最基礎的傅裡葉變換公式推導

學了信号分析處理好幾年，平時偶爾遇到的信号的FT還是不會推，或者對某些形式的積分束手無策，本文寫的幾個最基礎的信号的FT推導，純粹是為了深挖和鞏固基礎。

（一）一維連續FT

推導幾個簡單的例子：

（1） f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1

作一維傅裡葉變換：

(1) F ( u ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − j 2 π u x d x = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π u x d x = δ ( u ) F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ux}dx=\delta(u)\tag1 F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​e−j2πuxdx=δ(u)(1)

其中最後一步較難推導，又很美妙，特此重點記錄下來，遇到類似的積分就會推了。

（标準正态分布的pdf積分結果為1推出了 ∫ − ∞ ∞ e − t 2 d t = π \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi} ∫−∞∞​e−t2dt=π

​，也是一個常用的但很難直接推的結果，詳見這裡）

(2) ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π u x d x = δ ( u ) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ux}dx=\delta(u)\tag2 ∫−∞∞​e−j2πuxdx=δ(u)(2)

雖然直接推導不太會，但有了這個式子後自己反回去驗證還是容易的，

• 當u=0時被積函數為常數1，是以積分結果當然是1；
• u取其它值時，被積函數用歐拉公式寫成 c o s ( j 2 π u x ) − j s i n ( j 2 π u x ) cos(j2\pi ux)-jsin(j2\pi ux) cos(j2πux)−jsin(j2πux),第二項奇函數在 − ∞ -\infty −∞到 + ∞ +\infty +∞積分為0；第一項是偶函數，雖然不能根據奇偶性判斷出在 − ∞ -\infty −∞到 + ∞ +\infty +∞積分為0，但是由于cos的周期性，每個周期内積分都是0，那麼在 − ∞ -\infty −∞到 + ∞ +\infty +∞上可以認為有無限多個周期，是以認為它在全區間的積分也是0。

下面就可以用到公式（2）。

（2） f ( x ) = e j 2 π f 0 x f(x)=e^{j2\pi f_0x} f(x)=ej2πf0​x

F ( u ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − j 2 π u x d x = ∫ − ∞ ∞ e j 2 π f 0 x e − j 2 π u x d x F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f_0x}e^{-j2\pi ux}dx F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​ej2πf0​xe−j2πuxdx

(3) = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π ( u − f 0 ) x d x = δ ( u − f 0 ) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi (u-f_0)x}dx=\delta(u-f_0)\tag3 =∫−∞∞​e−j2π(u−f0​)xdx=δ(u−f0​)(3)

(3) f ( x ) = c o s ( 2 π f 0 x ) f(x)=cos(2\pi f_0x) f(x)=cos(2πf0​x)

F ( u ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − j 2 π u x d x = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π f 0 x + e j 2 π f 0 x 2 e − j 2 π u x d x = F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j2\pi f_0x}+e^{j2\pi f_0x}}{2}e^{-j2\pi ux}dx= F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​2e−j2πf0​x+ej2πf0​x​e−j2πuxdx=

(4) 1 2 [ δ ( u + f 0 ) + δ ( u − f 0 ) ] \frac 12[\delta(u+f_0)+\delta(u-f_0)]\tag4 21​[δ(u+f0​)+δ(u−f0​)](4)

(4) f ( x ) = s i n ( 2 π f 0 x ) f(x)=sin(2\pi f_0x) f(x)=sin(2πf0​x)

F ( u ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − j 2 π u x d x = ∫ − ∞ ∞ e j 2 π f 0 x − e − j 2 π f 0 x 2 j e − j 2 π u x d x = F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{j2\pi f_0x}-e^{-j2\pi f_0x}}{2j}e^{-j2\pi ux}dx= F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​2jej2πf0​x−e−j2πf0​x​e−j2πuxdx=

(5) 1 2 j [ δ ( u − f 0 ) − δ ( u + f 0 ) ] \frac {1}{2j}[\delta(u-f_0)-\delta(u+f_0)]\tag5 2j1​[δ(u−f0​)−δ(u+f0​)](5)

(5)階躍函數 u ( t ） u(t） u(t）

(6)沖激函數 δ ( t ） \delta(t） δ(t）

(7)門函數

(8)抽樣函數

（二）一維離散傅裡葉變換（DFT）

（三）二維連續FT

寫着寫着突然感覺自己在寫推導類習題的解析······這就是傳說中的閑到寫部落格麼······希望這不是再浪費時間·····

例子：

（1） f ( x , y ) = s i n 4 π x + c o s 6 π y f(x,y)=sin4\pi x+cos6\pi y f(x,y)=sin4πx+cos6πy

先考慮 s i n 4 π x sin4\pi x sin4πx

F ( s i n 4 π x ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ s i n 4 π x e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y \mathcal F(sin4\pi x)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}sin4\pi xe^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy F(sin4πx)=∫−∞∞​∫−∞∞​sin4πxe−j2π(ux+vy)dxdy

= ∫ − ∞ ∞ s i n 4 π x e − j 2 π u x d x ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π v y d y =\int_{-\infty}^{\infty}sin4\pi xe^{-j2\pi ux}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi vy}dy =∫−∞∞​sin4πxe−j2πuxdx∫−∞∞​e−j2πvydy

= 1 2 j [ δ ( u − 2 ) − δ ( u + 2 ) ] δ ( v ) =\frac {1}{2j}[\delta(u-2)-\delta(u+2)]\delta(v) =2j1​[δ(u−2)−δ(u+2)]δ(v)

= 1 2 j [ δ ( u − 2 , v ) − δ ( u + 2 , v ) ] =\frac {1}{2j}[\delta(u-2,v)-\delta(u+2,v)] =2j1​[δ(u−2,v)−δ(u+2,v)]

注意：兩個一維沖激函數的乘積是二位沖激函數。

F ( c o s 6 π y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ c o s 6 π y e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y \mathcal F(cos6\pi y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}cos6\pi ye^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy F(cos6πy)=∫−∞∞​∫−∞∞​cos6πye−j2π(ux+vy)dxdy

= ∫ − ∞ ∞ c o s 6 π y e − j 2 π v y d y ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π u x d x =\int_{-\infty}^{\infty}cos6\pi ye^{-j2\pi vy}dy\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ux}dx =∫−∞∞​cos6πye−j2πvydy∫−∞∞​e−j2πuxdx

= 1 2 [ δ ( v − 3 ) + δ ( v + 3 ) ] δ ( u ) =\frac {1}{2}[\delta(v-3)+\delta(v+3)]\delta(u) =21​[δ(v−3)+δ(v+3)]δ(u)

= 1 2 [ δ ( u , v − 3 ) + δ ( u , v + 3 ) ] =\frac {1}{2}[\delta(u,v-3)+\delta(u,v+3)] =21​[δ(u,v−3)+δ(u,v+3)]

so

F ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy F(u,v)=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy

= F ( s i n 4 π x ) + F ( c o s 6 π y ) =\mathcal F(sin4\pi x)+\mathcal F(cos6\pi y) =F(sin4πx)+F(cos6πy)

= 1 2 j [ δ ( u − 2 , v ) − δ ( u + 2 , v ) ] + 1 2 [ δ ( u , v − 3 ) + δ ( u , v + 3 ) ] =\frac {1}{2j}[\delta(u-2,v)-\delta(u+2,v)]+\frac {1}{2}[\delta(u,v-3)+\delta(u,v+3)] =2j1​[δ(u−2,v)−δ(u+2,v)]+21​[δ(u,v−3)+δ(u,v+3)]

（四）二維離散傅裡葉變換（DFT）