學習B樣條曲線需要先學習貝塞爾曲線，若未了解，看我一篇上部落格https://blog.csdn.net/weixin_42513339/article/details/83019610

貝塞爾函數不足

由于貝塞爾曲線存在以下不足：

        1 ）缺乏局部修改性，即改變某一控制點對整個曲線都有影響。

        2 ）n 較大時，特征多邊形的邊數較多，對曲線的控制減弱。

        3 ）幂次過高難于修改。（而在外形設計中，局部修改是随時要進行的）。

是以提出了B樣條曲線，B樣條曲線有以下優點：

  1 ）逼近特征多邊形的精度更高。

  2 ）多邊形的邊數與基函數的次數無關。

  3 ）具有局部修改性。

首先，貝塞爾公式為：

其中，  為伯恩斯坦基函數（BEZ）

是以公式可以寫成

B樣條曲線

B樣條曲線，用B樣條基函數代替伯恩斯坦基函數如下所示：

這裡的你隻是一個比例系數，但是這裡把你從0到1分成很多段。如果節點等間距（即  ui +1 -  ui  是一個常數，對0 <=  i  <=  m  - 1），節點向量或節點序列稱為均勻的;否則它是非均勻的。

節點可認為是分隔點，将區間[ u0，um]細分為節點區間。所有B樣條基函數被假設定義域在[ u0，um ]上。uo  = 0和um  = 1，是以定義域是閉區間[0,1]。

相關定義

在圖形學書裡，也寫明了若此時線段的頂點個數為m + n + 1（m為最大段号，n為階次）

B樣條曲線主要也是為了平滑曲線，而且這裡的階次，換個說法就是目前這個點能夠影響它附近多少個點。

多重節點與簡單節點

如果一個節點ui出現k次（即，ui = ui + 1 = ... = ui + k-1），其中k> 1，ui是一個重複度（multiplicity）為k 的多重節點，寫ui（k否則），如果使用者界面隻出現一次，它是一個簡單節點。

B樣條基函數

區間我的ķ次B樣條基函數，寫為鎳，K（U），遞歸定義如下：

K = 0時的Ni，k（u）

    如果次數為零（即k = 0），這時基函數都是階梯函數，如果你是在第i個節點區間[ui，ui + 1）上，那麼基函數的Ni，0（U）= 1。

例：

    有四個節點U = {0,1,2,3}，節點區間0,1,2分别對應[0,1），[1,2），[2,3]。（這裡你的範圍也隻是一個比例關系）

畫出圖如下所示：

若K = 1時的的Ni，K（U）

下圖中，黑色和紅色線分别是N0,1（u）和N1,1（u）。

PS：

 為了了解 階數k 大于0時，計算Ni，k（u）的方法，我們使用三角計算格式。所有節點區間列在左邊（第一）列，所有零次基函數在第二列。見下圖。

從這一張圖裡，我們可以很清楚的看到，如果想計算某個基函數，那麼就必須要知道哪些零次基函數，然後需要哪兩個計算，都可以從圖裡看出來。

比如：

我們繼續計算K = 2時的鎳，K（U），如下：

其中，當你在[0,1）上時，這種情況，隻有N0,1（u）對N0,2（u）的值有貢獻。是以，N0,1（u）是你，得到

你在[1,2]上： 

這種情況，N0,1（u）和N1,1（u）都對N0,2（u）有貢獻。在[1,2]上N0,1（u）= 2 - u和N1,1（ u）= u - 1，得到： 

你在[2,3]上： 

這種情況，隻有N1,1（u）對N0,2（u）有貢獻。在[2,3]上N1,1（u）= 3 - u，得到：

可以最後得到N0,2（u）函數圖形 

基函數的非零定義域的确定

實際上也是主要通過圖來看如下圖，我們可以得知：如果我們要計算N1,3（U），那麼它的有效定義域是u1到u5通過下圖可以直接看出。

說的更加理論一點就是：

基函數Ni，p（u）在[ui，ui + k + 1）上非零。或，相等地，Ni，k（u）在k + 1個節點區間[ui，ui + 1]，[ui + 1，ui + 2），...，[ui + k，ui + k + 1）上非零。

在這裡，我們可以觀察出重要的一點，為什麼B樣條曲線的頂點數是m + n + 1，因為跟它的定義域是有關的。

非零定義域對應的基函數

與上面正好相反，我們可以通過基函數的階數，來确定他的定義域。

同樣，一個定義域，我們也可以看出（如下圖）：

任何一個節點區間[ui，ui + 1]，最多有k + 1個k次基函數非零，即：Ni-k，k（u），Ni-k + 1，k（u），Ni-k + 2，k（u），...，Ni-1，k（u）和Ni，k（u）。

系數的意義

第一項，Ni，k-1（u），在[ui，ui + k）上非零。如果u是在該區間，那麼你 - ui是u到該區間左端的距離，區間長度為ui + k - ui，（u - ui）/（ui + k - ui）是你在上述區間的歸一化位置。

第二項，Ni + 1，k-1（u），在[ui + 1，ui + k + 1）上非零。如果u在該區間，那麼ui + k + 1 - u是u到該區間右端的距離，ui + k + 1 - ui + 1是區間長度，（ui + k + 1 - u）/（ui + k + 1 - ui + 1）是u在上述區間的歸一化位置。