力扣 --- 不同路径（动态规划）

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3

输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3

输出：6

来源：力扣（LeetCode）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths

方法一

本题也是动态规划的经典问题，对于这个二维数组的地图，我们可以看成，对于每个位置的路径数f(i,j)一定等于f(i-1,j)和f(i,j-1)的路径数的总和。

由此我们可以得出动态规划的方程：fn(i,j) = f(i-1,j) + f(i,j-1).

而对于i=0或者j=0的位置，它的路径数均为1

var uniquePaths = function(m, n) {
	//二维数组用来标记每个位置的路径数
    let arr = new Array(m);
    for(var i=0;i<arr.length;i++){
        arr[i] = new Array(n).fill(0)
    }
    //给边缘条件的置为1
    for(var i=0;i<m;i++){
        arr[i][0] = 1;
    }
    for(var i=0;i<n;i++){
        arr[0][i] = 1;
    }
	//通过动态规划的状态方程来进行求解
    for(var i=1;i<m;i++){
        for(var j=1;j<n;j++){
            arr[i][j] = arr[i-1][j] + arr[i][j -1]
        }
    }
    return arr[m-1][n-1]

};
           

方法二

这道题我们可以把它归纳为一个数学问题，对于一个长度为m，宽度为n的为数组。

我们从左上角到右下角的距离为（m + n - 2）。

也就是要走m + n - 2 步。

但是在这里面我们要向下走m - 1 步。

所以这道题的思路就可以演变成我们从m + n - 2 中有多少种 m - 1 的方案。

也就是，答案的结果应该为C(m+n-2 , n-1)

var uniquePaths = function(m, n) {
    let ans = 1;
    for (let x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
        ans = Math.floor(ans * x / y);
    }
    return ans;
};