大學實體第十二章複習筆記：氣體動理論

第十二章：氣體動理論

大學實體

• 第十二章：氣體動理論
• 一級目錄
• • 二級目錄
  • • 三級目錄
  • 一、分子運動的基本概念
  • • 1.氣體的狀态參量
    • • （1）壓強P
      • （2）體積V
      • （3）溫度T
    • 2.平衡态和平衡過程
    • • （1）平衡态
      • （2）平衡過程
    • 3.理想氣體的狀态方程
  • 二、氣體分子熱運動
  • • 1.氣體熱運動的特征
    • 2.統計規律的特征
    • • （1）統計平均值
      • （3）機率
      • （4）歸一化概念
  • 三、理想氣體的壓強公式
  • • 1.理想氣體的模型
    • • （1）宏觀模型
      • （2）微觀模型
      • （3）統計假設
      • （4）壓強公式
      • （5）理想氣體溫度公式
  • 四、麥克斯韋速率分布定律
  • • 1.速率分布
    • 2.麥氏速度分布律
    • • （1）麥氏分布速率函數表達式
    • 3.麥氏速率分布的應用
    • • （1）最可幾速率 v p v_p vp​
      • （2）麥氏速率分布曲線
      • （3）利用 f ( v ) f(v) f(v)求統計平均值
  • 五、能量按自由度均分原理
  • • 1.自由度： i i i
    • • （1）确定一個物體空間位置的獨立坐标數 i i i
      • （2）自由運動質點的自由度
    • 2.能量按自由度均分原理
    • • （1）定理内容
      • （2）一個分子的平均總動能
    • 3.理想氣體的内能E
  • 六、氣體分子的碰撞和平均自由能
  • • 1.氣體分子的碰撞機制
    • • （1）分子的有效直徑
      • （2）分子的平均有效直徑 d ˉ \bar d dˉ
    • 2.平均碰撞頻率，平均自由程
    • • （1）碰撞頻率Z
      • （2）自由程 λ \lambda λ
      • （3）z和 λ \lambda λ之間的關系
      • 3.平均自由程和碰撞頻率的統計規律

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一、分子運動的基本概念

1.氣體的狀态參量

（1）壓強P

①概念：

機關時間内大量氣體分子對容器壁機關面積的垂直作用力（平均沖量）

②機關

帕斯卡（N· m − 2 m^{-2} m−2）

（2）體積V

氣體活動的空間

（3）溫度T

氣體冷熱程度的量度

分子熱運動劇烈強度的量度

T = （ t + 273 ） K T=（t+273）K T=（t+273）K

2.平衡态和平衡過程

（1）平衡态

概念：一個系統，宏觀量不随時間變化的狀态稱為平衡态

特點：熱動平衡

宏觀量：T,P穩定

微觀量：分子熱運動永不停息

（2）平衡過程

系統與外界有能量交換，任何一個實際的過程都是狀态改變過程，都是非平衡的。

過程進行得非常緩慢并不計摩擦，此過程稱為準靜态過程，也稱為平衡過程

總結：平衡過程是實際過程的近似處理，是理想化過程，優越性在于p-v圖上明确地描寫狀态及其過程。

注意：p-v圖上的任何一個點都對應着氣體的一個平衡态

一 個 點 ： 一 個 平 衡 态 一 條 曲 線 ： 一 個 平 衡 過 程 一個點：一個平衡态\\ 一條曲線：一個平衡過程\\ 一個點：一個平衡态一條曲線：一個平衡過程

3.理想氣體的狀态方程

（1）理想氣體滿足三個實驗定律

由三個定律總結出來氣體的狀态方程（克拉帕龍方程）

P V = m M m o l R T 其 中 ： R = 8.31 J / m o l ⋅ K : 摩 爾 氣 體 常 數 1 m o l 氣 體 上 升 1 攝 氏 度 吸 收 的 熱 PV=\frac{m}{M_{mol}}RT\\ 其中：R=8.31J/mol·K:摩爾氣體常數\\1mol氣體上升1攝氏度吸收的熱\\ PV=Mmol​m​RT其中：R=8.31J/mol⋅K:摩爾氣體常數1mol氣體上升1攝氏度吸收的熱

克拉帕龍方程的另一種形式：

P = n k T k = R N 0 = 1.38 × 1 0 − 23 — — 波 茲 曼 常 數 其 中 N 0 = 6.02 × 1 0 23 , n = N V P=nkT\\ k=\frac{R}{N_0}=1.38\times10^{-23}——波茲曼常數\\ 其中N_0=6.02\times10^{23},n=\frac{N}{V}\\ P=nkTk=N0​R​=1.38×10−23——波茲曼常數其中N0​=6.02×1023,n=VN​

二、氣體分子熱運動

1.氣體熱運動的特征

永恒的運動，頻繁的碰撞

（1）運動：氣體分子間距大，分子間作用力小，二次碰撞之間的運動可以看做慣性支配下的運動——勻速直線運動

（2）碰撞：擴散很慢——頻繁碰撞的結果

（3）對于單個分子

碰 撞 時 ： 偶 然 性 ， 無 序 性 ， 遵 守 能 量 守 恒 和 動 量 守 恒 — — 力 學 規 律 碰 撞 後 ： 勻 速 直 線 運 動 碰撞時：偶然性，無序性，遵守能量守恒和動量守恒——力學規律\\ 碰撞後：勻速直線運動 碰撞時：偶然性，無序性，遵守能量守恒和動量守恒——力學規律碰撞後：勻速直線運動

（4）對整體

在 整 體 上 遵 循 确 定 的 統 計 規 律 在整體上遵循确定的統計規律 在整體上遵循确定的統計規律

2.統計規律的特征

大量偶然事件組成整體，少量事件不服從統計規律

（1）統計平均值

計算方法同算數平均值相同，如年齡M：

M ˉ = ∑ 每 個 年 齡 × 對 應 年 齡 的 人 數 總 人 數 \bar M=\frac{\sum每個年齡\times對應年齡的人數}{總人數} Mˉ=總人數∑每個年齡×對應年齡的人數​

統計平均值：分子速度：

v ˉ x = v x 1 Δ N 1 + v x 2 Δ N 2 + . . . N = ∫ v x d N N v ˉ y = v y 1 Δ N 1 + v y 2 Δ N 2 + . . . N = ∫ v y d N N v ˉ x 2 = v x 1 2 Δ N 1 + v x 2 2 Δ N 2 + . . . N = ∫ v x 2 d N N \bar v_x=\frac{v_{x_1}\Delta N_1+v_{x_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x dN}{N}\\ \bar v_y=\frac{v_{y_1}\Delta N_1+v_{y_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_y dN}{N}\\ \bar v_x^2=\frac{v_{x_1}^2\Delta N_1+v_{x_2^2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x^2 dN}{N}\\ vˉx​=Nvx1​​ΔN1​+vx2​​ΔN2​+...​=N∫vx​dN​vˉy​=Nvy1​​ΔN1​+vy2​​ΔN2​+...​=N∫vy​dN​vˉx2​=Nvx1​2​ΔN1​+vx22​​ΔN2​+...​=N∫vx2​dN​

（3）機率

在一定條件下，每個狀态出現的次數 N A N_A NA​和測量總次數 N N N（即所有狀态出現的次數的總和）的比值是一個确定值，稱為A狀态出現的機率 W A W_A WA​

W A = lim ⁡ N → ∞ N A N 對 一 個 系 統 ： { 所 有 狀 态 出 現 的 總 次 數 N A 狀 态 出 現 的 次 數 N A A 狀 态 出 現 的 概 率 W A W_A=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{N_A}{N}\\ 對一個系統：\begin{cases} 所有狀态出現的總次數N\\ A狀态出現的次數N_A\\ A狀态出現的機率W_A\\ \end{cases} WA​=N→∞lim​NNA​​對一個系統：⎩⎪⎨⎪⎧​所有狀态出現的總次數NA狀态出現的次數NA​A狀态出現的機率WA​​

（4）歸一化概念

所有可能出現的狀态之和為1

∑ W A = ∑ N i N = 1 \sum W_A=\frac{\sum N_i}{N}=1\\ ∑WA​=N∑Ni​​=1

三、理想氣體的壓強公式

1.理想氣體的模型

（1）宏觀模型

遵循三個實驗規律

（2）微觀模型

彈性小球碰撞模型

（3）統計假設

實驗事實：平衡态時，容器中的氣體分子數密度n均勻分布

假設：做熱運動的分子向各個方向的運動機會相等，任何一個方向不必其他方向更占優勢

是以：分子速度在各個方向分量的各種平均值相等

v ˉ x = v ˉ y = v ˉ z = 0 v ˉ x 2 = v ˉ y 2 = v ˉ z 2 又 因 為 v ˉ 2 = v ˉ x 2 + v ˉ y 2 + v ˉ z 2 所 以 v ˉ x 2 = v ˉ x 2 = v ˉ x 2 = 1 3 v ˉ 2 \bar v_x=\bar v_y=\bar v_z=0\\ \bar v_x^2=\bar v_y^2=\bar v_z^2\\ 又因為\bar v^2=\bar v_x^2+\bar v_y^2+\bar v_z^2\\ 是以\bar v_x^2=\bar v_x^2=\bar v_x^2=\frac{1}{3}\bar v^2 vˉx​=vˉy​=vˉz​=0vˉx2​=vˉy2​=vˉz2​又因為vˉ2=vˉx2​+vˉy2​+vˉz2​是以vˉx2​=vˉx2​=vˉx2​=31​vˉ2

n:分子數密度 n = N V n=\frac{N}{V} n=VN​

（4）壓強公式

p = 1 3 n μ v ˉ 2 p=\frac{1}{3}n\mu\bar v^2 p=31​nμvˉ2

設一個分子的平均動能：

ε ˉ = 1 2 μ v ˉ 2 \bar \varepsilon=\frac{1}{2}\mu \bar v^2 εˉ=21​μvˉ2

那麼

p = 2 3 n ε ˉ p=\frac{2}{3}n\bar\varepsilon p=32​nεˉ

（5）理想氣體溫度公式

{ p = n k T p = 2 3 n ε ˉ ⇒ ε ˉ = 3 2 k T — — 溫 度 公 式 \begin{cases} p=nkT\\ p=\frac{2}{3}n\bar\varepsilon \end{cases}\Rightarrow \bar\varepsilon=\frac{3}{2}kT——溫度公式 {p=nkTp=32​nεˉ​⇒εˉ=23​kT——溫度公式

注意：

• 溫度公式隻對大量分子有意義，對單個少量分子無意義
• 分子平均動能隻與分子的溫度有關，而與分子的種類無關，T相同那麼分子動能相同
• 均方根速率

v ˉ 2 = 3 R T M \sqrt{\bar v^2}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} vˉ2

​=M3RT​

​

四、麥克斯韋速率分布定律

• 單個分子：速度偶然
• 少量分子：速度分布沒有規律
• 大量分子：速度分布有規律

1.速率分布

分子總數N，分子速率可能取值 0 → ∞ 0\rightarrow\infty 0→∞

将速率分成許多相等的小區間 Δ v \Delta v Δv——速率區間

每個速率區間内的分子數: Δ N \Delta N ΔN

• 每個速率區間内的分子數占總分子數的百分比是不同的
• 平衡态時， Δ v \Delta v Δv内的分子數 Δ N \Delta N ΔN占總分子數N的百分比 Δ N N \frac{\Delta{N}}{N} NΔN​随速度變化的規律稱為速度分布規律
• 此規律在無外場時稱為麥克斯韋速率分布規律

2.麥氏速度分布律

麥氏速率分布律：

無外場，理想氣體平衡态時，各機關速率區間内的分子數占總分子數的百分數按速率 v 分布的規律

N : 分 子 總 數 d v : 速 率 區 間 d N : 在 速 率 區 間 v 到 v + d v 内 的 分 子 數 ( 不 能 說 是 d v 内 的 ) d N N : 在 速 率 區 間 v 到 v + d v 内 的 分 子 數 占 總 分 子 數 的 百 分 比 N:分子總數\\ dv:速率區間\\ dN:在速率區間v到v+dv内的分子數(不能說是dv内的)\\ \frac{dN}{N}:在速率區間v到v+dv内的分子數占總分子數的百分比 N:分子總數dv:速率區間dN:在速率區間v到v+dv内的分子數(不能說是dv内的)NdN​:在速率區間v到v+dv内的分子數占總分子數的百分比

（1）麥氏分布速率函數表達式

• d N N \frac{dN}{N} NdN​和什麼有關？
  • dv
  • v

• 寫成等式：

  d N N = f ( v ) ⋅ d v \frac{dN}{N}=f(v)·dv NdN​=f(v)⋅dv

• f ( v ) f(v) f(v)的實體意義

  f ( v ) = d N d v 1 N f(v)=\frac{dN}{dv}\frac{1}{N}\\ f(v)=dvdN​N1​

  表示在速率為v處機關速率區間内的分子數占總分子數的百分比

• 其他的一些變形的表示意義

  1. { f ( v ) d v = d N N : 在 v 到 v + d v 内 的 分 子 數 占 總 分 子 數 的 百 分 比 N f ( v ) d v = d N : 在 v 到 v + d v 區 間 内 的 分 子 數 2. { 在 給 定 速 率 區 間 v 1 到 v 2 内 的 分 子 百 分 比 是 多 少 ？ Δ N N = ∫ v 1 v 2 f ( v ) d v v 1 到 v 2 内 的 分 子 數 ： Δ N = N ∫ v 1 v 2 f ( v ) d v 3. 在 整 個 速 率 區 間 （ 0 ， + ∞ ） 内 分 子 的 百 分 數 是 多 少 ? ∑ i Δ N i N = ∫ 0 ∞ f ( v ) d v = 1 1.\begin{cases} f(v)dv=\frac{dN}{N}:在v到v+dv内的分子數占總分子數的百分比\\ Nf(v)dv={dN}:在v到v+dv區間内的分子數\\ \end{cases}\\ 2.\begin{cases} 在給定速率區間v_1到v_2内的分子百分比是多少？\frac{\Delta N}{N}=\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ v_1到v_2内的分子數：\Delta N=N\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ \end{cases}\\ 3.在整個速率區間（0，+\infty）内分子的百分數是多少? \sum\limits_{i}\frac{\Delta N_i}{N}=\int_{0}^{\infty}f(v)dv=1\\ 1.{f(v)dv=NdN​:在v到v+dv内的分子數占總分子數的百分比Nf(v)dv=dN:在v到v+dv區間内的分子數​2.{在給定速率區間v1​到v2​内的分子百分比是多少？NΔN​=∫v1​v2​​f(v)dvv1​到v2​内的分子數：ΔN=N∫v1​v2​​f(v)dv​3.在整個速率區間（0，+∞）内分子的百分數是多少?i∑​NΔNi​​=∫0∞​f(v)dv=1

  速度歸一化條件

3.麥氏速率分布的應用

（1）最可幾速率 v p v_p vp​

根據 f ( v ) f(v) f(v)函數的極值求導得

v p = 2 R T M m o l v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}}\\ vp​=Mmol​2RT​

​

可知，最可幾速率與溫度和氣體的種類有關

（2）麥氏速率分布曲線

要注意的是溫度升高，曲線最大值升高，但是還要注意歸一化條件：曲線的面積不變

（3）利用 f ( v ) f(v) f(v)求統計平均值

a.平均速率

v ˉ = ∫ 0 ∞ v f ( v ) d v \bar v=\int_0^{\infty}vf(v)dv\\ vˉ=∫0∞​vf(v)dv

b.均方根速率

v 2 ˉ = ∫ 0 ∞ v 2 f ( v ) d v \bar {v^2}=\int_0^{\infty}{v^2}f(v)dv\\ v2ˉ=∫0∞​v2f(v)dv

c.平均動能

ε ˉ = ∫ 0 ∞ 1 2 μ v 2 f ( v ) d v \bar \varepsilon=\int_0^{\infty}\frac{1}{2}\mu {v^2}f(v)dv\\ εˉ=∫0∞​21​μv2f(v)dv

總結，求某個和速率有關的統計平均值：M(v)

M ( v ) = ∫ 0 ∞ M ( v ) f ( v ) d v M(v)=\int_0^{\infty}M(v)f(v)dv\\ M(v)=∫0∞​M(v)f(v)dv

五、能量按自由度均分原理

{ 單 原 子 分 子 氣 體 ： 熱 運 動 能 量 隻 有 平 動 動 能 多 原 子 分 子 氣 體 ： { 平 動 動 能 轉 動 動 能 \begin{cases} 單原子分子氣體：熱運動能量隻有平動動能\\ 多原子分子氣體：\begin{cases} 平動動能\\ 轉動動能\\ \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​單原子分子氣體：熱運動能量隻有平動動能多原子分子氣體：{平動動能轉動動能​​

1.自由度： i i i

（1）确定一個物體空間位置的獨立坐标數 i i i

（2）自由運動質點的自由度

在空間自由運動：i=3

在平面自由運動：i=2

在直線自由運動：i=1

• 問
  • 質點在平面做圓運動，自由度i=?
  • 質點在空間做曲線運動，自由度？
• 鋼棒的自由度
  • x,y,z
  • α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ
  • 3+3-1
• 剛體的自由度
  • 一般：平動+轉動：6
• 理想氣體分子的自由度
  • 單原子：3
  • 雙原子：5
  • 多原子：6

2.能量按自由度均分原理

（1）定理内容

溫度為 T 的平衡态時，氣體分子的每個自由度上都有一份相同的平均動能，數值為： 1 2 k T \frac{1}{2}kT 21​kT

ε ˉ = 3 2 k T \bar \varepsilon=\frac{3}{2}kT εˉ=23​kT均勻分布在3個自由度上

（2）一個分子的平均總動能

由自由度判斷 ε ˉ = i 2 k T \bar \varepsilon=\frac{i}{2}kT εˉ=2i​kT

{ 單 原 子 分 子 ： 3 2 k T 雙 原 子 分 子 ： 5 2 k T 多 原 子 分 子 ： 3 k T \begin{cases} 單原子分子：\frac{3}{2}kT\\ 雙原子分子：\frac{5}{2}kT\\ 多原子分子：3kT \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​單原子分子：23​kT雙原子分子：25​kT多原子分子：3kT​

3.理想氣體的内能E

内 能 : { 平 動 動 能 轉 動 動 能 1 m o l 理 想 氣 體 （ 自 由 度 為 i ） 的 内 能 ： i 2 k T 1 m o l 單 原 子 理 想 氣 體 的 内 能 ： 3 2 k T 質 量 為 m k g ， 自 由 度 為 i 的 氣 體 的 内 能 ： m M m o l i 2 k T 内能:\begin{cases} 平動動能\\ 轉動動能\\ \end{cases}\\ 1mol理想氣體（自由度為i）的内能：\frac{i}{2}kT\\ 1mol單原子理想氣體的内能：\frac{3}{2}kT\\ 品質為m kg，自由度為i的氣體的内能：\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT\\ 内能:{平動動能轉動動能​1mol理想氣體（自由度為i）的内能：2i​kT1mol單原子理想氣體的内能：23​kT品質為mkg，自由度為i的氣體的内能：Mmol​m​2i​kT

總結得出：

E = m M m o l i 2 k T E=\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT E=Mmol​m​2i​kT

六、氣體分子的碰撞和平均自由能

非平衡态 → \rightarrow →平衡态：通過熱運動的互相碰撞實作的

1.氣體分子的碰撞機制

非接觸性碰撞

（1）分子的有效直徑

（2）分子的平均有效直徑 d ˉ \bar d dˉ

約 1 0 − 10 10^{-10} 10−10

2.平均碰撞頻率，平均自由程

（1）碰撞頻率Z

一個分子在1s内和其他分子的碰撞的次數

• 平均碰撞次數 z ˉ \bar z zˉ

（2）自由程 λ \lambda λ

一個分子連續兩次碰撞之間通過的路程

• 平均自由程 λ ˉ \bar \lambda λˉ

（3）z和 λ \lambda λ之間的關系

• 1s内通過的路程 v ˉ \bar v vˉ
• 1s内發生碰撞的次數 Z ˉ \bar Z Zˉ
• 每碰一次，路程被折成一段： λ ˉ = v ˉ Z ˉ \bar\lambda=\frac{\bar v}{\bar Z} λˉ=Zˉvˉ​

3.平均自由程和碰撞頻率的統計規律

（1）平均碰撞次數： Z ˉ \bar Z Zˉ

Z ˉ = π d ˉ 2 ⋅ u ˉ n 其 中 ： Z ˉ 是 平 均 碰 撞 次 數 d ˉ 是 平 均 有 效 直 徑 u ˉ 是 a 分 子 相 對 于 其 他 分 子 的 速 率 n 是 分 子 數 密 度 \bar Z=\pi \bar d^2·\bar u n\\ 其中：\bar Z是平均碰撞次數\\ \bar d是平均有效直徑\\ \bar u是a分子相對于其他分子的速率\\ n是分子數密度 Zˉ=πdˉ2⋅uˉn其中：Zˉ是平均碰撞次數dˉ是平均有效直徑uˉ是a分子相對于其他分子的速率n是分子數密度

（2）表達式

u ˉ = 2 v ˉ ∴ Z ˉ = π d ˉ 2 ⋅ 2 v ˉ n λ ˉ = v ˉ Z ˉ = 1 2 π d ˉ 2 ⋅ n \bar u=\sqrt{2}\bar v\\ ∴\bar Z=\pi \bar d^2·\sqrt{2}\bar v n\\ \bar\lambda=\frac{\bar v}{\bar Z}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \bar d^2·n} uˉ=2

​vˉ∴Zˉ=πdˉ2⋅2

​vˉnλˉ=Zˉvˉ​=2

​πdˉ2⋅n1​

而在宏觀狀态下：

p = n k T , v ˉ = 8 R T π M m o l ∴ Z ˉ = 2 π d ˉ 2 ⋅ 8 R T π M m o l p k T λ ˉ = k T 2 π d ˉ 2 p — — 宏 觀 表 達 式 p=nkT,\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\\ ∴\bar Z=\sqrt{2}\pi \bar d^2·\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\frac{p}{kT}\\ \bar\lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi\bar d^2 p}——宏觀表達式 p=nkT,vˉ=πMmol​8RT​

​∴Zˉ=2

​πdˉ2⋅πMmol​8RT​

​kTp​λˉ=2

​πdˉ2pkT​——宏觀表達式

• v ˉ \bar v vˉ增大，自由程會變化嗎？
  • 會，平均有效直徑會變化

u ˉ 是 a 分 子 相 對 于 其 他 分 子 的 速 率 n 是 分 子 數 密 度 \bar u是a分子相對于其他分子的速率\\ n是分子數密度 uˉ是a分子相對于其他分子的速率n是分子數密度