文章目錄
- 一、二維離散型
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- 1.1、二維離散型
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- 1.1.1、随機變量
- 1.1.2、分布函數
- 1.1.3、邊緣分布
- 1.1.4、條件分布
- 1.1.5、獨立
- 1.2、二維連續型
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- 1.2.1、聯合分布函數F(x,y)
- 1.2.2、聯合機率密度f(x,y)
- 1.2.3、邊緣機率密度
- 1.2.4、條件機率密度
- 1.2.5、分布函數
- 1.2.6、獨立性
- 三、二維離散型随機變量函數分布
- 四、二維連續型随機變量正數分布
- 五、最大最小值函數的分布
一、二維離散型
1.1、二維離散型
1.1.1、随機變量
1.1.2、分布函數
定義:設(x,y)是二維随機變量,對于任意實數x,y,二進制函F(x,y)=P{(X<=x)n(Y<=y)}=P{X<=x,Y<=y},稱F(x,y)為二維随機變量(x,y)的聯合機率分布函數,簡稱為随機變量x和y的聯合分布函數。
P{x1<X<=x2,y1<Y<=y2}=F(x1,y1)+F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)。
性質:
- 單調不減:F(x,y)是變量x和y的單調不減函數,即對任意固定y,當x2>x1時,有F(x2,y)>=F(x1,y);對任意固定x,當y2>y1時,有F(x,y2)>=F(x,y1)。
- 規範性:0<=F(x,y)<=1,且 F ( + ∞ , + ∞ ) F(+\infty,+\infty) F(+∞,+∞)=1, F ( x , − ∞ ) F(x,-\infty) F(x,−∞)=0, F ( − ∞ , y ) F(-\infty,y) F(−∞,y)=0, F ( − ∞ , − ∞ ) F(-\infty,-\infty) F(−∞,−∞)=0.
- 右連續性:F(x,y)關于x右連續,關于y右連續
- 非負性:對于任意x1<x2,y1<y2,有F(x1,y1)+F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)>=0。
1.1.3、邊緣分布
- F x ( x ) = P ( X ⩽ x ) = lim y → + ∞ P ( X ⩽ x , Y ⩽ y ) = lim y → ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) F_x(x)=P{(X \leqslant x)}=\lim_{y \to +\infty}P(X \leqslant x,Y \leqslant y)=\lim_{y \to \infty}F(x,y)=F(x,+\infty) Fx(x)=P(X⩽x)=limy→+∞P(X⩽x,Y⩽y)=limy→∞F(x,y)=F(x,+∞)
- F y ( y ) = lim x → + ∞ F ( x , y ) = F ( + ∞ , y ) F_y(y)=\lim_{x \to +\infty}F(x,y)=F(+\infty,y) Fy(y)=limx→+∞F(x,y)=F(+∞,y)
1.1.4、條件分布
定義:
設(x,y)是二維離散型随機變量,對于固定的j,若P{Y=yj}>0,則稱 P ( X = x i ∣ Y = y j ) = P ( X = x i , Y = y j ) P ( Y = y j ) = p i j p j , i = 1 , 2 , … P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_j},i=1,2,\dots P(X=xi∣Y=yj)=P(Y=yj)P(X=xi,Y=yj)=pjpij,i=1,2,…,為在 Y = y j Y=y_j Y=yj條件下随機變量X的條件分布律。
同理,設(x,y)是二維離散型随機變量,對于固定的i,若P{X=xi}>0,則稱 P ( Y = y j ∣ X = x i ) = P ( Y = y j , X = x i ) P ( X = x i ) = p i j p i , j = 1 , 2 , … P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(Y=y_j,X=x_i)}{P(X=x_i)}=\frac{p_{ij}}{p_i},j=1,2,\dots P(Y=yj∣X=xi)=P(X=xi)P(Y=yj,X=xi)=pipij,j=1,2,…,為在 X = x i X=x_i X=xi條件下随機變量Y的條件分布律。
1.1.5、獨立
若離散型随機變量(X,Y)的聯合分布律為 P ( X = i , Y = j ) = p i j , i , j = 1 , 2 , … P(X=i,Y=j)=p_{ij},i,j=1,2,\dots P(X=i,Y=j)=pij,i,j=1,2,…。如果X和Y互相獨立,則 P ( X = x i , Y = y j ) = P ( X = x i ) P ( Y = y j ) P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj),即 p i j = p i p j , i , j = 1 , 2 , … p_{ij}=p_ip_j,i,j=1,2,\dots pij=pipj,i,j=1,2,…
1.2、二維連續型
1.2.1、聯合分布函數F(x,y)
設二維随機變量(X,Y)的聯合分布函數為F(x,y),若存在一個非負實值可積函數f(x,y),使得對任意x,y,有F(x,y)= ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^xf(u,v)dudv ∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv,則稱(X,Y)為二維連續型随機變量,f(x,y)稱為(X,Y)的聯合機率密度函數,簡稱為聯合密度。
1.2.2、聯合機率密度f(x,y)
性質:
- 非負性:f(x,y)>=0
- 規範性: ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{-\infty }^{+\infty}f(x,y)dxdy=1 ∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1
- 若f(x,y)在點(x,y)處連續,則f(x,y)= ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} ∂x∂y∂2F(x,y)
- 設G是平面上一區域, P ( ( X , Y ) ∈ G ) = ∫ ∫ G f ( x , y ) d x d y P((X,Y)\in G)=\int \int_Gf(x,y)dxdy P((X,Y)∈G)=∫∫Gf(x,y)dxdy,即哪兒求機率,哪兒求積分。
1.2.3、邊緣機率密度
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy
f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx
1.2.4、條件機率密度
f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y)
1.2.5、分布函數
1、均勻分布
若 f ( x , y ) = { 1 A , (x,y)屬于 G 0 , 其它 f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{A}, & \text{(x,y)屬于 G} \\ 0, & \text{其它} \end{cases} f(x,y)={A1,0,(x,y)屬于 G其它
則稱(X,Y)在G上服從均勻分布,其中A為平面區域G的面積。
若(X,Y)在G上服從均勻分布,即(X,Y)落在G内各點是等可能的。
2、二維正态分布
若f(x,y)= 1 2 π σ 1 σ 2 1 − p 2 e − 1 2 ( 1 − p ) 2 [ ( x − μ ) 2 σ 1 2 − 2 p ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] , − ∞ < x < + ∞ , ∞ < y < + ∞ , 其 中 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , p , σ 1 > 0 , σ 2 > 2 , − 1 < p < 1 都 是 參 數 \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-p^2}}e^{-\frac{1}{2(1-p)^2}[\frac{(x-\mu)^2}{\sigma_1^2}-2p\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]},-\infty<x<+\infty,\infty<y<+\infty,其中\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,p,\sigma_1>0,\sigma_2>2,-1<p<1都是參數 2πσ1σ21−p2
1e−2(1−p)21[σ12(x−μ)2−2pσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2],−∞<x<+∞,∞<y<+∞,其中μ1,μ2,σ1,σ2,p,σ1>0,σ2>2,−1<p<1都是參數。則稱(x,y)服從參數為 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , p 的 二 維 正 态 分 布 , 記 為 ( x , y ) − N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; p ) \mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,p的二維正态分布,記為(x,y)- N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1,\sigma_2;p) μ1,μ2,σ1,σ2,p的二維正态分布,記為(x,y)−N(μ1,μ2;σ1,σ2;p)
1.2.6、獨立性
設連續型随機變量(X,Y)的機率密度為f(x,y),邊緣機率密度分别為 f X ( x ) , f Y ( y ) f_X(x),f_Y(y) fX(x),fY(y),若X和Y互相獨立,則f(x,y)=f_X(x)f_Y(y),F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)。
注:
1、二維正态随機變量(X,Y)- N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 2 , σ 2 2 ; p ) N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;p) N(μ1,μ2;σ12,σ22;p)。若X和Y互相獨立,則p=0。
2、設随機變量x與y互相獨立,令U=h(X),V=g(Y),其中h(x),g(y)為連續函數,則U與V也互相獨立。
三、二維離散型随機變量函數分布
1、泊松分布,可加性
2、二項分布(獨立性),若x-B(n,p1),y-B(n,p2),若p1不等于p2,則不可加,否則可加
3、正态分布,可加性
4、卡方分布,可加性
四、二維連續型随機變量正數分布
Z = X + Y , 則 Y = Z − X , X = Z − Y , f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y = P ( X + Y = k ) = ∑ i = 0 k P ( X = i , Y = k − i ) Z=X+Y,則Y=Z-X,X=Z-Y,f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy=P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^kP(X=i,Y=k-i) Z=X+Y,則Y=Z−X,X=Z−Y,fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=P(X+Y=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k−i),當互相獨立,則可拆分相乘。
五、最大最小值函數的分布
F m a x ( z ) = [ F ( Z ) ] n , F m i n ( Z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{max}(z)=[F(Z)]^n,F_{min}(Z)=1-[1-F(z)]^n Fmax(z)=[F(Z)]n,Fmin(Z)=1−[1−F(z)]n