學過《
信号與系統》課程的人往往會被許多問題所困惑，如：
（1）周期信号傅裡葉級數表示什麼内容？ （2）信号的頻譜表示什麼？ （3）通過信号的頻譜我們能知道什麼？ （4）信号的時域和頻域的關系是什麼？ （5）傅裡葉級數、傅裡葉系數、傅裡葉變換的關系是什麼？ （6）周期信号傅裡葉級數中的傅裡葉系數實體意義是什麼？ （7）周期信号傅裡葉級數中的傅裡葉系數與非周期信号傅裡葉變換的關系是什麼？ （8）非周期信号的傅裡葉變換到底是什麼意思？ （9）傅裡葉變換的實體意義是什麼？ （10）複數形式的傅裡葉變換的實體意義？ （11）為什麼周期信号的傅裡葉變換在相應頻率處出現沖激函數？ （12）為什麼正弦（或餘弦）信号的傅裡葉變換是沖激函數？上述問題盡管看上去有些零碎，其實它們是有聯系的，下面，我從頭到尾把這些問題串起來，
内容可能比較多，如果你想知道結果，則需要你耐心閱讀，并希望下面的内容能對你有所幫助，更詳細的内容和應用還請參見我寫的《信号與系統分析和應用》一書，本書在高等教育出版社出版發行。
要知道傅裡葉變換把時域信号變換為
頻域函數（頻譜），首先需要知道信号的
頻譜是什麼。我在教學的時候，規定時域是“信号”，頻域是“函數”。
注意，下面我站在求解“
頻譜”的角度來說問題！
一、周期信号及其頻譜 1、先從周期信号說起 周期信号的頻譜表示了這個周期信号含有的所有不同頻率餘弦信号的頻率、幅度和初相位這三個“參數”，每個餘弦的這“
三個參數”表征了這個餘弦的全部資訊，信号的
頻譜是用原周期信号含有的所有各個頻率餘弦信号的“三參數”來表征原時域信号的
組成成分和分量（傅裡葉級數是在時域用餘弦信号的形式來表征周期信号的組成，注意：傅裡葉級數是時域的，它的自變量是時間t）。
我們不能總是喋喋不休地隻讨論一個複雜的時間信号是由哪些基本信号合成的，而我們真正要關心的是這個複雜信号的“
組成成分”和這些“
成分的分量”。我非常贊賞網友用的“
配方”這個詞，它一針見血地指出了一個
混合物（相當于時域信号）和它的組成成分及其分量（頻譜---信号配方）。可以看到，周期信号的
“配方”就是組成這個周期信号的各個頻率的餘弦的“頻率”、“幅度”和“初相位”這“三個參數”。
如一副中藥相當于原時域信号，而它的“藥單”相當于其“頻譜”。
一副混合好的中藥（相當于一個複雜信号），你從下面圖中看不出組成它的各成分的分量。
一副混合好的中藥（相當于一個複雜信号），你看不出組成它的各成分的分量
要想知道它的組成成分和分量，你一定要拿到它的
藥單。
藥單上列出了一副中藥的組成成分和各味藥的“分量”。對應我們讨論的信号來說，藥名相當于“餘弦信号的頻率”，重量相當于“餘弦信号的幅度”。可以看到，這個藥單圖隻有“各個味藥”和它的重量，這個藥單其實相當于“信号的幅度譜”。我們也可以把各味藥的産地标上（也可以了解為餘弦信号的初相位）。反過來，我們按着“藥單”去抓藥就能構成一副中藥。
2、傅裡葉積分公式（對非周期信号來說就是它的傅裡葉變換）的偉大之處在哪裡？ 在這裡為什麼我要說“傅裡葉積分公式”而不說“傅裡葉變換”？因為，求周期信号的頻譜是用傅裡葉積分公式，而求非周期信号的頻譜的公式我們通常稱其為“傅裡葉變換”，其實，傅裡葉變換也是傅裡葉積分公式。 傅裡葉積分公式的偉大之處在于：利用整數倍頻率的正、餘弦分量的“正交性”，通過積分公式能求出原信号的“配方”或者說求出組成原信号所有不同頻率餘弦（或正弦）信号的“三參數”，也就是我們在信号與系統課程中講到“頻譜”。
傅裡葉積分公式要完成兩個任務：第一個是利用整數倍頻率的正、餘弦分量的“正交性”，從一個“混合物”（一個複雜信号）中分離出其中的一個成分（某個頻率的餘弦），另一個是它像一杆秤似的稱出被分離出來的那個成分的“分量”（餘弦的幅度和初相位）
。我們不但要知道一個混合物的“成分”，還要知道其中某個成分的“分量”。是以，傅裡葉積分公式兼有“成分分離器”和“秤”的雙重作用。 下面就讓我們去看看如何從複雜信号中分離出一個餘弦，然後怎樣求出被分離出來的這個餘弦的幅度和初相位（這是一個真正偉大的工作）。 3、周期信号的表示以及它的頻譜的求解 我們先看看一個周期信号的時域表示（傅裡葉級數），然後就讓我們去見證一個偉大的傅裡葉積分公式，它是如何求出這個周期信号的“配方”（頻譜），也就是用傅裡葉積分公式如何從周期信号中分離出一個餘弦以及怎樣求出這個餘弦的幅度和初相位的（這是一個真正偉大的工作）。（1）周期信号三角函數形式的傅裡葉級數
為了盡快完成下面内容，下面我把我寫的《信号與系統分析和應用》書上内容直接複制過來，更詳細内容還請參見這本書。
請注意：為什麼我把周期信号三角函數形式的傅裡葉級數寫成下面的形式，而不是公式（4.2-8）的形式？因為隻有這樣才能充分了解信号頻譜以及頻譜的作用、傅裡葉系數、非周期确知信号的傅裡葉變換的實體意義，才能充分了解我寫的下面的内容。
由公式（4.2.2）可知：
這樣就能計算出一個周期信号的頻譜了（“配方”或“藥單”）。我們将所有“三參數”按頻率的位置表示出來就是原周期信号的“
頻譜”了，是以，下面的周期信号的傅裡葉級數公式才是與“頻譜”對應的周期信号三角函數形式的傅裡葉級數。
用上面公式表示周期信号三角函數形式的傅裡葉級數才能更好地了解信号的“頻譜”到底表示了什麼？以及後面我要說的非周期信号傅裡葉變換的“
實體意義”是什麼，才能更好了解信号頻域分析的目的。那麼，公式（4.2-8）可以看做求解信号頻譜的中間環節，當然，它也是三角函數形式的傅裡葉級數，隻是用它不利于了解信号頻譜表示的内容（也有特殊情況）。
可以說，公式（4.2-10）以及（4.2-11）是“
最偉大的積分公式”之一。這兩個公式為什麼能計算出an和bn？我們需要讨論信号的正交性問題。
下面把《信号與系統分析和應用》書上内容複制過來。
注意：上面積分區間一定在是整倍周期期間才成立。
這樣，下面的積分公式的實體意義就很清楚了：
用圖形（頻譜圖）或公式（向量形式）來表示組成這個周期信号的所有不同頻率的餘弦信号的“
三參數” （
幅度、初相和頻率或角頻率），也就是說，頻譜是用“參數”的形式表示原信号的組成成分，我們不但要知道信号的組成成分還要知道這些成分的份額，這就是大家說到的“
原信号的配方”。從頻譜圖上，我們就能看到原周期信号含有的所有頻率的餘弦（或正弦）信号的幅度和相位的大小，也就知道了周期信号含有的所有頻率成分以及這些頻率成分對原信号的貢獻大小。上面圖（c）是将圖（a）和（b）合成一個圖（合成的原則請參見《信号與系統分析和應用》書）。
5、周期信号複指數形式的傅裡葉級數與傅裡葉系數（複數形式的信号頻譜） 周期信号複指數形式傅裡葉級數中的
傅裡葉系數Xn是用複數的形式表示每個餘弦信号的幅度和初相位資訊（包含餘弦信号的兩個參數）。它的積分公式其實還是求an和bn，隻是用一個積分公式一起求出的，還是利用“正交性”，
傅裡葉系數Xn就是複數形式的原周期信号的“頻譜”（“藥單”或“配方”）。
二、非周期信号的傅裡葉變換非周期信号的傅裡葉變換是從周期信号複指數形式傅裡葉級數中的
傅裡葉系數Xn推導來的（
注意：不是從傅裡葉級數推導來的！），是以，非周期信号的傅裡葉變換就是非周期信号的“頻譜”。絕對可積信号的傅裡葉變換是自變量為頻率或角頻率的相量函數，它含有原時域信号含有的所有頻率餘弦信号的“三參數”資訊（頻率資訊是由傅裡葉變換的自變量來表征的）。但是，絕對可積非周期信号含有的每個餘弦信号的幅度都趨于無窮小，非周期信号的傅裡葉變換中的幅度譜是每個餘弦信号無窮小的幅度乘上一個無窮大的周期。如果一個非周期信号是确知信号，則它的傅裡葉變換就是一個自變量為頻率或角頻率的确知相量函數（是以，不能把它叫做信号），這說明，這個原确知時間信号含有的所有頻率餘弦信号的幅度和初相不是孤立的，他們滿足一定關系，這個關系就是以自變量為頻率或角頻率的“頻域函數”。更多内容請參看我寫的《信号與系統分析和應用》書上第4章和第5章内容。
。
因果穩定系統的頻率響應是此系統機關沖激響應的傅裡葉變換，由于此系統是因果穩定系統，則其頻率響應也是複函數。
除了上述對信号進行傅裡葉變換得到信号的頻譜以及對系統機關沖激響應進行傅裡葉變換而得到系統頻率響應，這些“傅裡葉變換”都有其實體意義，人們還發現時域信号經過傅裡葉變換後在變換域内其頻域函數之間的運算比時域簡單，人們借助于頻域運算可以簡化時域裡的運算。最後，簡單總結一下傅裡葉變換：
（1）對信号進行傅裡葉變換得到信号的頻譜；
（2）對系統機關沖激響應進行傅裡葉變換得到系統頻率響應；
（3）經過傅裡葉變換後能使運算簡單；
如果你手裡有《信号與系統分析和應用》教材，請你關注“信号與系統分析”微信公衆号，那裡面列出書中發現的問題。