n個小球放入m個盒子中_n個球放入m個盒子的幾種情形讨論

科技教育創新

情形

１

：将

ｎ

個相同的球放到

ｍ

個不同的盒子中

問

:

(1)

每個盒子至少有一球的不同放法

(n

≥

m);

(2)

如果允許有空盒子的不同放法

;

(3)

求此種情形下

(1)

的機率。

ｎ

個球放入

ｍ

個盒子的幾種情形讨論

劉冬燕

上海濟光職業技術學院 ２０１９０１

Ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｐｕｔｔｉｎｇ ｎ ｂａｌｌｓ ｉｎｔｏ ｍ ｂｏｘｅｓ

Ｌｉｕ ｄｏｎｇｙａｎ

Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｊｉｇｕａｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｓｈａｎｇｈａｉ， Ｃｈｉｎａ ２０１９０１

摘  要

ｎ

個球放入

ｍ

個盒子是組合數學以及機率中非常典型的問題。

本

文主要讨論了

ｎ

個球放入

ｍ

個盒子時的幾種情形，并對其放法

分别給出了組合公式。由此得到一個組合恒等式。

關鍵詞

不定方程；第二類

Ｓｔｉｒｉｎｇ

數；組合數

中圖分類号：

Ｏ１５７

文獻标記碼：

Ａ

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｐｕｔｔｉｎｇ ｎ ｂａｌｌｓ ｉｎｔｏ ｍ ｂｏｘｅｓ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ｔｈｅ

Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｙ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ

ｓｅｖｅｒａｌ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ． ａｎｄ ｗｅ ｇｅｔ ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｅｑｕａｌｉｔｙ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ

ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ； Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｋｉｎｄ ｏｆ Ｓｔｉｒｉｎｇ ｎｕｍｂｅｒ； ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｎｕｍｂｅｒ

情形

２

：将

ｎ

個不同的球放到

ｎ

個相同的盒子中

問

：

(1)

每個盒子至少有一球的不同放法

(n

≥

m)

；

(2)

如果允許有空盒子的不同放法；

(3)

求此種情形下

(1)

的機率。

情形

３： 将

ｎ

個不同的球放到

ｍ

個不同的盒子中

問

:

(1)

每個盒子至少有一球的不同放法

(n

≥

m)

；

(2)

如果允許有空盒子的不同放法；

(3)

求此種情形下

(1)

的機率。

解答

(1)

隻需要在情形

2

中

(1)

的基礎上對盒子進行排列即

可。是以方案數為

m!S[n,m]

(2)

的方案數容易計算是

m

n

。或者也按照情形

(2)

的方法

,

把

n

個不同的球分别放在

1

個，

2

個，

……，

m

個盒子中。

又因為盒

子是不同的，故放到一個盒子時有

C

m

1

S[n,m]

種放法，放到兩個

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－８９７２．２０１０．１３．１１２