，相當複雜，目前尚無二體和多體問題的精确解，且無法在相應引力場中建立整體坐标系。那麼，能否在保證定位精度前提下，對場方程予以簡化，使得簡化後的引力場滿足場線性疊加要求，并能在其中建立整體坐标系呢？答案是可以，且理論是現成的，即GRT場方程的後牛頓近似。

\qquad 相比于牛頓引力論，後牛頓近似的數學理論并不複雜多少。不過，為了做到真正在GRT理論架構中讨論衛星定位，必須摒棄牛頓引力論中的一些實體概念。例如：在GRT時空中，引力不再是外力，它由時空彎曲來表現；線性疊加也不再展現為引力（位）的線性疊加，而展現為表示時空彎曲程度的度規分量的線性疊加。

\qquad 就實用而言，引力場的線性化也很有價值。例如，考慮衛星的運動，由于度規張量的分量可以線性疊加，我們隻需逐個考慮地球、月球和太陽等引力源，然後将它們各自的引力場求和就可得到總的場分布。

\qquad 本文随後将着重讨論GPS系統的基本工程實踐，且隻考慮地球引力作用，盡管衛星軌道的精密定軌當然需要考慮太陽和月球的引力攝動。

• 廣義相對論–1972講稿
• 廣義相對論–從A到B

2、地球引力場的度規

\qquad 為了計算地球引力，必須求出引力場的具體表達式。GRT場方程的最簡單解是靜止的球對稱剛體周圍的引力場，例如：不考慮自轉和公轉的地球引力場。以引力體的品質中心建立球坐标系{r,θ,φ}，史瓦西(Schwarzschild)在廣義相對論建立不久（1916年）就求出了這個解，通常稱作史瓦西度規，标準形式為：

− d s 2 = − ( 1 + 2 V c 2 ) ( c d t ) 2 + ( 1 + 2 V c 2 ) − 1 d r 2 + r 2 ( d θ 2 + sin ⁡ 2 θ d φ 2 ) ( 1 ) -ds^2 = -\bigg(1+\frac{2V}{c^2}\bigg)(cdt)^2 + \bigg(1+\frac{2V}{c^2}\bigg)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin ^2\theta d\varphi^2) \qquad(1) −ds2=−(1+c22V​)(cdt)2+(1+c22V​)−1dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)(1)

其中 V V V為地球的牛頓引力位，近似表達式為：

V = − G M E r [ 1 − J 2 ( a 1 r ) 2 P 2 ( cos ⁡ θ ) ] ( 2 ) V = -\frac{GM_E}{r} \bigg[1-J_2 \Big(\frac{a_1}{r}\Big)^2P_2(\cos \theta) \bigg] \qquad(2) V=−rGME​​[1−J2​(ra1​​)2P2​(cosθ)](2)

在方程(2)中， G M E = 3.986004418 × 1 0 14 m 3 / s 2 GM_E=3.986004418×10^{14} m^3/s^2 GME​=3.986004418×1014m3/s2，為地球品質和牛頓引力常數之積； J 2 = 1.0826300 × 1 0 − 3 J_2=1.0826300×10^{-3} J2​=1.0826300×10−3，為地球的四極矩系數； a 1 = 6.3781370 × 1 0 6 m a_1=6.3781370×10^6 m a1​=6.3781370×106m，為地球赤道半徑［在本文中，這些常數都使用WGS-84 (G873) 中的數值］。角度 θ \theta θ為從自轉對稱軸向下量度的極角； P 2 P_2 P2​為2-階勒讓德多項式。在使用方程(1)時，隻需保留小量 V / c 2 V/c^2 V/c2的1-階項就能獲得足夠近似。方程(2)中的更高階極矩貢獻對GPS中的相對論影響很小。

\qquad 史瓦西度規是一種嚴格解，不具備線性疊加和建立整體坐标系的性質。下面讨論史瓦西度規的弱場近似。它指在引力場較弱的情況下，時空度規 g μ ν g_{μν} gμν​可以表示為對闵氏度規 η μ ν η_{μν} ημν​的微小偏離 h μ ν h_{μν} hμν​：

g μ ν = η μ ν + h μ ν ( ∣ h μ ν ∣ < < 1 ) ( 3 ) g_{μν} = η_{μν} + h_{μν} \quad(|h_{μν}| << 1) \qquad(3) gμν​=ημν​+hμν​(∣hμν​∣<<1)(3)

\qquad 定義星體的引力半徑（或史瓦西半徑）如下 ：

R g = 2 G M c 2 R_g = \frac{2GM}{c^2} Rg​=c22GM​

它反映了星體周圍引力場的強弱。地球和太陽的 R g R_g Rg​分别為 8.87 × 1 0 − 3 m 8.87×10^{-3}m 8.87×10−3m和 2.95 × 1 0 3 m 2.95×10^3m 2.95×103m。由此，可計算出地球和太陽表面的 ∣ h 00 = R g / R ∣ |h_{00}=R_g/R| ∣h00​=Rg​/R∣（ R R R為對應的地球和太陽半徑）分别為 1 0 − 9 10^{-9} 10−9和 1 0 − 6 10^{-6} 10−6，滿足弱場近似條件。

\qquad 在弱場近似條件下，方程(1)可近似為：

− d s 2 = − ( 1 + 2 V c 2 ) ( c d t ) 2 + ( 1 − 2 V c 2 ) d σ 2 ( 4 ) -ds^2 = -\bigg(1+\frac{2V}{c^2}\bigg)(cdt)^2 + \bigg(1-\frac{2V}{c^2}\bigg)d\sigma^2 \qquad(4) −ds2=−(1+c22V​)(cdt)2+(1−c22V​)dσ2(4)

式中： d t dt dt稱作地心坐标時(Geocentric Coordinate Time, GGT)，指遠離地球的時鐘記錄的時間； d σ d\sigma dσ是歐氏幾何長度：

d σ = ( d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin ⁡ 2 θ d φ 2 ) 1 / 2 ( 5 ) d\sigma = (dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin ^2\theta d\varphi^2)^{1/2} \qquad(5) dσ=(dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2)1/2(5)

\qquad 一般将式(4)稱作史瓦西度規的弱場近似。史瓦西度規的弱場近似和一階後牛頓近似(1PN)的表達式相同，故也稱作後牛頓近似(PN)。

3、地心慣性系的定義

\qquad 在後牛頓近似中，可以定義整體時空坐标系統，這對讨論衛星定位系統的時空背景是很友善的。以下是在一個将地球表面和衛星軌道包裹在内的環形帶上，定義這樣一個坐标系統的基本考慮。

• 首先，選擇地球作為參考物。在衛星系統涉及的空間中，忽略地球圍繞太陽的公轉和太陽在宇宙中的運動，則地心相對遙遠的星系可以看成固定不變。是以在研究地球周圍大範圍内的場分布和運動情況時，一般選擇地球作為參考物。
• 第二，分離坐标系時間軸和空間軸。地球引力場基本可看成不随時間變化，即可看成一種穩态場；進一步，忽略自某個曆史時間點之後的地球自轉，可将地球引力場看成一種靜态場。在靜态引力場中，可以将時間軸和空間軸分離，定義時間軸與空間軸互相正交的坐标系，簡稱時軸正交坐标系。
• 第三，定義空間坐标系。雖然由于地球進動和章動，地球極軸在不同時間并非固定不變，但我們可以規定：将某個時間點的極軸作為标準（稱作協定地軸），它是固定不變的；另外，地球上存在兩個（相對于太陽的）固定平面，一個是與自轉軸垂直的赤道面，另一個是圍繞太陽公轉的軌道平面——黃道面，兩個平面的交角約為23.5°。赤道面和黃道面在地球表面的交點稱作春分點Γ和秋分點Γ’，兩點的連線當然也是固定不變的。以地心為空間坐标原點O，以地球極軸為Z軸、地心到春分點的連線為X軸，再作垂直于平面XOZ的Y軸，就構成了地心天球坐标系，簡稱地心坐标系(Geocentric Reference System, GCS)。
• 第四，定義時間坐标系統。對時間的描述也須建立一個基準，這就是時間坐标軸（時間參考系統）。時間坐标軸零點的規定不是很重要，但為了保證測量高精度，時間軸上的刻度（時間尺度，秒長）必須相當精确和穩定。這是因為衛星定位中的距離測量實際上是通過測量電磁波的傳播時間實作的。在地心慣性系中使用的坐标時稱為地心坐标時。有關坐标時的定義和實作将在下一節專門介紹。

\qquad 至此，我們定義了一個整體坐标系。雖然以廣義相對論觀點看，隻有無引力且無轉動的參考系才是慣性系，地心坐标系不是嚴格意義上的慣性系。但是，我們可以采用這樣的觀點：認為運動學的基礎是闵氏時空，廣義相對論是比牛頓萬有引力定律更精确的動力學理論。這樣，在忽略地球圍繞遙遠恒星加速運動的情形下，就可以将地心坐标系近似看作慣性系（故也稱之為地心慣性系）。在此坐标系中，光沿直線傳播且在真空中速度恒定，而引力導緻的時空彎曲，将被看作一種廣義相對論效應，作為“微擾”來考慮。

4、坐标時間的定義

4.1 概述

\qquad 時間在GRT中不是絕對的，是需要測量的和可在一定條件下測量的。在定義了一個整體坐标系後，現在可以讨論史瓦西弱場條件下坐标時間的定義了。首先讨論衛星時鐘同步。

\qquad 在衛星定位系統中，衛星時間主要由衛星攜帶的原子鐘維持，輔助地由地面運作控制系統(OCS)監控和維護，後者也配備了若幹台作為參考的原子鐘。可以認為這些原子鐘最初是全同的，即放置在相同地點觀測時，它們的固有時間速率完全相同。當将它們用于系統不同目的時，一般而言，由于運動狀态和所受引力場影響的差異，它們的走速也會不同。于是，在這些時鐘能夠作為系統不同場合或時空點上的計時标準（坐标時）之前，需要對它們進行同步。事實上，我們必須在GRT架構内統一地考慮時鐘影響和時鐘同步。

\qquad 史瓦西弱場在地心慣性坐标系中的度規由方程(4)給出，它的地心坐标時的速率由位于無窮遠處的靜止原子鐘确定。我們必須接受這種時間尺度定義，并将系統中使用的所有時鐘調整到這個尺度上，因為在我們的系統中，定位和測量原理依賴于它。然而，在工程技術上直接實作地心坐标時顯然很不友善。我們注意到，與慣性系坐标時間成常比例的時間都可以作為坐标時。這就啟示我們，可以将無窮遠處時鐘記錄的時間替換為地球上某個時鐘的記錄，構造一個所謂的定位系統标準時，并使其成為坐标時。我們需要選擇一個便于觀測和管理的地方放置它，按照度規方程(4)所揭示的時鐘影響規律調整坐标時尺度，得到新時間尺度下的度規方程，以及調整參考時鐘的走速來獲得與無窮遠處靜止原子鐘的等價。這樣，相比于度規方程(4) +無窮遠處靜止原子鐘的組合，新度規方程+參考時鐘的組合将在時空描述上保持一緻。

\qquad 具體實作衛星定位系統時，通常将參考時鐘選擇為靜止放置在地球大地水準面上。一方面，這是很友善的，因為可以認為，GRT對于位于大地水準面上不同位置的時鐘的綜合影響是相同的；于是大地水準面可以作為一個統一的和視野開闊的時鐘參考面。另一方面，它引入了附加因素，由于地球相對地心慣性系有自轉，這種運動也會對參考時鐘的走速産生影響，因而在确定新坐标時尺度時，必須加以考慮。

\qquad 進一步，對于衛星原子鐘，為了讓它們能夠按照新時間尺度訓示坐标時間，需要根據新度規方程所表達的固有時間和坐标時間之間的關系，調整它們的走速。調整後的衛星原子鐘，在地面觀測者看來，走速與地面參考原子鐘完全一緻，對前者的跳動進行計數就形成了衛星的時間，經過時間原點校準後就形成了真正可用的衛星坐标時。

4.2 地球系的度規

\qquad 對于度規表達式(4)，借助一個旋轉變換，可以變換到一個旋轉的地心地固坐标系統(ECEF coordinate system) 中。使用球極坐标，這個變換為：

t = t ′ , r = r ′ , θ = θ ′ , ϕ = ϕ ′ + ω E t ′ t = t^{\prime}, r = r^{\prime}, \theta = \theta^{\prime}, \phi = \phi^{\prime} + \omega_E t^{\prime} t=t′,r=r′,θ=θ′,ϕ=ϕ′+ωE​t′

在進行變換時，隻保留 1 / c 2 1/c^2 1/c2量級的項，則不變間隔為：

− d s 2 = − [ 1 + 2 V c 2 − ( ω E r ′ sin ⁡ θ ′ c ) 2 ] ( c d t ′ ) 2 + 2 ω E r ′ 2 sin ⁡ 2 θ ′ d φ ′ d t ′ + ( 1 − 2 V c 2 ) ( d r ′ 2 + r ′ 2 d θ ′ 2 + r ′ 2 sin ⁡ 2 θ ′ d φ 2 ) ( 6 ) -ds^2 = - \bigg [1+\frac{2V}{c^2} - \Big (\frac{\omega_E r^{\prime} \sin \theta^{\prime}}{c}\Big)^2\bigg](cd t^{\prime})^2+ 2\omega_E r^{\prime2} \sin^2\theta^{\prime} d\varphi ^{\prime} dt^{\prime} \newline\qquad+ \Big (1-\frac{2V}{c^2}\Big) (dr^{\prime2} + r^{\prime2} d\theta^{\prime2} + r^{\prime2} \sin^2\theta^{\prime} d\varphi ^2) \qquad(6) −ds2=−[1+c22V​−(cωE​r′sinθ′​)2](cdt′)2+2ωE​r′2sin2θ′dφ′dt′+(1−c22V​)(dr′2+r′2dθ′2+r′2sin2θ′dφ2)(6)

在這個旋轉架構中，度規張量分量 g 00 ′ g^\prime_{00} g00′​為：

g 00 ′ = − [ 1 + 2 V c 2 − ( ω E r ′ sin ⁡ θ ′ c ) 2 ] = − ( 1 + 2 Φ c 2 ) ( 7 ) g^\prime_{00} = - \bigg [1+\frac{2V}{c^2} - \Big (\frac{\omega_E r^{\prime} \sin \theta^{\prime}}{c}\Big)^2\bigg] = - \Big (1+\frac{2\Phi}{c^2}\Big) \qquad(7) g00′​=−[1+c22V​−(cωE​r′sinθ′​)2]=−(1+c22Φ​)(7)

其中 Φ \Phi Φ為旋轉架構中的有效引力位，它包括地球的靜态引力位以及一個向心位項。

4.3 地球上的靜止時鐘和大地水準面

\qquad 對于地球上的一台靜止時鐘，方程(6)簡化為：

− d s 2 = − [ 1 + 2 V c 2 − ( ω E r ′ sin ⁡ θ ′ c ) 2 ] ( c d t ′ ) 2 ( 8 ) -ds^2 = - \bigg [1+\frac{2V}{c^2} - \big (\frac{\omega_E r^{\prime} \sin \theta^{\prime}}{c}\big)^2\bigg] (cd t^{\prime})^2 \qquad(8) −ds2=−[1+c22V​−(cωE​r′sinθ′​)2](cdt′)2(8)

\qquad 在方程(4)和(6)中，坐标時間的速率由無窮遠處的靜止原子鐘确定。而在衛星定位系統具體實作中，并不存在這樣的便于參考時鐘放置和管理的靜止空間地點，是以實際的參考時鐘一般都靜止放置在地球大地水準面上。地球大地水準面上的有效引力位為一常數 Φ 0 \Phi_0 Φ0​，數值可以在赤道處确定，那裡的 θ ′ = π / 2 \theta^\prime = \pi/2 θ′=π/2， r ′ = a 1 r^\prime = a_1 r′=a1​，是以由方程(7)和方程(8)，可得：

Φ 0 c 2 = − G M E a 1 c 2 − G M E J 2 2 a 1 c 2 − ω E 2 a 1 2 2 c 2 = − 6.95348 × 1 0 − 10 − 3.764 × 1 0 − 13 − 1.203 × 1 0 − 12 = − 6.96927 × 1 0 − 10 ( 9 ) \frac{\Phi_0}{c^2} = - \frac{GM_E}{a_1c^2} - \frac{GM_EJ_2}{2a_1c^2}- \frac{\omega_E ^2 a_1^2}{2c^2 } \newline\qquad = -6.95348×10^{-10} - 3.764×10^{-13} - 1.203×10^{-12} \newline\qquad = -6.96927×10^{-10} \qquad(9) c2Φ0​​=−a1​c2GME​​−2a1​c2GME​J2​​−2c2ωE2​a12​​=−6.95348×10−10−3.764×10−13−1.203×10−12=−6.96927×10−10(9)

于是，對于這個有效位，存在三部分不同貢獻：地球品質引起的簡單部分 1 / r 1/r 1/r；來自四極位(quadrupole potential)的較複雜部分；以及由地球自轉引起的向心位項。引力位的主要貢獻來自地球品質；向心位校正約小500倍；四極位校正約小2000倍。這些貢獻在上面這個方程中之是以被 c 2 c^2 c2除，是因為它更容易表達位于大地水準面上的一台靜止原子鐘的時間增量。在國際天文聯合會(International Astronomical Union)的最近決議中，已經采納數值 Φ 0 / c 2 = − 6.969290134 × 1 0 − 10 \Phi_0/c^2 = -6.969290134×10^{-10} Φ0​/c2=−6.969290134×10−10定義“大地時 (Terrestrial Time)”标度(TT)。方程(9)與這個定義的一緻性在GPS所需的精度之内。

\qquad 根據方程(6)，對于位于大地水準面上的時鐘：

d τ = d s c = d t ′ ( 1 + Φ 0 c 2 ) ( 10 ) d\tau = \frac{ds}{c} =dt^\prime\Big (1+\frac{\Phi_0}{c^2}\Big) \qquad(10) dτ=cds​=dt′(1+c2Φ0​​)(10)

與靜止于無窮遠處的時鐘相比，靜止于這個旋轉大地水準面上的時鐘的運轉要慢約 1 0 10 10^{10} 1010分之7。注意這些影響的總和比一台高性能铯時鐘的相對頻率穩定性要大10,000倍左右。

\qquad 大地水準面上的靜止觀察者根據原子鐘的固有速率定義時間機關。在方程(10)中， Φ 0 \Phi_0 Φ0​為一常數。在方程(10)的左邊， d τ d\tau dτ為流逝在一台靜止标準時鐘上的固有時間的增量，用流逝的坐标時間 d t ′ dt^\prime dt′表示。是以，出現了一個非常有用的結果，即靜止在旋轉地球的大地水準面上的理想時鐘都以相同速率跳動。這是合理的，因為地球表面是旋轉架構中的一個引力等位面。（它對于實際大地水準面是也正确的， 而且可以構造一個模型。）考慮位于不同緯度上的兩台時鐘，由于地球扁率，更北的那個更接近地心，是以會紅移得更多。不過，由于它同時更接近于自轉軸，運動得更慢，是以受到更小的2-階多普勒頻移的影響。這個組合影響在大地水準面上完全抵消了。

4.4 定義新坐标時間尺度

\qquad 由于大地水準面上的所有靜止時鐘以相同速率跳動，利用這一事實重新定義坐标時間就具有優勢。在方程(4)中，坐标時間速率用無窮遠處的靜止标準時鐘定義。取而代之的是，這裡要用地球表面上的靜止标準時鐘定義坐标時間速率。為此，使用一個常速率變換定義一種新坐标時間 t ′ ′ t^{\prime\prime} t′′：

t ′ ′ = ( 1 + Φ 0 c 2 ) t ′ = ( 1 + Φ 0 c 2 ) t ( 11 ) t^{\prime\prime} = \Big (1+\frac{\Phi_0}{c^2}\Big)t^\prime = \Big (1+\frac{\Phi_0}{c^2}\Big) t \qquad(11) t′′=(1+c2Φ0​​)t′=(1+c2Φ0​​)t(11)

校正量約為 1 0 10 10^{10} 1010分之7，參見方程(9)。

\qquad 在進行了這個時間尺度改變後，地固旋轉架構中的方程(6)變成：

− d s 2 = − [ 1 + 2 ( Φ − Φ 0 ) c 2 ] ( c d t ′ ′ ) 2 + 2 ω E r ′ 2 sin ⁡ 2 θ ′ d φ ′ d t ′ ′ + ( 1 − 2 V c 2 ) ( d r ′ 2 + r ′ 2 d θ ′ 2 + r ′ 2 sin ⁡ 2 θ ′ d φ ′ 2 ) ( 12 ) -ds^2 = - \bigg [1+\frac{2(\Phi-\Phi_0)}{c^2}\bigg] (cdt^{\prime\prime})^2 + 2\omega_E r^{\prime2} \sin^2\theta^\prime d\varphi ^\prime dt^{\prime\prime} \newline\qquad+ \Big (1-\frac{2V}{c^2}\Big) (dr^{\prime2} + r^{\prime2} d\theta^{\prime2} + r^{\prime2} \sin^2\theta^{\prime} d\varphi ^{\prime2}) \qquad(12) −ds2=−[1+c22(Φ−Φ0​)​](cdt′′)2+2ωE​r′2sin2θ′dφ′dt′′+(1−c22V​)(dr′2+r′2dθ′2+r′2sin2θ′dφ′2)(12)

其中隻保留了 c − 2 c^{-2} c−2量級的項。這一時間标度在（不旋轉）地心慣性系度規［方程(4)］中給出的表達式為：

− d s 2 = − [ 1 + 2 ( V − Φ 0 ) c 2 ] ( c d t ′ ′ ) 2 + ( 1 − 2 V c 2 ) ( d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin ⁡ 2 θ d φ 2 ) ( 13 ) -ds^2 = - \bigg [1+\frac{2(V-\Phi_0)}{c^2}\bigg] (cdt^{\prime\prime})^2 + \Big (1-\frac{2V}{c^2}\Big)(dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi ^2) \qquad(13) −ds2=−[1+c22(V−Φ0​)​](cdt′′)2+(1−c22V​)(dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2)(13)

方程(12)和(13)意味着：在靜止于大地水準面（其中 Φ = Φ 0 \Phi = \Phi_0 Φ=Φ0​）的時鐘上，所流逝的固有時間與坐标時間 t ′ ′ t^{\prime\prime} t′′完全相同。大地水準面上的靜止理想時鐘為我們提供了所有的标準參考時鐘，以上是表達這一事實的正确方式。

5、坐标時間的實作

\qquad 現在可以介紹在GPS之内進行時鐘同步這個實際問題了。本文剩餘部分将省略 t ′ ′ t^{\prime\prime} t′′上的 ′ ′ ^{\prime\prime} ′′而隻使用符号 t t t，并且認為這個時間機關參考到旋轉大地水準面上的UTC (USNO)，而同步是在一個底層局部慣性參考架構中建立的。由此，度規方程(13)可以寫成：

− d s 2 = − [ 1 + 2 ( V − Φ 0 ) c 2 ] ( c d t ) 2 + ( 1 − 2 V c 2 ) ( d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin ⁡ 2 θ d φ 2 ) ( 14 ) -ds^2 = - \bigg [1+\frac{2(V-\Phi_0)}{c^2}\bigg] (cdt)^2 + \Big (1-\frac{2V}{c^2}\Big)(dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi ^2) \qquad(14) −ds2=−[1+c22(V−Φ0​)​](cdt)2+(1−c22V​)(dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2)(14)

內插補點 ( V − Φ 0 ) (V-\Phi_0) (V−Φ0​)出現在方程(14)的第1項中的原因是，在表達方程(14)的底層地心局部慣性坐标系(ECI)中，時間機關是通過在一個空間相關引力場中移動時鐘來确定的。

\qquad 很顯然，方程(14)包含時間膨脹［運動時鐘的表觀變慢］和引力引起的頻率移動。由于這些效應對在一台原子鐘上淨流逝的固有時間有影響，是以不能簡單地将在軌GPS時鐘上流逝的固有時間用于從一個發射事件到另一個事件的時間傳遞上。必須考慮與路徑有關的效應。

\qquad 另一方面，按照廣義相對論，方程(14)中的坐标時間變量t在一個足以覆寫地球和GPS衛星星座的坐标帶中是有效的。方程(14)是近地場方程的一個近似解，它包括由地球品質分布産生的引力場。在這個局部坐标帶中，坐标時間是單值的。［當然，它不是唯一的，因為仍然存在度規自由度，但方程(14)代表了一種相當簡單和合理的度規選擇。］是以，自然會建議使用方程(14)和(12)的坐标時間變量t作為在地球附近進行同步的基礎。

\qquad 為了了解對于一台慢速移動原子鐘這将如何工作，求解方程(14)中的 d t dt dt如下。首先從所有右端項中分解出因子 ( c d t ) 2 (cdt)^2 (cdt)2：

− d s 2 = − [ 1 + 2 ( V − Φ 0 ) c 2 − ( 1 − 2 V c 2 ) d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin ⁡ 2 θ d φ 2 ( c d t ) 2 ] ( c d t ) 2 ( 15 ) -ds^2 = - \bigg [1+\frac{2(V-\Phi_0)}{c^2}- \Big(1-\frac{2V}{c^2}\Big) \frac{ dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi ^2}{(cdt)^2} \bigg] (cdt)^2 \qquad(15) −ds2=−[1+c22(V−Φ0​)​−(1−c22V​)(cdt)2dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2​](cdt)2(15)

通過在ECI坐标系中将速率表示為：

v 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin ⁡ 2 θ d φ 2 d t 2 ( 16 ) v^2 = \frac{ dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi ^2}{dt^2} \qquad(16) v2=dt2dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2​(16)

隻需保持 c − 2 c^{-2} c−2量級的項，使得可以忽略改變速率項的位勢項。求平方根後就可得到移動時鐘上的固有時間增量的近似值：

d τ = d s c = [ 1 + ( V − Φ 0 ) c 2 − v 2 2 c 2 ] d t ( 17 ) d\tau = \frac{ds}{c} = \bigg [1+\frac{(V-\Phi_0)}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2}\bigg]dt \qquad(17) dτ=cds​=[1+c2(V−Φ0​)​−2c2v2​]dt(17)

最後，解出坐标時間增量并沿原子鐘路徑進行積分，得到：

∫ p a t h d t = ∫ p a t h d τ [ 1 − ( V − Φ 0 ) c 2 + v 2 2 c 2 ] ( 18 ) \int_{path}dt = \int_{path}d\tau\bigg [1-\frac{(V-\Phi_0)}{c^2} + \frac{v^2}{2c^2}\bigg] \qquad(18) ∫path​dt=∫path​dτ[1−c2(V−Φ0​)​+2c2v2​](18)

\qquad 時鐘上的相對論影響，由方程(17)給出，用方程(18)校正。

\qquad 暫且假設不存在引力場。于是可以設想底層存在一個不旋轉的參考架構，即一個局部慣性架構，它不與地球自轉相連，但原點位于地球中心。在這個不旋轉架構中，引進一組可在任何地方利用的假想标準時鐘，它們都使用愛因斯坦同步過程進行了同步，并以一緻的速率運作，以便同步一直保持。這些時鐘顯示坐标時間 t t t。接着，在自轉地球中引入一組環繞它分布的标準時鐘，可能來回移動。人們根據每台标準時鐘的已知位置和運動，對它們施加一組由方程(18)給出的校正。這就在這個地固旋轉系統中産生了一個“坐标時鐘時間”。這個時間使得：在每個瞬間，坐标時鐘都與本地慣性架構中的一台假想的靜止原子鐘相一緻，它的位置與這個瞬間的地基标準時鐘相重合。是以，坐标時間等價于用靜止于這個局部慣性架構中的标準時鐘所測量的時間。而當考慮地球引起的引力場時，情形隻略微複雜些，但仍然存在一個坐标時間，它可以通過計算引力紅移校正［由方程(18)的第1個校正項給出］來建立。

6、衛星時鐘的相對論影響

\qquad 對于衛星中的原子鐘，将運動考慮為在局部ECI架構中觀察是最友善的。這樣，Sagnac效應就變得不相關的了。當然，在一台移動地基接收機上的Sagnac效應仍然需要考慮。引力頻移和2-階多普勒頻移必須一同考慮。在本節中，将使用流逝的坐标時間表達式，方程(18), 仔細讨論這兩項相對論影響。方程(18)中的 Φ 0 \Phi_0 Φ0​項包括了将地面靜止時鐘作為參考所需的時标校正。在 Φ 0 \Phi_0 Φ0​上，四極位貢獻是方程(18)中的 − G M E J 2 / 2 a 1 -GM_EJ_2/2a_1 −GME​J2​/2a1​，它貢獻了 − 3.76 × 1 0 − 13 -3.76×10^{-13} −3.76×10−13的相對速率校正，這個影響必須在GPS中予以考慮。另外， V V V是在衛星位置處的地球引力位。幸運地，地球四極位場随距離迅速衰減，它對衛星飛行器(SV) 上時鐘頻率的影響約為 1 0 14 10^{14} 1014分之一，這一影響至今都有意忽略了。

6.1 衛星軌道

\qquad 假設衛星沿開普勒軌道運作，這對GPS衛星是一個好近似，對低高度衛星則不是。這種假設産生了能夠簡化方程(18)的兩個關系。由于忽略了地球位的四極（及其更高的多極）部分，在方程(18)中，位 V = − G M E / r V=-GM_E/r V=−GME​/r。這個表達式允許我們應用衛星的牛頓軌道力學知識來估計。将衛星軌道的半長軸和偏心率分别用 a a a和 e e e表示。于是，軌道方程的解，即從地球中心到衛星的距離，在ECI坐标中為：

r = a 1 − e 2 1 + e cos ⁡ f ( 19 ) r = a\frac{1-e^2}{1+e\cos f} \qquad(19) r=a1+ecosf1−e2​(19)

角 f f f稱為真近點角，從近地點沿着軌道到衛星的瞬時位置來量度。真近點角可以用另一個稱作偏近點角的量 E E E來計算，關系式是：

cos ⁡ f = cos ⁡ E − e 1 − e cos ⁡ E sin ⁡ f = 1 − e 2 sin ⁡ E 1 − e cos ⁡ E ( 20 ) \cos f = \frac{\cos E -e}{1-e\cos E} \newline \sin f = \sqrt{1-e^2}\frac{\sin E }{1-e\cos E} \qquad(20) cosf=1−ecosEcosE−e​sinf=1−e2

​1−ecosEsinE​(20)

是以，表示徑向距離 r r r的另一種方式為：

r = a ( 1 − e cos ⁡ E ) ( 21 ) r = a(1-e\cos E) \qquad(21) r=a(1−ecosE)(21)

為了得到偏近點角 E E E，必須求解以下超越方程：

E – e sin ⁡ E = G M E a 3 ( t − t p ) ( 22 ) E – e\sin E = \sqrt{\frac{GM_E }{a^3}}(t - t_p) \qquad(22) E–esinE=a3GME​​

​(t−tp​)(22)

其中 t p t_p tp​為通過近地點時的坐标時間。

\qquad 在牛頓力學中，引力場為一保守場且總能量守恒。使用以上開普勒軌道方程，可以證明每機關衛星品質的總能量為：

1 2 v 2 − G M E r = − G M E 2 a ( 23 ) \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM_E }{r} = - \frac{GM_E }{2a} \qquad(23) 21​v2−rGME​​=−2aGME​​(23)

将方程(23)的 v 2 v^2 v2用于方程(18)，可得到在衛星時鐘上流逝的坐标時間的以下表達式：

Δ t = ∫ p a t h d τ [ 1 + 3 G M E 2 a c 2 + Φ 0 c 2 − 2 G M E c 2 ( 1 a − 1 r ) ] ( 24 ) \Delta t = \int_{path}d\tau\bigg [1+\frac{3GM_E}{2ac^2} + \frac{\Phi_0}{c^2}- \frac{2GM_E}{c^2}\Big (\frac{1}{a} - \frac{1}{r} \Big)\bigg] \qquad(24) Δt=∫path​dτ[1+2ac23GME​​+c2Φ0​​−c22GME​​(a1​−r1​)](24)

方程(24)的前兩個常速率校正項的值為：

3 G M E 2 a c 2 + Φ 0 c 2 = + 2.5046 × 1 0 − 10 − 6.9693 × 1 0 − 10 = − 4.4647 × 1 0 − 10 ( 25 ) \frac{3GM_E}{2ac^2} + \frac{\Phi_0}{c^2} = +2.5046×10^{-10} - 6.9693×10^{-10} = - 4.4647×10^{-10} \qquad(25) 2ac23GME​​+c2Φ0​​=+2.5046×10−10−6.9693×10−10=−4.4647×10−10(25)

結果中的負号意味軌道中的标準時鐘跳動得太快，主要原因是它的頻率被引力藍移了。為了讓衛星時鐘，在位于大地水準面上的一位觀察者看來，以事先計劃好的10.23 MHz頻率跳動，需要将衛星時鐘頻率調低，使得固有頻率為：

[ 1 − 4.4647 × 1 0 − 10 ] × 10.23 M H z = 10.22999999543 M H z ( 26 ) [1−4.4647×10^{-10}]×10.23 MHz = 10.229 999 995 43 MHz \qquad(26) [1−4.4647×10−10]×10.23MHz=10.22999999543MHz(26)

這個調節在時鐘被放入軌道之前在地面上完成。

圖1 一台時鐘在一個圓形軌道中的淨相對頻移

\qquad 圖1顯示了一台原子鐘在一個圓形軌道中的淨相對頻率移動，它實質上是将方程(25)左端作為軌道半徑 a a a的函數（但變了一個符号）畫出的。5個相對論影響源對圖1有貢獻。針對幾種具有特殊意義的不同軌道半徑，突出了它們的影響。對于諸如航天飛機這樣的近地軌道器，速度很大，時間膨脹導緻的減慢成為支配性影響；而對于一台GPS衛星時鐘，引力藍移更大。影響在 a a a約為 9545 k m 9545 km 9545km處抵消。全球導航衛星系統GALILEO的軌道半徑接近 30 , 000 k m 30,000 km 30,000km。

\qquad 關于這個頻率偏移有個有趣的故事。當NTS-2衛星發射時（1977年6月23日），它裝載了第1台計劃放入軌道的铯原子鐘。人們認識到在軌運作的時鐘需要完成一項相對論校正，但尚不能确定它的大小和符号。當然，确實仍有一些人懷疑相對論影響的真實性，懷疑是否需要将它們組合進去！衛星時鐘系統添加了一台頻率合成器，以便衛星發射後，如果時鐘速率在其最終軌道上事實上被廣義相對論所預測，就開啟這個合成器，将時鐘調到運轉所需的坐标速率上。NTS-2上的铯時鐘被開啟後，運轉了約20天時間，對它的時鐘速率進行了測量，之後才開啟了那台合成器。與地面時鐘相比，那個期間測得的頻移為 1 0 12 10^{12} 1012分之+442.5，而廣義相對論預測的為 1 0 12 10^{12} 1012分之+446.5。它們之間的差異很好地落在在軌運作時鐘的準确度範圍之内。是以，對于一台工作在4.2倍地球半徑軌道上的時鐘，這個結果給出了2-階多普勒和引力頻移組合影響約99%的置信度驗證。

\qquad 附加的微小頻移來自時鐘漂移、環境變化、以及其它無法避免的影響。例如：無法将衛星按精确設計的期望半長軸發射到軌道上。導航電文為使用者提供了衛星時鐘頻率校正項，以便在實行校正時，讓時鐘頻率盡可能地接近美國海軍天文台的參考時鐘系綜 。由于這些影響，現在已經難以用GPS來測量相對論頻移。

\qquad 在最初配置GPS衛星時，規定的出廠頻率偏移有點誤差，因為在一個評估階段中不經意地略去了地球向心力位的重要影響［參見方程(18)］。盡管GPS管理者在1980年代初就意識到了這個誤差，但8年後才修改系統規範以反映正确的計算。随着對GPS中衆多誤差源了解的慢慢改善，最終使得加入這個正确的相對論計算變得富有意義。實踐中通常不将這種偏移加入铷時鐘，因為它們在發射期間會經曆無法預測的頻率跳躍。取而代之的是，當這種時鐘被放置到軌道之後，測量它們的頻率并将所需的實際頻率校正值加到作為導航電文一部分傳輸的時鐘校正多項式中。

6.2 偏心率校正

\qquad 方程(24)的最後一項可以使用以下表達式準确地積分，這個表達式通過對方程(22)微分得到，而積分針對偏近點角随時間的變化率進行：

d E d t = G M E / a 3 1 − e cos ⁡ E ( 27 ) \frac{dE}{dt} = \frac{\sqrt{GM_E/a^3}}{1-e\cos E} \qquad(27) dtdE​=1−ecosEGME​/a3

​​(27)

\qquad 還有，由于正在計算相對論校正， d s / c ≈ d t ds/c≈dt ds/c≈dt，是以

∫ [ 2 G M E c 2 ( 1 r − 1 a ) ] d s c ≈ 2 G M E c 2 ∫ ( 1 r − 1 a ) d t = 2 G M E a c 2 ∫ d t ( e cos ⁡ E 1 − e cos ⁡ E ) = 2 G M E a c 2 e ( sin ⁡ E – sin ⁡ E 0 ) = + 2 G M E a c 2 e sin ⁡ E + c o n s t a n t ( 28 ) \int \bigg [\frac{2GM_E}{c^2}\Big (\frac{1}{r} - \frac{1}{a} \Big)\bigg ] \frac{ds}{c} ≈ \frac{2GM_E}{c^2} \int \Big (\frac{1}{r} - \frac{1}{a} \Big) dt \newline = \frac{2GM_E}{ac^2} \int dt \bigg (\frac{e \cos E}{1 - e \cos E } \bigg) \newline = \frac{2\sqrt{GM_E a}}{c^2} e (\sin E – \sin E_0) \newline = +\frac{2\sqrt{GM_E a}}{c^2} e \sin E + constant \qquad(28) ∫[c22GME​​(r1​−a1​)]cds​≈c22GME​​∫(r1​−a1​)dt=ac22GME​​∫dt(1−ecosEecosE​)=c22GME​a

​​e(sinE–sinE0​)=+c22GME​a

​​esinE+constant(28)

方程(28)中的積分常數可以去掉，因為在時鐘校正模型的卡爾曼濾波器計算中，這個項與其它時鐘偏移影響歸并在一起了。這樣，由相對論影響産生的、随時間變化的時鐘偏移淨校正為：

Δ t r = + 4.4428 × 1 0 − 10 e a sin ⁡ E s m ( 29 ) \Delta t_r = +4.4428×10^{-10} e\sqrt{a} \sin E \frac{s}{\sqrt{m}} \qquad(29) Δtr​=+4.4428×10−10ea

​sinEm

​s​(29)

這項校正（在GPS中）需要由接收機來完成，它針對的是衛星發射時的坐标時間。對于一顆偏心率 e = 0.01 e=0.01 e=0.01的衛星，這一項的最大值約為23 ns。由于軌道偏心率影響，引力頻移和2-階多普勒頻移會變化，于是它們在衛星上産生的組合影響也會變化，是以需要這個校正。

\qquad 方程(29)可以無近似地表示為另一種形式：

Δ t r = + 2 r ⋅ v c 2 ( 30 ) \Delta t_r = +\frac{2\mathbf{r\cdot v}}{\sqrt{c^2}} \qquad(30) Δtr​=+c2

​2r⋅v​(30)

其中 r \mathbf{r} r和 v \mathbf{v} v分别為衛星在信号發射瞬間的位置和速率。它可以應用衛星開普勒軌道表達式(20, 21, 22)來證明。這後一種形式通常應用于接收機軟體實作中。

\qquad 在一個導航系統中，完全沒有必要讓偏心率校正由接收機來完成。在GLONASS衛星系統中，似乎确實是在電文廣播之前施加這一時鐘校正的。在曆史上，它是由于在早期GPS衛星飛行器中可用計算能力很弱而在GPS中規定的。實際上，将這個校正組合到衛星的時間廣播中更有意義。這樣，廣播時間事件将大大接近于坐标時間，即GPS時間。然而，由于大量接收機生産商在其産品中的投資，現在來逆轉這個決定可能太晚了。不過，它确實意味着需要接收機加入這個相對論校正。是以，如果能從一台接收機獲得原始形式的适當資料，人們就可以測量這個效應。

7、衛星定位的僞距測量方程

\qquad 度規方程(4)是衛星定位測量方程的基礎。在衛星定位系統中，衛星通過發射電磁信号傳播資訊，是以可将度規方程(4)設定為 d s 2 = 0 ds^2=0 ds2=0，來求解相對于路徑增量 d σ d\sigma dσ的坐标時間增量：

d t = 1 c ( 1 − 2 V c 2 ) d σ ( 31 ) dt = \frac{1}{c}\bigg(1-\frac{2V}{c^2}\bigg) d\sigma \qquad(31) dt=c1​(1−c22V​)dσ(31)

\qquad 由上式可知，電磁信号傳播的坐标速度為

v = d σ d t ≈ c ( 1 + 2 V c 2 ) ( 32 ) v = \frac{d\sigma }{dt}≈c \bigg(1+\frac{2V}{c^2}\bigg) \qquad(32) v=dtdσ​≈c(1+c22V​)(32)

很明顯 v < c v < c v<c。

\qquad 假設有4顆在軌運作衛星，它們的時間事先經過了同步，它們在位置 r j \mathbf{r}_j rj​上和時刻 t j t_j tj​時發射了清晰可辨的電磁信号，其中： j = 1 , 2 , 3 , 4 j = 1, 2, 3, 4 j=1,2,3,4為衛星索引值。假設一台接收機在位置 r \mathbf{r} r上和時刻 t t t時接收了這4個電磁信号，則它可以将衛星時空坐标 ( t j , r j ) (t_j, \mathbf{r}_j) (tj​,rj​)作為已知量，将自己相對衛星的距離作為實際觀測量 ρ j \rho_j ρj​，而将自己的時空坐标 ( t , r ) (t, \mathbf{r}) (t,r)作為待解量，建立起由4個方程組成的方程組，來求解 ( t , r ) (t, \mathbf{r}) (t,r)。這就是衛星定位中确定使用者位置和傳遞時間資訊的原理。由此可見，确定每個電磁信号對于接收機和對應衛星之間的時空關系（測量方程）是衛星定位的前提。

\qquad 下面從電磁信号傳播方程(31)開始，讨論針對一顆衛星的測量方程。

\qquad 假設在一個闵氏平直時空坐标中，位于P點的一顆衛星在時刻 t P t_P tP​發射電磁信号，位于Q點的接收機在時刻 t Q t_Q tQ​接收這個電磁信号，于是這個電磁信号從P點到Q點的傳播時間 Δ t M \Delta t_M ΔtM​為：

Δ t M = t Q − t P = 1 c ∫ P Q ( 1 − 2 Φ c 2 ) d σ ( 33 ) \Delta t_M = t_Q - t_P = \frac{1}{c} \int_P^Q\Big(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Big) d\sigma \qquad(33) ΔtM​=tQ​−tP​=c1​∫PQ​(1−c22Φ​)dσ(33)

這就是衛星定位的基本測量方程，它沿電磁信号傳播的實際路徑（非直線路徑）進行積分，是以是嚴格的。

\qquad 由式(33)知，相對于無引力的平直時空，引力場中的電磁信号傳播時間存在延遲。它由兩個因素決定，電磁信号傳播路徑的彎曲和引力對電磁信号的坐标速度的影響；在無引力時電磁信号的路徑為直線，速度為 c c c；在引力場中路徑發生彎曲，速度 v < c v < c v<c。

\qquad 電磁信号傳播路徑的彎曲情況與引力場的具體分布有關，對于式(33)而言，其中的積分路徑可能很複雜，而作為實際測量方程，必須得到顯式表達式。值得慶幸的是，對于式(33)，相比于直線路徑的積分結果，路徑彎曲引入的誤差小3~4個量級，是以在地球弱場和厘米級定位精度條件下，允許将電磁信号傳播路徑簡化為直線路徑。

\qquad 從發射機P到接收機Q，沿直線路徑對式(33)積分，給出的結果為：

Δ t M ≈ Δ t + Δ t d e l a y = σ c + 2 G M E c 3 ln ⁡ [ r 1 + r 2 + σ r 1 + r 2 − σ ] ( 34 ) \Delta t_M ≈\Delta t + \Delta t_{delay} = \frac{\sigma }{c} + \frac{2GM_E}{c^3} \ln \bigg[\frac{r_1+ r_2 + \sigma}{ r_1+ r_2 - \sigma }\bigg] \qquad(34) ΔtM​≈Δt+Δtdelay​=cσ​+c32GME​​ln[r1​+r2​−σr1​+r2​+σ​](34)

其中 r 1 r_1 r1​和 r 2 r_2 r2​為發射機和接收機相對地球中心的距離。式(34)右端的第一項

Δ t = σ c ( 35 ) \Delta t = \frac{\sigma }{c} \qquad(35) Δt=cσ​(35)

是在實際定位解算中使用的、闵氏平直時空的測量方程。式(34)右端的第二項

Δ t d e l a y = 2 G M E c 3 ln ⁡ [ r 1 + r 2 + σ r 1 + r 2 − σ ] ( 36 ) \Delta t_{delay} = \frac{2GM_E}{c^3} \ln \bigg[\frac{r_1+ r_2 + \sigma}{ r_1+ r_2 - \sigma }\bigg] \qquad(36) Δtdelay​=c32GME​​ln[r1​+r2​−σr1​+r2​+σ​](36)

是對電磁信号引力延遲（Shapiro時間延遲）的近似表達。從闵氏平直時空看，接收機測量的是電磁信号的實際傳播時間 Δ t M \Delta t_M ΔtM​，是以為了使用闵氏時空的測量方程(35)，理論上必須從 Δ t M \Delta t_M ΔtM​中校正掉 Δ t d e l a y \Delta t_{delay} Δtdelay​項。實踐中，對于這個從衛星到地球的路徑，淨效應小于2 cm，對于大多數應用而言可以忽略。

8、結語

\qquad 衛星定位工程的基本任務就是定義和實踐這樣一個星座（坐标标架）以及維持整個星座的連續正常運轉，這是保證衛星時空坐标精度的基礎。通過将各顆衛星的時空坐标以電文形式調制到無線電測距信号中并将信号發射出去，接收這些信号的使用者接收機隻要準确測量出4顆或更多顆衛星的距離，并從中解調和計算出它們的時空坐标，就能求解出自己的時空位置。

\qquad 衛星定位解算方程的基礎是愛因斯坦的光速不變原理，它隻有在慣性空間才是正确的。于是，在闵氏漸進平直空間（近似慣性空間）的定位方程中，所有已知量和未知量都應是坐标量，包括：衛星時間、接收機時間、尤其是僞距。而實際測得的僞距是一個固有量，是以在将它應用到定位方程中之前，必須消除信号傳播過程中的引力影響（及其它非引力因素的影響），即将它校正和投影到平直空間。

• 廣義相對論–1972講稿
• 廣義相對論–從A到B