第二章 算法分析
原文： Chapter 2 Analysis of Algorithms 译者： 飞龙 协议： CC BY-NC-SA 4.0 自豪地采用 谷歌翻译
我们在前面的章节中看到，Java 提供了两种实现
List
的接口，
ArrayList
和
LinkedList
。对于一些应用，
LinkedList
更快；对于其他应用，
ArrayList
更快。
要确定对于特定的应用，哪一个更好，一种方法是尝试它们，并看看它们需要多长时间。这种称为“性能分析”的方法有一些问题：
- 在比较算法之前，你必须实现这两个算法。
- 结果可能取决于你使用什么样的计算机。一种算法可能在一台机器上更好；另一个可能在不同的机器上更好。
- 结果可能取决于问题规模或作为输入提供的数据。
我们可以使用算法分析来解决这些问题中的一些问题。当它有效时，算法分析使我们可以比较算法而不必实现它们。但是我们必须做出一些假设：
- 为了避免处理计算机硬件的细节，我们通常会识别构成算法的基本操作，如加法，乘法和数字比较，并计算每个算法所需的操作次数。
- 为了避免处理输入数据的细节，最好的选择是分析我们预期输入的平均性能。如果不可能，一个常见的选择是分析最坏的情况。
- 最后，我们必须处理一个可能性，一种算法最适合小问题，另一个算法适用于较大的问题。在这种情况下，我们通常专注于较大的问题，因为小问题的差异可能并不重要，但对于大问题，差异可能是巨大的。
这种分析适用于简单的算法分类。例如，如果我们知道算法
A
的运行时间通常与输入规模成正比，即
n
，并且算法
B
通常与
n ** 2
成比例，我们预计
A
比
B
更快，至少对于
n
的较大值。
大多数简单的算法只能分为几类。
- 常数时间：如果运行时间不依赖于输入的大小，算法是“常数时间”。例如，如果你有一个
n
[]
- 线性：如果运行时间与输入的大小成正比，则算法为“线性”的。例如，如果你计算数组的和，则必须访问
n
n - 1
2 * n -1
n
- 平方：如果运行时间与
n ** 2
n
n - 1
n ** 2 - n
n
n ** 2
2.1 选择排序
例如，这是一个简单算法的实现，叫做“选择排序”（请见
http://thinkdast.com/selectsort）：
public class SelectionSort {
/**
* Swaps the elements at indexes i and j.
*/
public static void swapElements(int[] array, int i, int j) {
int temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
/**
* Finds the index of the lowest value
* starting from the index at start (inclusive)
* and going to the end of the array.
*/
public static int indexLowest(int[] array, int start) {
int lowIndex = start;
for (int i = start; i < array.length; i++) {
if (array[i] < array[lowIndex]) {
lowIndex = i;
}
}
return lowIndex;
}
/**
* Sorts the elements (in place) using selection sort.
*/
public static void selectionSort(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
int j = indexLowest(array, i);
swapElements(array, i, j);
}
}
} 第一个方法
swapElements
交换数组的两个元素。元素的是常数时间的操作，因为如果我们知道元素的大小和第一个元素的位置，我们可以使用一个乘法和一个加法来计算任何其他元素的位置，这都是常数时间的操作。由于
swapElements
中的一切都是恒定的时间，整个方法是恒定的时间。
第二个方法
indexLowest
从给定的索引
start
开始，找到数组中最小元素的索引。每次遍历循环的时候，它访问数组的两个元素并执行一次比较。由于这些都是常数时间的操作，因此我们计算什么并不重要。为了保持简单，我们来计算一下比较的数量。
- 如果
start
indexLowest
n
-
start
1
n - 1
- 一般情况下，比较的次数是
n - start
indexLowest
第三个方法
selectionSort
对数组进行排序。它从
循环到
n - 1
，所以循环执行了
n
次。每次调用
indexLowest
然后执行一个常数时间的操作
swapElements
第一次
indexLowest
被调用的时候，它进行
n
次比较。第二次，它进行
n - 1
比较，依此类推。比较的总数是
n + n−1 + n−2 + ... + 1 + 0 这个数列的和是
n(n+1)/2
，它（近似）与
n ** 2
成正比；这意味着
selectionSort
是平方的。
为了得到同样的结果，我们可以将
indexLowest
看作一个嵌套循环。每次调用
indexLowest
时，操作次数与
n
成正比。我们调用它
n
次，所以操作的总数与
n ** 2
2.2 大 O 表示法
所有常数时间算法属于称为
O(1)
的集合。所以，说一个算法是常数时间的另一个方法就是，说它是
O(1)
的。与之类似，所有线性算法属于
O(n)
，所有二次算法都属于
O(n ** 2)
。这种分类算法的方式被称为“大 O 表示法”。
注意：我提供了一个大 O 符号的非专业定义。更多的数学处理请参见
http://thinkdast.com/bigo这个符号提供了一个方便的方式，来编写通用的规则，关于算法在我们构造它们时的行为。例如，如果你执行线性时间算法，之后是常量算法，则总运行时间是线性的。
∈
表示“是…的成员”：
f ∈ O(n) && g ∈ O(1) => f + g ∈ O(n) 如果执行两个线性运算，则总数仍然是线性的：
f ∈ O(n) && g ∈ O(n) => f + g ∈ O(n) 事实上，如果你执行任何次数的线性运算，
k
，总数就是线性的，只要
k
是不依赖于
n
的常数。
f ∈ O(n) && k 是常数 => kf ∈ O(n) 但是，如果执行
n
次线性运算，则结果为平方：
f ∈ O(n) => nf ∈ O(n ** 2) 一般来说，我们只关心
n
的最大指数。所以如果操作总数为
2 * n + 1
，则属于
O(n)
。主要常数
2
和附加项
1
对于这种分析并不重要。与之类似，
n ** 2 + 100 * n + 1000
是
O(n ** 2)
的。不要被大的数值分心！
“增长级别”是同一概念的另一个名称。增长级别是一组算法，其运行时间在同一个大 O 分类中；例如，所有线性算法都属于相同的增长级别，因为它们的运行时间为
O(n)
在这种情况下，“级别”是一个团体，像圆桌骑士的阶级，这是一群骑士，而不是一种排队方式。因此，你可以将线性算法的阶级设想为一组勇敢，仗义，特别有效的算法。
2.3 练习 2
本章的练习是实现一个
List
，使用 Java 数组来存储元素。
在本书的代码库（请参阅 0.1 节）中，你将找到你需要的源文件：
-
MyArrayList.java
List
-
MyArrayListTest.java
你还会发现 Ant 构建文件
build.xml
。你应该可以从代码目录运行
ant MyArrayList
，来运行
MyArrayList.java
，其中包含一些简单的测试。或者你可以运行
ant MyArrayListTest
运行 JUnit 测试。
当你运行测试时，其中几个应该失败。如果你检查源代码，你会发现四条 TODO 注释，表示你应该填充的方法。
在开始填充缺少的方法之前，让我们来看看一些代码。这里是类定义，实例变量和构造函数。
public class MyArrayList<E> implements List<E> {
int size; // keeps track of the number of elements
private E[] array; // stores the elements
public MyArrayList() {
array = (E[]) new Object[10];
size = 0;
}
} 正如注释所述，
size
跟踪
MyArrayList
中由多少元素，而且
array
是实际包含的元素的数组。
构造函数创建一个 10 个元素的数组，这些元素最初为
null
，并且
size
设为
。·大多数时候，数组的长度大于
size
，所以数组中由未使用的槽。
Java 的一个细节：你不能使用类型参数实例化数组；例如，这样不起作用：
array = new E [10]; 要解决此限制，你必须实例化一个
Object
数组，然后进行类型转换。你可以在
http://thinkdast.com/generics上阅读此问题的更多信息。
接下来，我们将介绍添加元素到列表的方法：
public boolean add(E element) {
if (size >= array.length) {
// make a bigger array and copy over the elements
E[] bigger = (E[]) new Object[array.length * 2];
System.arraycopy(array, 0, bigger, 0, array.length);
array = bigger;
}
array[size] = element;
size++;
return true;
} 如果数组中没有未使用的空间，我们必须创建一个更大的数组，并复制这些元素。然后我们可以将元素存储在数组中并递增
size
为什么这个方法返回一个布尔值，这可能不明显，因为它似乎总是返回
true
。像之前一样，你可以在文档中找到答案：
http://thinkdast.com/colladd。如何分析这个方法的性能也不明显。在正常情况下，它是常数时间的，但如果我们必须调整数组的大小，它是线性的。我将在 3.2 节中介绍如何处理这个问题。
最后，让我们来看看
get
；之后你可以开始做这个练习了。
public T get(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IndexOutOfBoundsException();
}
return array[index];
} 其实
get
很简单：如果索引超出范围，它会抛出异常; 否则读取并返回数组的元素。注意，它检查索引是否小于
size
，大于等于
array.length
，所以它不能访问数组的未使用的元素。
在
MyArrayList.java
中，你会找到
set
的桩，像这样：
public T set(int index, T element) {
// TODO: fill in this method.
return null;
} 阅读
set
的文档，在
http://thinkdast.com/listset，然后填充此方法的主体。如果再运行
MyArrayListTest
，
testSet
应该通过。
提示：尽量避免重复索引检查的代码。
你的下一个任务是填充
indexOf
。像往常一样，你应该阅读
http://thinkdast.com/listindof上的文档，以便你知道应该做什么。特别要注意它应该如何处理
null
我提供了一个辅助方法
equals
，它将数组中的元素与目标值进行比较，如果它们相等，返回
true
（并且正确处理
null
），则 返回。请注意，此方法是私有的，因为它仅在此类中使用；它不是
List
接口的一部分。
完成后，
再次运行MyArrayListTest
；
testIndexOf
，以及依赖于它的其他测试现在应该通过。
只剩下两个方法了，你需要完成这个练习。下一个是
add
的重载版本，它接受下标并将新值存储在给定的下标处，如果需要，移动其他元素来腾出空间。
再次阅读
http://thinkdast.com/listadd上的文档，编写一个实现，并运行测试进行确认。
提示：避免重复扩充数组的代码。
最后一个：填充
remove
的主体。文档位于
http://thinkdast.com/listrem。当你完成它时，所有的测试都应该通过。
一旦你的实现能够工作，将其与我的比较，你可以在
http://thinkdast.com/myarraylist上找到它。
![Java String.format方法的简单使用[图]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)