幹涉
幹涉：人們把頻率相同，振動方向平行，相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另外一些地方振動始終減弱的現象，叫做波的幹涉現象．
而這種相消相長的過程就要先了解下兩個波在相遇時的情況
基于波的疊加原理
（1）幾列波相遇之後．仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續前進好像沒有遇到過其他波一樣
（2）在相遇區域内任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和
設有兩相幹光源（滿足頻率相同，振動方向平行，相位差恒定的兩列波） S 1 S_1 S1 、 S 2 S_2 S2，它們的簡諧振動方程分别為
y 1 = A 1 c o s ( ω t + φ 1 ) y_1 = A_1cos(\omega t + \varphi_1) y1=A1cos(ωt+φ1)
y 2 = A 2 c o s ( ω t + φ 2 ) y_2 = A_2cos(\omega t + \varphi_2) y2=A2cos(ωt+φ2)
設兩列波分别經過 r 1 r_1 r1 和 r 2 r_2 r2的距離後在點P相遇，它們在點P的振動分别為
y 1 = A 1 c o s ( ω t + φ 1 − 2 π r 1 λ ) y_1 = A_1cos(\omega t + \varphi_1 - \frac{2\pi r_1}{\lambda}) y1=A1cos(ωt+φ1−λ2πr1)
y 2 = A 1 c o s ( ω t + φ 2 − 2 π r 2 λ ) y_2 = A_1cos(\omega t + \varphi_2 - \frac{2\pi r_2}{\lambda}) y2=A1cos(ωt+φ2−λ2πr2)
這裡需要額外補充下波長的定義
波長wavelength是指波在一個振動周期内傳播的距離。也就是沿着波的傳播方向，相鄰兩個振動相位相差2π的點之間的距離。也就是說，假如一個波走了一個周期 2 π 2\pi 2π，也就是走了 λ \lambda λ距離。
是以在經過了 r r r距離後，波的相位變化 2 π r 1 λ \frac{2\pi r_1}{\lambda} λ2πr1
而點P同時參與兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合振動亦應為簡諧振動，設合振動的運動方程為
y = y 1 + y 2 = A c o s ( ω t + φ ) y = y_1 + y_2 = Acos(\omega t + \varphi) y=y1+y2=Acos(ωt+φ)
故 t a n φ = A 1 s i n ( φ 1 − 2 π r 1 λ ) + A 2 s i n ( φ 2 − 2 π r 2 λ ) A 1 c o s ( φ 1 − 2 π r 1 λ ) + A 2 c o s ( φ 2 − 2 π r 2 λ ) tan {\varphi} = \frac{ A_1 sin( \varphi_1 - \frac{2\pi r_1}{\lambda} ) + A_2 sin( \varphi_2 - \frac{2\pi r_2}{\lambda} ) } { A_1cos(\varphi_1 - \frac{2\pi r_1}{\lambda} ) + A_2cos(\varphi_2 - \frac{2\pi r_2}{\lambda} ) } tanφ=A1cos(φ1−λ2πr1)+A2cos(φ2−λ2πr2)A1sin(φ1−λ2πr1)+A2sin(φ2−λ2πr2)
A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s Δ φ A = \sqrt{A^2_1 + A^2_2 +2A_1A_2cos\Delta \varphi} A=A12+A22+2A1A2cosΔφ
Δ φ = ( φ 2 − 2 π r 2 λ ) − ( φ 1 − 2 π r 1 λ ) = φ 2 − φ 1 − 2 π ( r 2 − r 1 ) λ \Delta \varphi = (\varphi_2 - \frac{2\pi r_2}{\lambda}) - (\varphi_1 - \frac{2\pi r_1}{\lambda}) = \varphi_2 - \varphi_1 - \frac{2\pi (r_2 - r_1) }{\lambda} Δφ=(φ2−λ2πr2)−(φ1−λ2πr1)=φ2−φ1−λ2π(r2−r1)
（這裡隻是簡單的兩個三角函數的相加，就不具體展開講述了）
幹涉現象是波動的又一 重要特征，它和衍射現象都是作為判别某種運動是否具有波動性的主要依據．
由上述式子可以看出，兩相幹波在空間任一點相遇時，其幹涉加強和減弱的條件，除了兩波源的初相差之外，隻取決于該點至兩相幹波源間的波程差．
産生了幹涉現象的兩列波叫做相幹波，而它們的波源就叫做相幹波源，如兩波源不是相幹波源，則不會出現幹涉現象。（也就是不符合頻率相同，振動方向平行，相位相同或相位差恒定的條件，這裡需要強調的是，仍然會發生波的疊加也就是兩列波的矢量和，但是不再是上式視作标量的簡單相加）
接下來我們來重點介紹幹涉産生的主要兩種方法：
1.振幅分割法，其原理是利用反射、折射把波面上某處的振幅分成兩部分，亦即将入射波的能量分成反射波和折射波的能量，再使它們相遇進而産生幹涉現象（薄膜幹涉，劈尖，牛頓環，邁克爾遜幹涉儀）
2.波陣面分割法：一種用分光束獲得相幹光的方法，就是在光源發出的某一波陣面上，取出兩部分面元作為相幹光源的方法．（楊氏雙縫幹涉，勞埃德鏡）
楊氏幹涉：
由 S 1 S_1 S1, S 2 S_2 S2發出的光到達屏上點B的波程差 Δ r \Delta r Δr為 Δ r = r 2 − r 1 = d s i n θ \Delta r = r_2 -r_1 = d sin \theta Δr=r2−r1=dsinθ ，此處 θ \theta θ也是 O 1 O O_1O O1O和 O 1 B O_1B O1B所成之角。
上述計算隻是簡單的幾何運算，但是其實體意義和思路卻要知曉。
要知道相幹光的幹涉情況，則需要計算兩束相關光的波程差，而我們要得到波程差的本質上是根據 2 π r λ \frac{2\pi r}{\lambda} λ2πr，引起幹涉處疊加光波的相位的變化，進而引起疊加光波振幅的變化。
也就是說，如果剛好在點B的位置兩個波的波程差相差了一個或多個波的周期
若 Δ r \Delta r Δr滿足條件
Δ r = r 2 − r 1 ≈ d s i n θ = ± k λ \Delta r = r_2 -r_1 \approx d sin \theta = \pm k \lambda Δr=r2−r1≈dsinθ=±kλ，k=0,1,2,…
則波的疊加處點B處為一明條紋的中心，式中正負号表明幹涉條紋在點O兩邊是對稱分布，對于點O, θ = 0 \theta=0 θ=0, Δ r = 0 \Delta r= 0 Δr=0 , k = 0 k = 0 k=0; 是以，點O處也為一明條紋的中心 ，此明條紋叫做中央明紋。在點O兩側，與 k= 1 ,2, …相應的 x k x_k xk處, Δ r \Delta r Δr分别為 ± λ \pm \lambda ±λ， ± 2 λ \pm 2\lambda ±2λ,這些明條紋分别叫第一級、第二級……明條紋．它們對稱地分布在中央明紋的兩側．
因為 d ′ > > d d'>>d d′>>d,是以 s i n θ ≈ t a n θ sin \theta \approx tan \theta sinθ≈tanθ= x / d ′ x/d' x/d′.
即 d x d ′ = ± k λ d \frac{x}{d'} = \pm k \lambda dd′x=±kλ, k = 0 , 1 , 2 k = 0,1,2 k=0,1,2
兩束光互相減弱，形成暗條紋中心的條件為
d x d ′ = ± ( 2 k + 1 ) λ d \frac{x}{d'} = \pm (2k+1) \lambda dd′x=±(2k+1)λ, k = 0 , 1 , 2 k = 0,1,2 k=0,1,2
若 S 1 S_1 S1和 S 2 S_2 S2在點B處的波程差不滿足如上兩條明紋或者暗紋的條件，則點B處既不是最明，也不是最暗。一般而言，可認為兩個相鄰暗條紋中心之間的距離為 一條明條紋的寬度．
相鄰明紋或暗紋中心間的距離為 Δ x = x k + 1 − x k = d ′ d λ \Delta x = x_{k+1} -x_k = \frac{d'}{d}\lambda Δx=xk+1−xk=dd′λ
光波在媒體中傳播時，其相位的變化不僅與光波傳播的幾何路程和真空中的波長有關，而且還與媒體的折射率有關
人們把折射率 n n n和幾何路程 L L L的乘積 n L nL nL, 叫做光程 Δ \Delta Δ。有了光程這一概念，我們就可以把單色光在不同媒體中的傳播路程，都折算為該單色光在真空中的傳播路程．
同樣的，計算光程差的本質上是根據 2 π Δ λ \frac{2\pi \Delta}{\lambda} λ2πΔ引起相位的變化進而引起疊加的波振幅的變化。
其幹涉加強減弱的條件與波程差的一樣，這裡不加以闡述。
空間相幹性
在雙縫幹涉實驗中，如果逐漸增加光源狹縫 S 的寬度，則螢幕 P 上的條紋就會變得逐漸模糊起來，最後幹涉條紋完全消失。
這是因為 S 内所包含的各小部分 S’ ,S"等是非相幹波源；它們互不相幹，且 S’發出的光與 S"發出的光通過雙縫到達點 B 的波程差并不相等 即 S’,S"發出的光将各自滿足不同的幹涉條件。
比如，當 S’發出的光經過雙縫後恰在點 B形成幹涉極大的光強時，S"發出的光可能在點 B 形成幹涉較小的光強．由于 S’ ,S"是非相幹光源，它們在點B形成的合光強隻是上述結果的簡單相加（這裡需要強調的是，本質上還是兩列波的矢量疊加，隻是宏觀上看相當于光強的簡單相加），即非相幹疊加，而不會出現“亮＋亮＝暗”的幹涉疊加結果。
是以，縫 S 愈寬，所包含的非相幹子波源愈多結果是最亮和最暗處的光強差别縮小，進而造成幹涉條紋的模糊甚至消失隻有當光源 S 的線度較小時，才能獲得較清晰的幹涉條紋，這一特性稱為光場的空間相幹性。
（相幹光：頻率相同，振動方向平行，相位相同或相位差恒定的兩列光波）
勞埃德鏡（半波損失）
勞埃德鏡實驗是與楊氏雙縫幹涉相類似的一種幹涉實驗，它不但顯示了光的幹涉現象，而且還顯示了當光由光速較大（折射率較小）的媒體射向光速較小 （折射率較大）的媒體時，反射光的相位發生了躍變。
圖中，M為一反射鏡從狹縫S射出的光，一部分（以1表示的光）直接射到螢幕P上，另 一部分掠射到反射鏡 M上，反射後（以2表示的光）到達螢幕上．反射光可看成是由虛光源立發出的 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2構成一對相幹光源。圖中陰影的區域表示疊加的區域，這時，在螢幕上可以觀察到明、暗相間的幹涉條紋。
這裡的思路與楊氏雙縫的實驗并沒有太大的不同，但重點是這裡引入了半波損失。
半波損失：光從光速較大（折射率較小）的媒體射向光速較小（折射率較大）的媒體時,反射光2的相位較之入射光1的相位躍變了 π \pi π，由于這一相位躍變，相當于反射光2與入射光1之間附加了半個波長 λ 2 \frac{\lambda}{2} 2λ的波程差，故常稱為半波損失。
這裡可能會小夥伴有疑惑，如果隻是反射的話，光也隻是在同一媒體進行，應該是折射或者透射才會有從一個媒體到另外一個媒體的過程。
我們需要将反射鏡，或者說玻璃抽象成一個矩形，上表面和下表面。入射光在上表面發生了反射，沒有問題。但真正與入射光發生幹涉的光是在上表面發生折射後經過下表面反射再從上表面出去的光（而在上表面折射這個過程就發生了半波損失）。
隻不過當反射鏡比較薄且傳播距離較小時，上述兩者的光的光路已經基本重合了。
需要說明的是，透鏡 L 并不引起附加的光程差，解釋如下：
一平行光束通過透鏡後，将會聚于焦平面上成一亮點，這是由于某時刻平行光束波前上各點（圖中A 、 B 、 C 、 D 、E各點）的相位相同，而到達焦平面後相位仍然相同， 因而幹涉加強．可見這些點到點 F的光程都相等。
這個事實還可這樣來了解：如圖所示，雖然光 AaF 比光 CcF經過的幾何路程長，但是光 CcF 在透鏡中經過的幾何路程比光 AaF 的長，是以折算成光程，AaF 的光程與 CcF 的光程相等。
對于斜入射的平行光，會聚于焦平面上點F’’ ，解釋同樣如此。
是以，使用透鏡并不引起附加的光程差
這可能是個沒什麼用的小常識，但是後續很多光學原理諸如衍射，光栅，光子晶體等等都需要用幹涉來進行解釋。
接下來的薄膜幹涉，劈尖，牛頓環等的思路都繞不開我們剛剛在楊氏雙縫實驗講的思路，隻不過需要考慮半波損失。這裡不怕啰嗦再重複一遍：
要知道相幹光的幹涉情況，則需要計算兩束相關光的波程差，而我們要得到波程差的本質上是根據 2 π r λ \frac{2\pi r}{\lambda} λ2πr，引起幹涉處疊加光波的相位的變化，進而引起疊加光波振幅的變化。
劈尖
如圖所示，G1、G2為兩片疊放在一起的平闆玻璃，其一端的棱邊相接觸，另一端被一直徑為D的細絲隔開，故在G1的下表面和G2的上表面之間形成一空氣薄層，叫做空氣劈尖．圖中M為傾斜45°角放置的半透明半反射平面鏡，L為透鏡，T為顯微鏡．單色光源S發出的光經透鏡L後成為平行光，經M反射後垂直射向劈尖（入射角i= 0). 自空氣劈尖上、下兩面反射的光互相幹涉，從顯微鏡T中可觀察到明暗交替、均勻分布的幹涉條紋。
把劈尖抽象成四個表面
從空氣劈尖上表面反射的光（即G1下表面）的路徑：空氣 ⟶ \longrightarrow ⟶G1上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部 ⟶ \longrightarrow ⟶G1下表面 ⟶ \longrightarrow ⟶反射 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部 ⟶ \longrightarrow ⟶透射 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣
本質上隻在空氣 ⟶ \longrightarrow ⟶G1上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部發生了一次半波損失
而從空氣劈尖下表面反射的光（即G1上表面）的路徑：空氣 ⟶ \longrightarrow ⟶G1上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖下表面 ⟶ \longrightarrow ⟶反射 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部 ⟶ \longrightarrow ⟶G1上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣
在空氣 ⟶ \longrightarrow ⟶G1上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部 和 空氣劈尖上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶G1内部各發生了一次半波損失
而他們的光程差為空氣劈尖上表面 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖下表面 ⟶ \longrightarrow ⟶反射 ⟶ \longrightarrow ⟶空氣劈尖上表面這一段光程和半波損失，即 2 n d + λ 2 2nd+\frac{\lambda}{2} 2nd+2λ
這裡可以看出厚度相等的地方幹涉條紋的亮度相同，故稱此種幹涉為等厚幹涉。
牛頓環同理，也是在劈尖空氣層的上下表面處發生反射形成幹涉。
這裡順便說下等傾幹涉，具有相同入射角i的各光線的光程差相同顯然，即幹涉情況相同 。
參考文獻：
《實體學（第六版）》——馬文蔚 周雨青
《工程光學（第四版）》——郁道銀 談恒英