<前言>
傅裡葉分析之掐死教程，我看了，說實話我覺得有點繞，如果沒學過傅裡葉變換我覺得不可能看一遍就懂，估計會卡死很久。尤其是那些矢量圖和大海螺旋圖，讓我一臉懵逼，懷疑自己沒學過傅裡葉變換。
Heinrich：傅裡葉分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06zhuanlan.zhihu.com
仔細一想，作者說“要讓讀者在不看任何數學公式的情況下了解傅裡葉分析”。這就麻煩了，數學語言簡潔直接，要最快了解顯然應該不應該走這條路，而應該先把相關的數學知識搞清楚到能了解傅裡葉變換的程度。
當然像作者這樣去講述也是很棒的（尤其是我引用的那張圖，很清晰），但是我總覺得這樣會使已經有一點數學基礎的人看的更暈，沒有數學基礎的同學也不可能很快了解。
</前言>
<正文>
我們可以将任意信号強度随時間變化的規律寫成函數f(x)，x表示時間。
任意信号往往非常複雜毫無規律，難以用數學式表示，于是我們希望将函數f(x)分解為幾個簡單的函數相加的形式，分解如下表示：
我們自然希望找到一種分解（選擇一種合适的基底函數），能夠很友善地求出系數c_n。數學家告訴我們三角函數、複指數函數正是合适的基底函數。
利用三角函數系或複指數函數系展開的函數級數被稱為傅立葉級數。
周期為T的函數f(x)傅裡葉級數展開如下：
數學家（知道我們不會算）同時告訴了我們系數：
式中a_n, b_n是傅立葉系數，ω為基頻，與周期T或頻率f的關系是ω=2π/T=2πf。
補充一下振幅和相位的定義
把頻率作為x軸（數值用n表示），把振幅An作為y軸，可以畫出頻譜圖（幅度譜）：
（随便取的數值）
利用頻譜圖還可以直覺地分析各諧波分量的組成以及比重。當然還有相位譜圖，頻率作為x軸（數值用n表示），相位φ作為y軸就好了。
如上所述，我們可以将一個複雜的周期性信号分解成幾個簡單的簡諧波疊加。
（把複雜的波形變成如上幾根線段，真是太爽了！）
那非周期性函數怎麼辦？非周期函數的傅立葉展開式，周期無限大，采用傅立葉積分。
傅立葉積分是傅立葉級數取極限得到的，推導過程如下圖所示：
（前方複指數函數警告，沒學過可以跳過下圖推導）
（非周期拿幾個簡諧波疊加湊不好，那就多幾個，無限多個來個積分總夠了吧！）
對比一下傅裡葉級數的式子：
非周期信号的F(f)就是周期性信号的An（也就是一開始說的系數）。
非周期信号和周期性信号的差別就在于頻譜是否連續：
（兩圖的數值都是亂定的）
<總結一下>
是以呢，傅裡葉變換就是在分解一個函數的過程中，某個叫傅裡葉的人發現某種分解方式特别簡潔好算，然後就把這種分解方式（變換）命名為傅裡葉變換。
從數學上了解，就是把一個函數寫成幾個（或者無限個，取個極限）函數（三角函數或複指數函數）相加的過程。
從信号處理的角度來了解，就是把一個在時域上非常複雜的信号函數（随時間變化非常複雜），轉變為在頻域上相對簡單便于處理的頻譜函數的過程。
下圖非常直覺地表現了這一過程。基底函數是三角函數，原始信号函數前面那個是圖像類似于矩形波的函數。如果要分解真正的矩形波（顯然是非周期函數），頻譜圖像就是連續的。
</總結一下>
很多時候會把f寫成u：
還有傅裡葉反（逆）變換：
傅立葉變換是互逆的，唯一的。如果沒有這一性質，就不能将一個時域的函數變換為頻域進行分析，再變換回時域。
值得注意的是，上文我們以信号随時間的變化舉例來了解一維的傅裡葉變換，或者說應用一維傅裡葉變換處理随時間變換的信号問題。但是傅裡葉變換在數學上僅僅是一個函數變換，具體變量的含義并無規定。
</正文>
<遙感數字圖像處理原理課的複習>
通過“處理時間信号”的例子，現在我們已經了解了傅裡葉變換。很容易将傅裡葉變換拓展至多元。二維函數的傅立葉變換和反變換分别定義為：
處理靜态二維圖像需要使用二維傅裡葉變換。
f(x,y)是一幅圖像，F(u,v)是它的傅立葉變換。u, v是傅立葉變換的空間頻率。
對比一下利用一維傅裡葉變換處理時間信号：
- 一維傅裡葉變換（處理時間信号）：時域的函數變換為頻域，進行分析，再變換回時域。
- 二維傅裡葉變換（處理二維圖像）：空域的函數變換為頻域，進行分析，再變換回空域。
應該不難了解。
空間頻率在上一節課《數字圖像處理的光學基礎》中已經講過，可以了解為等相位線在x,y坐标投影的截距的倒數。對于圖像信号，空間頻率是指機關長度内亮度作周期性變化的次數。
空間頻率的概念在圖像進行中十分重要。了解噪聲、線、細節、背景或平滑區域等對應的空間頻率特性，才能更好地對圖像進行處理。
空間頻率知識細節對應到光學，涉及阿貝成像理論：
物體經過光學系統到像經曆了兩個過程：
（1）物經過光學系統後，在它的後焦面上形成衍射圖樣（夫琅和費衍射）。
（2）以衍射圖樣為次波波源，在像平面上産生振幅疊加而構成了物的像。
這兩個過程分别對應傅立葉正變換和傅裡葉反變換。阿貝在數學上證明了，二次成像過程就是對二維光場的複振幅進行正、反兩次傅立葉變換的過程。
第一次是把光場複振幅的空間分布，變成光學系統後焦面上的空間頻率的分布。
第二次的作用是把空間頻率分布還原成光場複振幅的空間分布。
光的二次傅立葉變換，是數字圖像進行中改善圖像品質的光學理論基礎。