matlab求傅裡葉級數展開式_無限套娃-複合函數的泰勒展開式!

在用泰勒展開式解決極限題目的時候會非常簡單，昨天我在群裡看有人問一題

這題用洛必達法則極為複雜，其他解法不易想，是以我們自然想到泰勒展開式，可是我們如何知道複合函數的泰勒展開式呢？這裡我将會用長篇幅來介紹複合函數的泰勒展開式.

首先，我們知道

的泰勒展開式

，我們也知道

，那我們要求

的展開式，首先我們可以整體替換得到

然後出現了無限項的三角函數，看起來如果一個個展開非常混亂！

但是我們可以仔細觀察，我們想要的泰勒展開式是幂級數

，那麼我們一步步來,首先:如何找

?

首先，1就是

裡面的一項，然後看看其他項有沒有常數項？顯然

和它的高次幂都是不會有的！是以

齊次，我們想找

，一項項看，

裡面有一個

,然而

，其它一樣，是以隻有第二項有

，即

同理，我們要找

,我們從頭再分析，顯然

不包含二次項，而

包含二次項！那麼三次幂呢？顯然最低幂是

，是以也是沒有的，包含前面的系數那麼我們就可以得到

接下來我們看

，顯然

包含三次項,而

我們要配出

那麼無非是

或者

，而如果第一個取了3次幂的，第二個卻沒有常數項和它配，而我們取一次幂，第二個卻沒有二次幂和它配，也就是說，

是找不到三次幂的，實際上我們稍微變換思路就可以發現

确實沒有三次幂！而至于更高次幂，它們最低次幂已經超過三次了，是以我們不用考慮，即

這就是我們要求的泰勒展開式。

總結一下，因為泰勒展開式本質上是幂級數展開，是以我們要找的無非就是每個幂前面的系數，是以我們分析哪些函數有而哪些沒有，這樣就很好處理了.

我們來一題練練手:泰勒展開

，

根據三角函數的泰勒展開式得到

，我們來看看常數項，誰會産生常數項呢？顯然這裡每一項都不會産生常數項，此時

我們再來看看一次項，誰會産生一次項呢？顯然

有一次項，其他就都沒有了。是以

越往後，難度越大，我們同理可以求出二次項，三次項等等.

我們考慮二次項，顯然每一項都是奇函數，是以偶數次幂都是0

我們考慮三次項，顯然

有

,

有

，即

也就是說，我們最後拼湊出了複合函數的泰勒展開式

然後....你就可以移項自己給别人出題了哈哈哈例如

求極限

(雖然被洛必達亂殺了...)

現在，讓我們寫一寫最開始的那一題：求極限:

我們一個個來考慮:

1.展開

：首先得到

，現在我們逐項考慮，先考慮常數項，顯然

以及它的高次幂都不會有常數項，是以

，我們再考慮一次幂，顯然隻有

存在一次項，是以

，接着考慮二次項，顯然

沒有二次項而

有二次項，是以

，接着，

和

都有三次項，而

卻沒有，是以

,至此，我們得到

2.展開

:首先得到

,熟練以後我們隻需要取不高于三次項的展開式就可以了，也就是

是以我們得到

分母我們可以使用泰勒展開式，也可以不使用(可能并不熟悉這兩個函數的泰勒展開式),我們先

不使用泰勒展開式

得到

當然，如果熟悉

，那麼題目會更簡單.

實際上，根據

替換得到

積分得到

是以

，是以答案也是一目了然了.

也許看起來上面的方法非常複雜，其實寫多了以後也就習慣了，并不會感覺很複雜.現在讓我們嘗試一道題吧!

求極限:

這裡留給各位當思考題，現在我們考慮更一般的情況

求極限：

這裡設

與

我們發現

，同時計算

仔細思考就能發現一個事實:

是一個

奇幂級數

，不妨假設

得到

對比系數得到

解得

是以我們得到

同理，我們對

使用同樣的方法得到

對比系數得到

解得

即

舉個例子，根據上面的展開式我們可以得到

以及非（sang）常（xin）有（bing）趣（kuang）的

回歸正題，是以這題的極限是

是不是非常有趣呢？！相信大家對泰勒展開式有了更深刻的印象！

下面給幾題

思考

題:

求極限: